18.2.3 正方形（共26张ppt）

(共26张PPT)
18.2.3
正方形
人教版·八年级数学·下册
1.掌握正方形的概念和性质,并会用它们进行有关的论证和计算.
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别,通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的学习,提高逻辑思维能力.
3.经历探究正方形判定条件的过程,发展学生初步的综合推理能力.
重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和掌握正方形的判定方法.
难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质的灵活运用及合理恰当地利用特殊四边形的判定进行有关的论证和计算.
阅读课本第58-59页内容，学习本节主要内容.
直角
相等
互相垂直平
分且相等
4
相等
直角
矩形
菱形
[生活中的正方形]
[生活中的正方形]
[生活中的正方形]
[生活中的正方形]
[生活中的正方形]
[生活中的正方形]
一个平行四边形如果有一组邻边相等,有一个角是直角,那么它是什么四边形？如果一个矩形一组邻边相等？一个菱形有一个角是直角呢？
改变矩形的边,使之一组邻边相等,就得到了一个正方形.
定义:_____相等的______叫做正方形.
条件有:(1)
______,(2)
___________.
改变菱形的角,使之一角为直角,就得到了一个正方形.
定义:有一个角是直角的菱形叫做正方形.
条件有:(1)
______,(2)
_________.
邻边
通过分析,感受正方形与矩形、菱形、平行四边形的紧密联系.
教师点拨：
矩形
矩形
邻边相等
菱形
有一个直角
正方形的性质:正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形.
所以,正方形具有_____的性质,同时又具有_____的性质.
总结:边的性质:_____________.
角的性质:_______________.
对角线的性质:____________________________.
几何语言:(如图):∵四边形ABCD是正方形,
∴(边)_______________
(角)_________________________
(对角线)____________________
从边、角、对角线三个方面归纳总结正方形的性质.
教师点拨：
四条边都相等
矩形
菱形
四个角都是直角
对角线相等,并且互相垂直平分
AB=BC=CD=DA.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.
AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
1.矩形ABCD加上一个条件:_________,就可以得到正方形ABCD.
2.菱形ABCD加上一个条件:____________,就可以得到正方形ABCD.
3.下列说法是否正确,并说明理由.
(1)对角线相等的菱形是正方形;(
)
(2)对角线互相垂直平分的矩形是正方形;(
)
(3)对角线垂直且相等的四边形是正方形;(
)
(4)四条边都相等的四边形是正方形;(
)
(5)四个角相等的四边形是正方形.(
)
根据平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系,归纳出正方形的判定定理.
教师点拨：
邻边相等
√
一个角是直角
√
×
×
×
例1:已知:如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.求证:OE=OF.
教师点拨：
本题考查菱形的定义与性质及勾股定理的逆定理,解题关键是根据勾股定理的逆定理得出△AOB为直角三角形.
证明：
∴∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO.
又DG⊥AE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°.
∴∠EAO=∠FDO,
∴△AEO≌△DFO,
∴OE=OF.
例2：已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E、F,求证:四边形CFDE是正方形.
教师点拨：
本题考查正方形的判定方法,先说明它是矩形,再说明有一组邻边相等.
证明：
∵∠ACB=90°,DE⊥BC,DF⊥AC,
∴四边形CFDE是矩形,
又∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,
∴DE=DF.
∴四边形CFDE是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).
例3：E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点,AE=BF=CM=DN,四边形EFMN是什么图形？证明你的结论.
教师点拨：
本题考查正方形的判定方法,先说明它是菱形,再说明它有一个角为直角.
解：
∵四边形EFMN是正方形.
∵AE=BF=CM=DN,
∴AN=DM=CF=BE.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF.
证明：
∴EF=EN=NM=MF,∠ENA=∠DMN,
∴四边形EFMN是菱形.
∵∠ENA=∠DMN,∠DMN+∠DNM=90°,
∴∠ENM=90°,∴四边形EFMN是正方形.
证明：
教师点拨：
本题主要考查对正方形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理、对顶角等知识的理解和掌握,能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键.
(1)∵四边形ABCD是正方形,
1.如图,在一个正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,连接EB、ED.(1)求证:△BEC≌△DEC;
(2)延长BE交AD于点F,若∠DEB=140°,求∠AFE的度数.
∴CD=CB,∠DCA=∠BCA,
又CE=CE,∴△BEC≌△DEC;
(2)∵∠DEB=140°,且△BEC≌△DEC,
∴∠DEC=∠BEC=70°,
∴∠AEF=∠BEC=70°,
∴∠DAB=90°,
∴∠DAC=∠BAC=45°,
∴∠AFE=180°-70°-45°=65°.
解：
证明：
2.如图,已知正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且AF平分∠DAE.
求证:AE=DF+BE.
延长CB到G,使BG=DF,连接AG(如图).
∵AD=AB,∠D=∠ABG=90°,
∴△ADF≌△ABG(SAS),
∴∠5=∠G,∠1=∠3.
∵∠1=∠2,∴∠2=∠3,
∴∠2+∠4=∠3+∠4,即∠FAB=∠EAG.
∵CD∥AB,∴∠5=∠FAB=∠EAG,
教师点拨：
本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质,全等三角形的判定,全等三角形对应角相等的性质,本题中求证∠EAG=∠G是解题的关键.
∴∠EAG=∠G,
∴AE=EG=EB+BG=EB+DF.
证明：
3.已知:如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A、C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB、DN分别交l2于Q、P两点.求证:四边形PQMN是正方形.
∵PN⊥l1,QM⊥l1,
∴PN∥QM,∠PNM=90°,
∵PQ∥NM,∴四边形PQMN是矩形.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC,
∴∠1+∠2=90°,
又∠3+∠2=90°,∴∠1=∠3,
教师点拨：
合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.
∴△ABM≌△DAN,∴AM=DN.
∴同理AN=DP,
∴AM+AN=DN+DP,即MN=PN,
∴四边形PQMN是正方形.
15°
3
B
D
证明：
过D点作DG⊥AB于G，
∵AD平分∠BAC,且DF⊥AC于F，
∴DF＝DG，
同理可得DE＝DG，
∴DE＝DF，
又∵四边形CEDF为矩形，且DE＝DF，
∴四边形CEDF是正方形.
1.正方形
对边平行
四边相等
四个角都是直角
角
边
对角线相等
互相垂直
互相平分
平分一组对角
对角线
2.正方形的判定:
平行四
边形
矩形
菱形
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一个角是直角
正方形