第二十四章
圆
24.1
圆的有关性质
24.1.2
垂直于弦的直径
【教学目标】
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
【教学重难点】
1.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
2.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
【教学过程】
一、创设情境，导入新课
赵州桥是1300多年前我国隋代匠师李春建造的石拱桥．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
带着问题进入本节课的学习
学习导航，自主探究
让学生拿出课前准备好的圆形纸片
沿着圆形纸片的任意一条直径对折，你发现了什么？重复做几次,你能得到什么结论？
生：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
合作交流，解决问题
观察图形，你能找到它的对称轴是哪一条吗？沿着对称轴折叠，会出现哪些相
等的线段和弧？同位两人交流讨论。
生：
由此得出垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
符号语言：∵
CD是直径，CD⊥AB
∴
AE=BE,
展示图形，以巩固学生对垂径定理的掌握。
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
o
多媒体展示垂径定理的几个基本图形
深入探究，反馈点拨
多媒体展示垂径定理的
题设：①过圆心
；②垂直于弦；
结论：③平分弦；④平分弦所对的优弧
；
⑤平分弦所对的劣弧.
提出问题：
若将②与③交换，得到的命题是真命题吗？
引导学生讨论当弦是直径以及当弦不是直径时的情况，由此得出垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
师生共同写出符号语言：
∵
CD是直径，AE=BE，
∴CD⊥AB
进一步得出：一条直线满足：
（1）过圆心
（2）垂直于弦
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
上述条件中的任意两个条件，就能推出其它三个.(简记为：知二推三)
多媒体展示三道练习题目，巩固所学
例1
如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB=
cm.
例2
如图，⊙O的弦AB＝8cm
，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC
例3
已知：⊙O中弦AB∥CD,
求证：AC＝BD.
拓展延伸，生活链接
回到课堂刚开始时提出的问题
赵州桥的跨度（弧所对的弦的长）为
37
m，拱高（弧的中点到弦的距离）为
7.23m，
求赵州桥主桥拱的半径.
解析：如图，用弦AB表示主桥拱的跨度，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
学生在练习本上独立完成。
经典归纳，分享收获
带领学生共同总结本节课所学知识：垂径定理，垂径定理的推论，解题方法。
【课后作业】
课本83页课后练习1,2
【课后反思】
通过本节课的教学，让我意识到在教学中要以学生为主体，调动学生学习的主动性。在教学过程中坚持讲练结合，使学生所学得到及时巩固。
C
O
B
A
D
线段:
AE
=BE
⌒
⌒
⌒
弧:
AC=BC,
AD=BD
⌒
弧:
AC=BC,
AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
O.
O.
O.
O.
O.
O.
O.
O.
C
B
A
⌒
⌒
⌒
⌒
AC=BC,
AD=BD
D
E
B
A
O.
E
O.
O
D
C
B
A
D
C
B
A
O(共17张PPT)
第二十四章
圆
24.1
圆的有关性质
24.1.2
垂直于弦的直径
赵州桥是1300多年前我国隋代匠师李春建造的石拱桥．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.
引入新课
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
沿着圆形纸片的任意一条直径对折，你发现了什么,重复做几次,你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
自主探究
问题：如图,AB是⊙O的一条弦,
直径CD⊥AB,
垂足为E.
线段:
AE=BE
弧:
AC=BC,
AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
D
E
C
垂径定理及其推论
二
合作探究
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵
CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE,
⌒
⌒
AC
=BC,
⌒
⌒
AD
=BD.
符号表示：
总结
题设
结论
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
垂径定理的几个基本图形：
垂径定理
题设：①过圆心
；②垂直于弦；
结论：③平分弦；④平分弦所对的优弧
；
⑤平分弦所对的劣弧.
思考：
若将②与③交换，得到的命题是真命题吗？
深入探究
一·
当弦AB不是直径时
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD平分AB
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
·
O
A
B
C
D
E
⌒
AC与BC相等吗？
AD与BD相等吗？为什么
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
C
D
·
O
A
B
C
D
?
特别说明：
圆的任意两条直径是互相平分的.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论
总结
∵
CD是直径，AE=BE，
CD⊥AB
∴
AC
=BC,
AD
=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
·
C
A
B
D
E
一条直线满足：
（1）过圆心
（2）垂直于弦
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
上述条件中的任意两个条件，就能推出其它三个.(简记为：知二推三)
总结
例1
如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB=
cm.
·
O
A
B
E
16
应用新知
例2
如图，⊙O的弦AB＝8cm
，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC
.
·
O
A
B
E
C
D
例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,
求证：AC＝BD.
⌒
⌒
.
C
D
A
B
O
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
⌒
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⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
M
N
解：如图，用弦AB表示主桥拱的跨度，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
生活连接
它的跨度（弧所对的弦的长）为
37
m，
拱高（弧的中点到弦的距离）为
7.23m，
求赵州桥主桥拱的半径.
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;
③平分弦（不是直径）;
④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
经典归纳
课本83页练习1，2题
课后作业
