2020-2021学年江苏省南通市海门中学高二上学期期中数学试卷 （Word版 含解析）

2020-2021学年江苏省南通市海门中学高二（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．（5分）已知i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．0或1
2．（5分）设F1，F2为椭圆C：的两个焦点，点P在椭圆C上，若PF1，F1F2，PF2成等差数列，则椭圆C的离心率为（　　）
A．1 B． C． D．
3．（5分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为符号使用．后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（　　）
A．若a＜b，则
B．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＞bd
C．若a＞b＞0，则
D．若a＞b，则ac2＞bc2
4．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn.若，则等比数列{an}的公比为（　　）
A．2 B．1或2 C．﹣2或2 D．﹣2或1或2
5．（5分）不等式的解集是（　　）
A．（﹣∞，1]∪（2，+∞） B．（﹣∞，1]∪[2，+∞）
C．[﹣2，1] D．（﹣2，1]
6．（5分）设等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn.若S4＝5a2，则＝（　　）
A．9 B．5 C．1 D．
7．（5分）若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤a+b”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）已知数列{an}满足，且，则n∈N*时，使得不等式n+100an≥a恒成立的实数a的最大值是（　　）
A．19 B．20 C．21 D．22
二、多项选择题（共4小题）
9．（5分）已知复数z在复平面上对应的向量，则（　　）
A．z＝﹣1+2i B．|z|＝5 C．＝1+2i D．z?＝5
10．（5分）下面命题正确的是（　　）
A．“a＞1”是“”的充分不必要条件
B．数列{an}是等比数列的必要条件a1?a3＝a22
C．命题“?x∈R，x2+1＜0”的否定是“?x∈R，x2+1≥0”
D．a＝﹣2时，“﹣2＜x＜4”是“（x+2）（x+a）＜0”的必要不充分条件
11．（5分）设数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+（2n﹣1）an＝2n（n∈N*），记数列的前n项和为Sn，则（　　）
A．a1＝2 B．an＝ C．Sn＝ D．Sn＝nan+1
12．（5分）已知x＞0，y＞0，且xy﹣x﹣y＝0，则（　　）
A．4x+y的最小值为9 B．log2x+log2y＞2
C．x2+y2≥8 D．+≥2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知k∈Z，i为虚数单位，复数z满足：i2kz＝1﹣i，则当k为奇数时，z＝　 　；当k∈Z时，|z+1+i|＝　 　．
14．（5分）若存在性命题：?x∈R，使得mx2+1≤0是假命题，且全称命题：?x∈R，x2﹣2mx+1≥0是真命题，则实数m的取值范围是　 　．
15．（5分）已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且成等差数列，则S10＝　 　．
16．（5分）已知x＞0，y＞0，则当取得最小值时，x﹣y＝　 　．
三、解答题：共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的焦点在x轴上．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设椭圆C的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），B2是椭圆C的上顶点，直线B2F1与椭圆C的另一交点为M．
①求椭圆C的方程；
②求焦半径MF1的长．
18．（12分）设m∈R，关于x的不等式x2+2mx+m+2＜0的解集为?．
（1）求m的取值范围：
（2）求关于x的不等式mx2+（m﹣2）x﹣2≥0的解集．
19．（12分）在数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+2n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
20．（12分）设数列{an}满足a1＝0，且an+1＝．记bn＝．
（1）求证：数列{bn}为等差数列；
（2）设求满足不等式的正整数n的集合．
21．（12分）已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，数列{bn}为等差数列，且b1＝a1＝1，b3＝a3+1，b5＝a5﹣7．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）设Sn为数列{an2}的前n项和，若对于任意n∈N*，有Sn+，求实数t的值；
（3）记cn＝数列{cn}的前n项和An，求证：An＜．
22．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意n∈N*，an，Sn，n2成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列bn是首项为1，公比为q的正项等比数列．
（ⅰ）求数列{bn}的前n项和Tn．
（ⅱ）若数列{bn+1﹣2an}为单调递增数列，求q的取值范围．
参考答案
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.
1．（5分）已知i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．0或1
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．
解：∵＝是纯虚数，
∴，解得m＝1．
故选：C．
2．（5分）设F1，F2为椭圆C：的两个焦点，点P在椭圆C上，若PF1，F1F2，PF2成等差数列，则椭圆C的离心率为（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】利用椭圆的定义以及等差数列的定义即可求解．
解：由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|＝2a，且|F1F2|＝2c，
则由已知可得：2|F1F2|＝|PF1|+|PF2|，即4c＝2a，
所以＝，即椭圆的离心率为，
故选：B．
3．（5分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为符号使用．后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（　　）
A．若a＜b，则
B．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＞bd
C．若a＞b＞0，则
D．若a＞b，则ac2＞bc2
【分析】A．取a＝﹣2，b＝1，即可判断出正误；
B．利用不等式的基本性质即可判断出正误；
C．通过作差即可判断出正误；
D．取c＝0时不正确．
解：A．取a＝﹣2，b＝1，可知：＞不成立；
B．由c＜d＜0，可得：﹣c＞﹣d＞0，又a＞b＞0，可得：﹣ac＞﹣bd＞0，化为：ac＜bd，因此不正确；
C．∵a＞b＞0，∴﹣＝＞0，∴＞，因此正确；
D．取c＝0时不正确．
故选：C．
4．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn.若，则等比数列{an}的公比为（　　）
A．2 B．1或2 C．﹣2或2 D．﹣2或1或2
【分析】设等比数列{an}的公比为q，判断q＝1不成立，运用等比数列的求和公式，解方程可得所求公比q．
解：设等比数列{an}的公比为q，
当q＝1时，Sn＝na1，S4＝2S2，不符题意；
故q≠1，可得＝5，
即为1+q2＝5，解得q＝±2，
故选：C．
5．（5分）不等式的解集是（　　）
A．（﹣∞，1]∪（2，+∞） B．（﹣∞，1]∪[2，+∞）
C．[﹣2，1] D．（﹣2，1]
【分析】根据题意可得（x﹣1）（x+2）≤0，且x+2≠0，由此求得 x的范围．
解：由不等式 可得，（x﹣1）（x+2）≤0，且x+2≠0，
求得﹣2＜x≤1，
故选：D．
6．（5分）设等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn.若S4＝5a2，则＝（　　）
A．9 B．5 C．1 D．
【分析】根据条件求出首项a1与d的关系，进而求解结论．
解：∵等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn．
∴S4＝5a2?4a1+6d＝5a1+5d?a1＝d，
∴＝＝9，
故选：A．
7．（5分）若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤a+b”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据0＜a+b≤4，由基本不等式得ab﹣（a+b）≤﹣（a+b），配方，可判断正负号；反之，可举反例进行判断，根据充分必要条件的定义判断即可．
解：∵a＞0，b＞0，a+b≤4，
∴0＜a+b≤4，
∴ab﹣（a+b）≤﹣（a+b）＝[（a+b）﹣2]2﹣1≤0，
即ab≤a+b；
∴“a+b≤4”?“ab≤a+b”；
反之不成立，例如：a＝1，b＝4，满足a+b≥ab，但是a+b＝5＞4．
故“ab≤a+b”推不出“a+b≤4”，
因此“a+b≤4”是“ab≤a+b”的充分不必要条件．
故选：A．
8．（5分）已知数列{an}满足，且，则n∈N*时，使得不等式n+100an≥a恒成立的实数a的最大值是（　　）
A．19 B．20 C．21 D．22
【分析】直接利用数列的等差中项的求出数列的通项公式，进一步利用基本不等式的应用求出结果．
解：数列{an}满足，且，
所以，故数列{}为等差数列，设公差为d．
由于，
所以，，
所以2﹣d＝，解得d＝1．
故，即．
对于函数f（n）＝n+＝20，（当且仅当n＝10时，等号成立），
所以a≤20．
故选：B．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
9．（5分）已知复数z在复平面上对应的向量，则（　　）
A．z＝﹣1+2i B．|z|＝5 C．＝1+2i D．z?＝5
【分析】由题意可得z＝﹣1+2i，再由复数的模的公式和共轭复数的定义、复数的乘法运算，可判断正确结论．
解：由题意可得z＝﹣1+2i，|z|＝＝，
＝﹣1﹣2i，
z?＝（﹣1+2i）（﹣1﹣2i）＝1+4＝5，
则A、D正确，B、C错误．
故选：AD．
10．（5分）下面命题正确的是（　　）
A．“a＞1”是“”的充分不必要条件
B．数列{an}是等比数列的必要条件a1?a3＝a22
C．命题“?x∈R，x2+1＜0”的否定是“?x∈R，x2+1≥0”
D．a＝﹣2时，“﹣2＜x＜4”是“（x+2）（x+a）＜0”的必要不充分条件
【分析】利用充要条件判断A；等比数列以及充要条件判断B；命题的否定形式判断C；不等式的解法与充要条件判断D．
解：“a＞1”推出“”，反之不成立，所以“a＞1”是“”的充分不必要条件，所以A正确；
数列{an}是等比数列可得a1?a3＝a22，反之不成立，例如a1＝0，a3≠0，a2＝0，满足a1?a3＝a22，但是数列不是等比数列，所以数列{an}是等比数列的必要条件a1?a3＝a22，所以B正确；
命题“?x∈R，x2+1＜0”的否定是“?x∈R，x2+1≥0”，不满足命题的否定形式，所以C不正确；
a＝﹣2时，“﹣2＜x＜4”推不出“（x+2）（x﹣2）＜0”，反之成立，
所以a＝﹣2时，“﹣2＜x＜4”是“（x+2）（x+a）＜0”的必要不充分条件，不正确，即D不正确；
故选：AB．
11．（5分）设数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+（2n﹣1）an＝2n（n∈N*），记数列的前n项和为Sn，则（　　）
A．a1＝2 B．an＝ C．Sn＝ D．Sn＝nan+1
【分析】先由题设求得an，然后求得，再利用裂项相消法求得其前n项和，结合选项即可得到正确答案．
解：由a1+3a2+5a3+…+（2n﹣1）an＝2n（n∈N*），可得：a1+3a2+5a3+…+（2n﹣3）an﹣1＝2（n﹣1）（n≥2），
两式相减可得：（2n﹣1）an＝2 （n≥2），即an＝，n≥2，
又当n＝1时，有a1＝2也适合上式，
∴an＝，
∴＝＝﹣，
∴Sn＝﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，
又nan+1＝n?＝＝Sn，
故选：ABD．
12．（5分）已知x＞0，y＞0，且xy﹣x﹣y＝0，则（　　）
A．4x+y的最小值为9 B．log2x+log2y＞2
C．x2+y2≥8 D．+≥2
【分析】利用题设和基本不等式逐个选项判断正误即可．
解：∵x＞0，y＞0，且xy﹣x﹣y＝0，∴x+y＝xy≥2，当且仅当x＝y时取“＝“，整理得：xy≥4，当且仅当x＝y时取“＝“，∴log2x+log2y＝log2xy≥log24＝2，故B选项错误；
又x2+y2≥2xy≥2×4＝8，当且仅当x＝y＝2时取“＝“，故选项C正确；
又（+）2＝x+y+2≥2+2＝4≥4＝8，当且仅当x＝y＝2时取“＝“，
∴+≥2，故选项D正确；
又由x+y＝xy可得：+＝1，
∴4x+y＝（4x+y）（+）＝5++≥5+2＝9，当且仅当时取“＝“，故选项A正确，
故选：ACD．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知k∈Z，i为虚数单位，复数z满足：i2kz＝1﹣i，则当k为奇数时，z＝　﹣1+i　；当k∈Z时，|z+1+i|＝　2　．
【分析】当k是奇数时，z＝﹣1+i，当k是偶数时，z＝1﹣i，从而求出|z+1+i|的值即可．
解：k是奇数时：i2k＝﹣1，
∵i2kz＝1﹣i，
∴z＝﹣1+i，
∴|z+1+i|＝2，
k是偶数时：i2k＝1，
∵i2kz＝1﹣i，
∴z＝1﹣i，
∴|z+1+i|＝2，
综上，|z+1+i|＝2，
故答案为：﹣1+i，2．
14．（5分）若存在性命题：?x∈R，使得mx2+1≤0是假命题，且全称命题：?x∈R，x2﹣2mx+1≥0是真命题，则实数m的取值范围是　[0，1]　．
【分析】把命题：?x∈R，使得mx2+1≤0是假命题，化为其否定命题为真命题，讨论m＝0与m≠0时，求出对应m的取值范围即可．利用全称命题：不等式恒成立，通过判别式小于0，列出不等式求解即可．然后推出结果．
解：命题：?x∈R，使得mx2+1≤0的否定为：
“任意x∈R，都有mx2+1＞0”，命题：?x∈R，使得mx2+1≤0是假命题，它的否定为真命题，
当m＝0时，不等式为1＞0恒成立；
当m≠0时，应满足，m＞0；
综上，实数m的取值范围是[0，+∞）．
全称命题：?x∈R，x2﹣2mx+1≥0是真命题，所以不等式恒成立，等价于△＝4m2﹣4m≤0，
解得m∈[0，1]．
综上则实数m的取值范围[0，1]．
故答案为：[0，1]．
15．（5分）已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且成等差数列，则S10＝　55d　．
【分析】根据题意求出首项a1与d的关系，进而求解结论．
解：∵公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且成等差数列，
∴2＝1+?2×（）＝1+?2（2a1+d）（a1+2d）＝（a1+d）（a1+2d）+（a1+d）（3a1+3d）?a1?d＝d2，
因为d≠0可得a1＝d，
∴an＝a1+（n﹣1）d＝nd
∴S10＝（1+2+3+……+10）d＝55d，
故答案为：55d．
16．（5分）已知x＞0，y＞0，则当取得最小值时，x﹣y＝　　．
【分析】由已知结合基本不等式可求出取得最小值时的x，y进而可求x﹣y．
解：x＞0，y＞0，
则≥4，
当且仅当x＝4y且4＝即y＝，x＝1时取等号，
此时x﹣y＝．
故答案为：．
三、解答题：共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的焦点在x轴上．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设椭圆C的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），B2是椭圆C的上顶点，直线B2F1与椭圆C的另一交点为M．
①求椭圆C的方程；
②求焦半径MF1的长．
【分析】（1）利用椭圆的定义即可求解；
（2）①根据焦点的坐标即可求出c的长，再利用椭圆的恒等式即可求解；
②求出直线F1B2的方程，然后与椭圆方程联立求出M的坐标，进而可以求解．
解：（1）由椭圆的定义可得：，解得：k＞1+，
所以实数k的取值范围为：（1+，+∞）；
（2）①由已知可得c＝1，则，解得k＝3，
所以椭圆的方程为：；
②由已知可得B2（0，），则k＝，
所以直线B2F1d的方程为：y＝，与椭圆方程联立可得：
5x2+8x＝0，解得x＝0或﹣，
所以xM＝﹣，则yM＝﹣，
所以|MF1|＝＝，
即焦半径MF1的长为．
18．（12分）设m∈R，关于x的不等式x2+2mx+m+2＜0的解集为?．
（1）求m的取值范围：
（2）求关于x的不等式mx2+（m﹣2）x﹣2≥0的解集．
【分析】（1）利用判别式△≤0列不等式求出m的取值范围；
（2）讨论m的取值范围，求对应不等式的解集．
解：（1）关于x的不等式x2+2mx+m+2＜0的解集为?，
所以△＝4m2﹣4（m+2）≤0，
即m2﹣m﹣2≤0，
解得﹣1≤m≤2．
所以m的取值范围是[﹣1，2]；
（2）m＝0时，不等式mx2+（m﹣2）x﹣2≥0化为﹣2x﹣2≥0，解得x≤﹣2；
m≠0时，不等式mx2+（m﹣2）x﹣2≥0化为（mx﹣2）（x+1）≥0，
当0＜m＜2时，＞﹣1，解不等式得x≤﹣1或x≥；
当﹣1＜m＜0时，＜﹣1，解不等式得﹣≤x≤﹣1；
综上知，
m＝0时，不等式的解集为{x|x≤﹣2}；
0＜m＜2时，不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥}；
﹣1＜m＜0时，不等式的解集为{x|﹣≤x≤﹣1}．
19．（12分）在数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+2n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
【分析】（1）直接利用构造新数列的方法的应用求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．
解：（1）数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+2n，整理得（常数），
所以数列{}是以为首项，为公差的等差数列．
则，
整理得．
所以数列{an}的通项公式为．
（2）由（1）得：①，
2②，
①﹣②得：＝，
整理得．
故．
20．（12分）设数列{an}满足a1＝0，且an+1＝．记bn＝．
（1）求证：数列{bn}为等差数列；
（2）设求满足不等式的正整数n的集合．
【分析】（1）由题设条件，利用等差数列的定义证明结论即可；
（2）先由（1）求得bn，然后求得an，cn，，再把不等式转化为2×（）n+9×（）n﹣11＜0，解出n的取值范围即可．
解：（1）证明：∵an+1＝，bn＝，
∴bn+1﹣bn＝﹣＝﹣＝1，又b1＝＝1，
∴数列{bn}为首项、公差均为1的等差数列；
（2）由（1）可得bn＝n＝，
∴an＝，∴cn＝（）n﹣1，∴＝（）n﹣1，
∴由，
可得3×＞，即2×（）n+9×（）n﹣11＜0，
令t＝（）n≥，则2t2﹣11t+9＜0，解得1＜t＜，
即1＜（）n＜，n∈N*，解得n＝1，2，3，
∴满足不等式的正整数n的集合为{1，2，3}．
21．（12分）已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，数列{bn}为等差数列，且b1＝a1＝1，b3＝a3+1，b5＝a5﹣7．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）设Sn为数列{an2}的前n项和，若对于任意n∈N*，有Sn+，求实数t的值；
（3）记cn＝数列{cn}的前n项和An，求证：An＜．
【分析】（1）由题设求得等比数列{an}的公比q与等差数列{bn}的公差d，即可求得其通项公式；
（2）先由（1）求得an2，进而求得Sn，再由Sn+求得t即可；
（3）先由（1）求得cn，再利用裂项相消法求得An，即可证明结论．
解：（1）解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），等差数列{bn}的公差为d，
由题设可得：，解得：，
∴an＝2n﹣1，bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
（2）解：由（1）可得：an2＝4n﹣1，∴Sn＝＝，
由Sn+，可得：＝t?22n﹣1?t＝；
（3）证明：由（1）可得：cn＝＝＝﹣，
∴An＝﹣+﹣+…+﹣＝﹣＜．
22．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意n∈N*，an，Sn，n2成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列bn是首项为1，公比为q的正项等比数列．
（ⅰ）求数列{bn}的前n项和Tn．
（ⅱ）若数列{bn+1﹣2an}为单调递增数列，求q的取值范围．
【分析】（1）先由题设?an﹣n＝﹣[an﹣1﹣（n﹣1）]，n≥2，然后求得a1﹣1的值，进而求得an；
（2）（i）利用等比数列的前n项和公式求得结果即可；
（ii）先由（1）、（i）求得bn+1﹣2an，令cn＝bn+1﹣2an，然后由数列{cn}的单调性得到q的不等式，再根据其恒成立求出q的取值范围．
解：（1）由题意得：2Sn＝an+n2，又当n≥2时，有：2Sn﹣1＝an﹣1+（n﹣1）2，
两式相减整理得：an＝﹣an﹣1+2n﹣1，即an﹣n＝﹣[an﹣1﹣（n﹣1）]，n≥2，
又当n＝1时，有2S1＝a1+1，解得a1＝1，
∴a1﹣1＝0，
∴an﹣n＝0，即an＝n；
（2）（i）由题设知：Tn＝；
（ii）∵an＝n，bn＝qn﹣1，∴bn+1﹣2an＝qn﹣2n，
令cn＝bn+1﹣2an＝qn﹣2n，则cn+1＝qn+1﹣2（n+1），
又数列{bn+1﹣2an}为单调递增数列，即数列{cn}为单调递增数列，
∴cn+1﹣cn＝qn（q﹣1）﹣2＞0对n∈一、选择题*恒成立，
当n＝1时，有q2﹣q﹣2＞0，又∵q＞0，∴q＞2，
令f（n）＝qn（q﹣1）﹣2，则当q＞2时，f（n）单调递增，只须f（1）＝q（q﹣1）﹣2＞0，解之得：q＞2，
∴q的取值范围为（2，+∞）．