2020-2021学年江苏省南通市如皋市高一上学期期中数学试卷 （Word版 含解析）

2020-2021学年江苏省南通市如皋市高一（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣1＜0}，N＝{x|}，则M∩N＝（　　）
A．（﹣1，3） B．[0，1） C．（0，1） D．（﹣1，0）
2．（5分）已知幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）?x（n∈Z）在（0，+∞）上是减函数，则n的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．2 D．1或2
3．（5分）若x≥y，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A．x2+y2≥2xy B． C．2x≤2y D．x2≥y2
4．（5分）设A＝[﹣3，3]，B＝{y|y＝﹣x2+m，x∈R}，若A∩B＝?，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣3） B．（﹣∞，﹣3] C．（3，+∞） D．[3，+∞）
5．（5分）设a，b∈R，则“ab+4≠2a+2b”的充要条件是（　　）
A．a，b不都为2 B．a，b都不为2
C．a，b中至多有一个是2 D．a，b不都为0
6．（5分）设a∈R，已知函数y＝f（x）是定义在[﹣4，4]上的减函数，且f（a+1）＞f（2a），则a的取值范围是（　　）
A．[﹣4，1） B．（1，4] C．（1，2] D．[﹣5，2]
7．（5分）若一个函数的解析式为f（x）＝2|x﹣1|+1，它的值域为[1，3]，这样的函数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
8．（5分）已知函数y＝f（x），x∈R，下列说法不正确的是（　　）
A．若对于?x∈R，都有f（a﹣x）﹣f（b+x）＝0（a，b为常数），则f（x）的图象关于直线对称
B．若对于?x∈R，都有f（a﹣x）+f（b+x）＝0（a，b为常数），则f（x）的图象关于点对称
C．若对于?x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），则f（x）是奇函数
D．若对于?x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）?f（y），且f（x）≠0，则f（x）是奇函数
二、多项选择题（共4小题）
9．（5分）下列命题中正确的是（　　）
A．当x≥1时，
B．当x＜0时，
C．当0＜x＜1时，
D．当x＞2时，
10．（5分）已知函数，则下列判断正确的有（　　）
A．f（x）的最小值为
B．f（x）在区间[0，1]上是增函数
C．f（x）的最大值为1
D．f（x）无最大值
11．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为[a，b]，a＜c＜b．下列说法中错误的是（　　）
A．若f（x）在[a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c）
B．若f（x）在[a，c）上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c）
C．若f（x）在（a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c）
D．若f（x）在[a，c]上是增函数，在（c，b）上是减函数，则f（x）max＝f（c）
12．（5分）任何一个正整数x可以表示成x＝a×10n，（1≤a＜10，n∈N），此时，lgx＝n+lga．
真数 2 3 4 5 6 7 8
常用对数 （近似值） 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903
下列结论正确的是（　　）
A．x是n+1位数
B．x是n位数
C．3100是48位数
D．一个11位正整数的15次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5
三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）命题“?x0∈R，x02＞0”的否定是　 　．
14．（5分）＝　 　．
15．（5分）已知函数，则f（x）的定义域为　 　，值域为　 　．
16．（5分）地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级M与所释放的能量E的关系如下：E＝104.8+1.5M（焦耳）．那么，7.5级地震释放的能量是5.5级地震释放的能量的　 　．
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17．（10分）设．
（1）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围
18．（12分）已知函数f（x）＝4x﹣m?2x+1﹣8．
（1）若m＝1，求方程f（x）＝0的解；
（2）若对于?x∈[0，2]，f（x）≥﹣2恒成立，求实数m的取值范围．
19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+2bx+1，x∈[1，3]（a，b∈R且a，b为常数）．
（1）若a＝1，求f（x）的最大值；
（2）若a＞0，b＝﹣1，且f（x）的最小值为﹣4，求a的值．
20．（12分）已知函数．
（1）证明：f（x）是奇函数；
（2）用函数单调性的定义证明：f（x）在区间[0，+∞）上减函数．
21．（12分）已知函数（a为非零常数）．
（1）若a＞0，且方程f（x）＝0在区间[0，2]上有两个不等实根，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式：．
22．（12分）若函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的奇函数，且．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设g（x）＝f（log2x﹣2）+m，x∈[1，16]，对于?x1，x2，x3∈[1，16]，且g（x1）≤g（x2）≤g（x3），都有g（x1）+g（x2）≥g（x3），求实数m的最小值．
参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣1＜0}，N＝{x|}，则M∩N＝（　　）
A．（﹣1，3） B．[0，1） C．（0，1） D．（﹣1，0）
解：集合M＝{x|x2﹣1＜0}＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|}＝{x|0＜x＜3}，
∴M∩N＝{x|0＜x＜1}，
故选：C．
2．（5分）已知幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）?x（n∈Z）在（0，+∞）上是减函数，则n的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．2 D．1或2
解：幂函数f（x）＝（n2+2n﹣3）?（n∈Z）在（0，+∞）上是减函数，
所以，
解得；
所以n的值为1．
故选：B．
3．（5分）若x≥y，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A．x2+y2≥2xy B． C．2x≤2y D．x2≥y2
解：由x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2≥0，故A正确；
当＜0时，选项B不成立，
由y＝2x为增函数，∵x≥y，∴2x≥2y，故C错误；
当x＝0，y＝﹣1时，选项D不正确，
故选：A．
4．（5分）设A＝[﹣3，3]，B＝{y|y＝﹣x2+m，x∈R}，若A∩B＝?，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣3） B．（﹣∞，﹣3] C．（3，+∞） D．[3，+∞）
解：B＝{y|y＝﹣x2+m，x∈R}＝{y|y≤m}，
∵A∩B＝?，
∴m＜﹣3，
即实数m的取值范围是：（﹣∞，﹣3）．
故选：A．
5．（5分）设a，b∈R，则“ab+4≠2a+2b”的充要条件是（　　）
A．a，b不都为2 B．a，b都不为2
C．a，b中至多有一个是2 D．a，b不都为0
解：由ab+4≠2a+2b，得ab﹣2a﹣2b+4≠0，则（a﹣2）（b﹣2）≠0，
故a≠2且b≠2，
反之，a≠2且b≠2时，（a﹣2）（b﹣2）≠0，则ab﹣2a﹣2b+4≠0，则ab+4≠2a+2b，
故“ab+4≠2a+2b”的充要条件是“a≠2且b≠2“，
故选：B．
6．（5分）设a∈R，已知函数y＝f（x）是定义在[﹣4，4]上的减函数，且f（a+1）＞f（2a），则a的取值范围是（　　）
A．[﹣4，1） B．（1，4] C．（1，2] D．[﹣5，2]
解：因为函数y＝f（x）是定义在[﹣4，4]上的减函数，且f（a+1）＞f（2a），
所以﹣4≤a+1＜2a≤4，
解得，1＜a≤2．
故选：C．
7．（5分）若一个函数的解析式为f（x）＝2|x﹣1|+1，它的值域为[1，3]，这样的函数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
解：∵满足题意的一个函数f（x）＝2|x﹣1|+1的值域为[1，3]
即1≤2|x﹣1|+1≤3，
∴0≤x≤2，
∴函数的定义域为[0，2]，
∴根据函数的定义在[0，2]内，可以画无数个函数图象使得值域为[1，3]
∴满足题意的函数有无数个
故选：D．
8．（5分）已知函数y＝f（x），x∈R，下列说法不正确的是（　　）
A．若对于?x∈R，都有f（a﹣x）﹣f（b+x）＝0（a，b为常数），则f（x）的图象关于直线对称
B．若对于?x∈R，都有f（a﹣x）+f（b+x）＝0（a，b为常数），则f（x）的图象关于点对称
C．若对于?x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），则f（x）是奇函数
D．若对于?x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）?f（y），且f（x）≠0，则f（x）是奇函数
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若对于?x∈R，都有f（a﹣x）﹣f（b+x）＝0，即f（a﹣x）＝f（b+x），变形可得f（﹣x）＝f（+x），则函数f（x）的图象关于直线对称，A正确，
对于B，若对于?x∈R，都有f（a﹣x）+f（b+x）＝0，即f（a﹣x）＝﹣f（b+x），变形可得f（﹣x）＝﹣f（+x），则函数f（x）的图象关于点（，0）对称，B正确，
对于C，若对于?x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），令x＝y＝0可得，f（0）＝2f（0），即f（0）＝0，再令y＝﹣x可得，f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，即函数f（x）是奇函数，C正确，
对于D，若对于?x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）?f（y），如函数y＝2x，满足f（x+y）＝f（x）?f（y），但不是奇函数，D错误，
故选：D．
二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）下列命题中正确的是（　　）
A．当x≥1时，
B．当x＜0时，
C．当0＜x＜1时，
D．当x＞2时，
解：当x≥1时，x+≥2，当且仅当x＝即x＝1时取等号，A正确；
当x＜0时，x+＝﹣[（﹣x）+（﹣）]≤﹣2即最大值为﹣2，B正确；
当0＜x＜1时，＞2，C中等号取不到，C错误；
x＞2时，＞2，D中等号取不到，没有最小值D，错误；
故选：AB．
10．（5分）已知函数，则下列判断正确的有（　　）
A．f（x）的最小值为
B．f（x）在区间[0，1]上是增函数
C．f（x）的最大值为1
D．f（x）无最大值
解：f（x）＝＝＝1﹣，
当x＝0时，f（0）＝1，
当x≠0时，f（x）＝1﹣，
由于y＝x+在（0，1]上单调递减，
∴f（x）在[0，1]上单调递减，故B错误，
∵x＞0，
∴x+≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，
∴0＜≤，
∴≤1﹣＜1，
综上所述f（x）的值域为[，1]，
故选项AC正确，选项D错误，
故选：AC．
11．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为[a，b]，a＜c＜b．下列说法中错误的是（　　）
A．若f（x）在[a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c）
B．若f（x）在[a，c）上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c）
C．若f（x）在（a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c）
D．若f（x）在[a，c]上是增函数，在（c，b）上是减函数，则f（x）max＝f（c）
解：若f（x）在[a，c]上是增函数，则f（c）≥f（x），x∈[a，c]；
在[c，b]上是减函数，则f（c）≥f（x），x∈[c，b]，
所以f（x）max＝f（c），故A正确；
若f（x）在[a，c）上是增函数，在[c，b]上是减函数，函数的最大值不一定为f（c），
如图
故B错误；
若f（x）在（a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，函数的最大值不一定为f（c），
如图：
故C错误：
若f（x）在[a，c]上是增函数，在（c，b）上是减函数，函数的最大值不一定为f（c），
如图
故D错误．
故选：BCD．
12．（5分）任何一个正整数x可以表示成x＝a×10n，（1≤a＜10，n∈N），此时，lgx＝n+lga．
真数 2 3 4 5 6 7 8
常用对数 （近似值） 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903
下列结论正确的是（　　）
A．x是n+1位数
B．x是n位数
C．3100是48位数
D．一个11位正整数的15次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5
解：x＝a×10n，（1≤a＜10，n∈N），
由于10是两位数，则x是n+1位数，故A正确，B不正确；
设3100＝x，则lgx＝100lg3＝47.7，
∴x＝100.7×1047，
∴3100是48位数，故C正确；
只需要说明515是否为一个11位数正整数，
则x＝515，则lgx＝15lg5＝10.485，
则x＝100.485×1010，
故515为一个11位数正整数，
故D正确．
故选：ACD．
三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）命题“?x0∈R，x02＞0”的否定是　?x∈R，x2≤0　．
解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“?x0∈R，x02＞0”的否定是：?x∈R，x2≤0．
故答案为：?x∈R，x2≤0．
14．（5分）＝　　．
解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝．
故答案为：．
15．（5分）已知函数，则f（x）的定义域为　（﹣∞，1）　，值域为　（﹣∞，1）　．
解：由a﹣ax＞0，
可得a＞ax，
∵a＞1，
∴x＜1，
故得f（x）的定义域为（﹣∞，1）；
令t＝a﹣ax＞0，
∵ax＞0，
∴t＜a，
由题意y＝logat是单调递增函数，
∴值域为（﹣∞，1）．
故答案为：（﹣∞，1）；（﹣∞，1）．
16．（5分）地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级M与所释放的能量E的关系如下：E＝104.8+1.5M（焦耳）．那么，7.5级地震释放的能量是5.5级地震释放的能量的　103倍　．
解：设7.5级地震释放的能量为E1，5.5级地震释放的能量为E2，
∴，E2＝104.8+1.5×5.5＝1013.05，
∴＝103，
即7.5级地震释放的能量是5.5级地震释放的能量的103倍．
故答案为：103倍．
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17．（10分）设．
（1）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围
解：∵≤1，∴﹣1≤x＜3，
故关于p的集合A＝[﹣1，3]，
∵|x﹣2|≤a，∴2﹣a≤x≤2+a，
故关于q的集合B＝[2﹣a，2+a]，
（1）若p是q的充分不必要条件，
则A?B，则，解得：a≥3；
即a的范围是[3，+∞）；
（2）若p是q的必要不充分条件，
则B?A，则，解得：a≤1，
而a＞0
故a的范围是（0，1]．
18．（12分）已知函数f（x）＝4x﹣m?2x+1﹣8．
（1）若m＝1，求方程f（x）＝0的解；
（2）若对于?x∈[0，2]，f（x）≥﹣2恒成立，求实数m的取值范围．
解：（1）当m＝1时，f（x）＝4x﹣2x+1﹣8，
f（x）＝0，即有4x﹣2x+1﹣8＝0，可得（2x﹣4）（2x+2）＝0，
即2x＝4，解得x＝2；
（2）对于?x∈[0，2]，f（x）≥﹣2恒成立，
即为4x﹣m?2x+1﹣8≥﹣2，即2m≤2x﹣对?x∈[0，2]恒成立，
设t＝2x（1≤t≤4），由y＝t和y＝﹣在[1，4]上递增，
可得g（t）＝t﹣在[1，4]上递增，
可得g（t）的最小值为g（1）＝﹣5，
则2m≤﹣5，可得m≤﹣，
即m的取值范围是（﹣∞，﹣]．
19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+2bx+1，x∈[1，3]（a，b∈R且a，b为常数）．
（1）若a＝1，求f（x）的最大值；
（2）若a＞0，b＝﹣1，且f（x）的最小值为﹣4，求a的值．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2+2bx+1，x∈[1，3]，
函数的对称轴为：x＝﹣b，
当﹣b＞2即b＜﹣2时，f（x）max＝f（1）＝2b+2，
当﹣b≤2即b≥﹣2时，f（x）max＝f（3）＝6b+10，
综上，f（x）max＝；
（2）当a＞0，b＝﹣1时，f（x）＝ax2﹣2x+1，x∈[1，3]，
函数的对称轴为：x＝＞0，
当≤1即a≥1时，f（x）min＝f（1）＝a﹣1＝﹣4，解得a＝﹣3，不合题意舍去，
当≥3即0＜a时，f（x）min＝f（3）＝9a﹣5＝﹣4，解得a＝成立，
当1＜＜3即＜a＜1时，f（x）min＝f（）＝1﹣＝﹣4，解得a＝，不合题意舍去，
故a的值为．
20．（12分）已知函数．
（1）证明：f（x）是奇函数；
（2）用函数单调性的定义证明：f（x）在区间[0，+∞）上减函数．
【解答】证明：（1）函数的定义域为R，
且f（﹣x）＝lg（+x）＝lg＝lg＝﹣lg（﹣x）＝﹣f（x），
所以函数f（x）是奇函数．
（2）设x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝lg（﹣x1）﹣lg（﹣x2）＝lg＝lg，
因为x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，
所以+x2＞+x1＞0，
所以＞1，
所以lg＞0，
即f（x1）﹣f（x2）＞0，
所以f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在区间[0，+∞）上是减函数．
21．（12分）已知函数（a为非零常数）．
（1）若a＞0，且方程f（x）＝0在区间[0，2]上有两个不等实根，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式：．
解：（1）∵方程f（x）＝ax2+（a﹣1）x+1﹣a＝0在[0，2]上有两个不等实根，
∴，即，解得：≤a＜或＜a≤，
∴实数a的取值范围为[，）∪（，]；
（2）不等式等价于：ax2+（a﹣1）x﹣（2+）＞0，
可化为：（ax﹣2）（x+）＞0，
∵a≠0，
∴①当a＞0时，原不等式可化为：（x﹣）（x+）＞0，解得：x＞或x＜﹣；
②当a＝﹣3时，原不等式可化为：（﹣3x﹣2）（x+）＞0，解得：x∈?；
③当a＜﹣3时，原不等式可化为：（x﹣）（x+）＜0，解得：﹣＜x＜；
④当﹣3＜a＜0时，原不等式可化为：（x﹣）（x+）＜0，解得：＜x＜﹣；
综上，①当a＞0时，原不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；
②当﹣3＜a＜0时，原不等式的解集为（，﹣）；
③当a＝﹣3时，原不等式的解集为?；
④当a＜﹣3时，原不等式的解集为（﹣，）．
22．（12分）若函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的奇函数，且．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设g（x）＝f（log2x﹣2）+m，x∈[1，16]，对于?x1，x2，x3∈[1，16]，且g（x1）≤g（x2）≤g（x3），都有g（x1）+g（x2）≥g（x3），求实数m的最小值．
解：函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的奇函数，
令﹣2≤x＜﹣1，则1＜﹣x≤2，
故f（﹣x）＝﹣（﹣x）+2＝﹣f（x），故f（x）＝﹣x﹣2，
故﹣2≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣x﹣2，
﹣1≤x≤1时，f（x）＝x3，
1＜x≤2时，f（x）＝﹣x+2；
综上：f（x）＝；
（2）∵g（x1）≤g（x2）≤g（x3），
∴f（log2x1﹣2）＜f（log2x2﹣2）＜f（log2x3﹣2），
∵g（x1）+g（x2）≥g（x3），
∴m≥f（log2x3﹣2）﹣[f（log2x1﹣2）+f（log2x2﹣2）]
故只需求f（log2x3﹣2）﹣[f（log2x1﹣2）+f（log2x2﹣2）]的最大值即可，
令t＝log2x﹣2，t∈[﹣2，2]，求f（t）的最大值和最小值即可，
由（1）得f（t）min＝﹣1，f（t）max＝1，
故f（log2x3﹣2）﹣[f（log2x1﹣2）+f（log2x2﹣2）]＜f（t）max﹣[f（t）min+f（t）min]＝3，
故m≥3，其最小值是3．