鲁教版
五四制
九年级
《3.6
二次函数的应用（1）》教学设计
济宁市任城区安居第一中学
田素芬
教学目标：
知识与技能：能根据情境中所给信息，写出二次函数表达式，结合函数图象，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。
过程与方法：经历由实际问题中的最值转化为二次函数的最值，归纳总结出解决面积最值问题的一般步骤，学生体会数形结合、函数建模的思想，培养分析思维能力，提高问题解决素养。
情感、态度与价值观：从学生熟悉的生活场景引入课题，激发学生对函数应用的探究兴趣，逐步养成合作交流、学以致用的习惯，进一步培养利用函数的观点认识世界的意识，体会数学在生活中广泛的应用价值。
教学重点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，应用函数的知识解答面积最值，提高解决问题的能力。
教学难点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的取值范围。
教学过程
师：上一节，我们学习了二次函数的表达式，课件展示y＝ax2+bx+c
(a≠0)、y＝a(x-h)2+k
(a≠0)
生：说出表达式的一般式、顶点式
师（板书表达式）：对于一般式，当a>0时，函数图象即抛物线开口向上，有最低点并板书顶点坐标，而顶点式显而易见，顶点坐标（h，k）。这两个表达式很重要，利用它们可以帮助我们解决生活中遇到的问题。今天，我们一起来学习二次函数的应用。（板书课题）
情境导入：视频——栅栏围地
学生活动：认真观看视频，指生回答里面的小问题，尝试分析自变量x的取值范围
师（点评）引导生（口答）：有了表达式，我们可以画出图象。此时a<0，抛物线开口向下，有最高点，对应函数有最大值。函数图象有个性质：抛物线顶点的纵坐标，对应函数的最大值（或最小值）。根据顶点坐标公式，求得当x=5时，面积最大是50。
提醒考虑：在自变量的取值范围里
设计意图：视频导入新课，能更好引起学生的学习兴趣，使学生感到函数与生活的联系。这样，围成的面积问题就转化为图象顶点的纵坐标值，在这个实际问题的解决过程中，学生体会“数形结合”、“函数建模”思想（板书），同时也为后面自主思考作铺垫。
二、自主思考：
师：根据刚刚学习的经验，思考下面问题
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.何时面积最大？
生：独立完成
师：巡视指导（求自变量的取值范围、画草图）
个别投影展示并讲解
师（点评）：图象上标出对称轴和顶点坐标，便于分析。
追问：有没有不同设法？
其他口答
给学生留出时间，任选一种设法完成在自己的学案上。
核对屏幕上的答案，并发现老师所给答案中的不完整性，共同补充。（注意：自变量的取值范围）
师：回顾以上面积最大问题，你有解决的基本思路吗？与同伴交流
B层尝试总结，A层补充
师生共同归纳：解决面积最值问题的一般步骤（板书），生补充在学案上。
设计意图：学生可以根据已有的知识经验进行类比学习，在自主思考中采用不同的方法求解，有的学生设AB=x，有的学生设AD=x，通过展示交流，学生体会“多法归一”。
三、深入探究：
师：接下来，我们看一个更有意思的问题
如图,
改变矩形摆放的位置，此时点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.何时矩形面积最大？
最大面积是多少？
以小组为单位，合作完成，请小组代表展示成果。
师：这道题运用到前面所讲的什么知识点？
生：勾股定理
师：与上一题的相同点？
生：相似的性质
追问：条件不足时，需要作辅助线，如何做？
出示作法，规范表述。
师：在解最值时候，除了用公式法，还可以用配方法，写成顶点式，一目了然。
追问：观察结果，你发现了什么？
生：这样摆放，面积最大也是300。
设计意图：有了前面的经验积累，学生们在讨论时，每一位学生都有一定的思路并参与求解，提升课堂效率。
四、学以致用：
师：用你所学的知识，帮老师解决一个生活问题
老师家的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.请你算出当x等于多少时,窗户通过的光线最多?此时,窗户的面积是多少?
师：窗户通过的光线最多，意味着什么？
生：窗户的面积最大
师：窗户的面积如何表示？
生：上半部是圆，下半部是矩形
师：你能表示出它们吗？
指生回答，给与鼓励。
师：要求面积与x之间的关系，那变量y怎么办？
生：用含x的代数式替换
师：如何替换？
生：制造窗框的材料总长为15米
师：同学们找到了问题的关键句。
给学生留出一定的时间，计算求解，互换核对。
设计意图：设置问题串，师生对学，充分交流。问题串体现了“逆向思维”，逐步引导学生将变量y转化出来，突破难点。
五、课堂小结：
师：通过本节课的学习，你最深的感受是什么，有哪些收获？
学生交流回顾本节知识点，师引导生构建本节知识框架，从生活中来，到生活中去，利用二次函数关系解决最值问题，体会数学与生活的密切联系。
六、当堂检测：
分层布置，第一个完成且全对的同学荣升为小组长，帮助批改组员作业，组员如有疑惑，组长解答，然后组员再给组长讲一遍，并纠错整理。
A层：用长为80m的篱笆，围成一个一边靠墙的矩形菜园，已知墙长50m，怎样设计才使菜园的面积最大？最大面积是多少？
B层：
设计意图：满足不同层次学生的发展需要，第一题小组里出现不同的设法，对比分析自变量的取值范围，第二题选自智慧学习，为拓展提升，当顶点的横坐标不在自变量取值范围时的二次函数最值的求法。
七、跟踪作业：
必做：先完成课本P98
习题3.12
1、3
再完成智慧学习
1-5题
选做：智慧学习P106
6题
八、结束寄语：
生活是数学的源泉，探索是数学的生命线，用心感悟生活，发现数学的美与价值。(共18张PPT)
数学
九年级上册
鲁教版
温故知新
一般式：y＝ax2+bx+c
(a≠0)
顶点式：y＝a(x-h)2+k
(a≠0)
二次函数的表达式
1.
学会用二次函数的图象与性质，分析实际问题有关图形面积的最值问题。
2.
运用表达式的公式法、配方法，培养严谨的数学思维能力，提高运算和解决实际问题的素养。
3.
体会数形结合、数学建模的思想，感受数学源于生活，又服务于生活，给人们带来的应用价值。
学习目标
新课导入
栅栏面积视频.swf
新课导入
新课导入
新课导入
何时面积最大？
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，
其中AB和AD分别在两直角边上.
自主思考
M
N
40cm
30cm
A
B
C
D
┐
设法1：矩形的一边AB=xcm,
何时面积最大？
A
B
C
D
┐
M
N
40cm
30cm
xcm
bcm
问题解决
（0设法2：设矩形的一边AD=xcm,
何时面积最大？
A
B
C
D
┐
M
N
40cm
30cm
bcm
xcm
问题解决
（0议一议
M
N
40cm
30cm
A
B
C
D
┐
回顾以上“面积最大”问题，你有解决的基本思路吗？
与同伴交流.
设未知数，确定自变量和函数;
找等量关系,列出函数关系式;
求自变量的取值范围；
利用函数的性质，解得最值；
写出答案。
面积最值问题
设BC=xcm，过点P作PH⊥MN，垂足为点H，交AD于点G。
如图,
改变矩形摆放的位置，此时点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.何时矩形面积最大？
深入探究
A
B
C
D
┐
M
N
P
40cm
30cm
xcm
bcm
H
G
┛
┛
老师家的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.请你算出当x等于多少时,窗户通过的光线最多?此时,窗户的面积是多少?
学以致用
x
x
y
（X>0,y>0）
通过本节课的学习，你最深的感受是什么？
实际问题
（最值问题）
抽象
转化
数学问题
运用
数学知识
问题的解
返回解释
检验
课堂小结
（二次函数求最值）
A层：用长为80m的篱笆，围成一个一边靠墙的矩形菜园，已知墙长50m，怎样设计才使菜园的面积最大？最大面积是多少？
分析：若设矩形菜园的宽为x（m），则菜园的长为
，面积为y（m2）.根据题意，y与x之间的函数表达式为：
思考一下：宽x的取值范围？
当堂检测
B层：
当堂检测
必做：先完成课本P98
习题3.12
1、3
再完成智慧学习
1-5题
选做：智慧学习P106
6题
跟踪作业
结束寄语
生活是数学的源泉，
探索是数学的生命线，
用心感悟生活，
发现数学的美与价值。
