(共17张PPT)
18.1.2
平行四边形的判定
人教版·八年级数学·下册
第一课时
1.平行四边形的判定定理及应用.
2.会综合运用平行四边形的判定定理和性质定理来解决问题.
3.会根据条件来画出平行四边形.
4.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题.
重点：平行四边形判定方法的探究、运用以及平行四边形的性质和判定的综合运用.
难点：对平行四边形判定方法的证明以及平行四边形的性质和判定的综合运用.
阅读课本第45页内容，学习本节主要内容.
相等
相等
互相平分
阅读教材P45“探究”,联系平行四边形的性质.
1.在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,证明:四边形ABCD是平行四边形.
证明：
连接AC,在△ABC和△CDA中,
AB=CD,AC=AC,BC=AD,
∴△ABC≌△CDA,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
2.在四边形ABCD中,O为AC与BD的交点,AO=CO,BO=DO,证明:四边形ABCD是平行四边形.
证明：
在△ABO和△CDO中,
AO=CO,∠AOB=∠COD,BO=DO,
∴△ABO≌△CDO,
同理,△ADO≌△CBO,
∴∠ABO=∠CDO,AB∥CD,∠DAO=∠BCO,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
利用三角形的全等,根据平行四边形的定义证明,从而得到平行四边形的其他判定方法,把证明平行四边形的问题逐步转化为证明角相等、线平行、三角形全等,体现了化归的思想.
教师点拨：
阅读教材P45用数学符号语言表示下列平行四边形的判定方法.
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,在四边形ABCD中,若_____________,那么___________________;
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形,在四边形ABCD中,
_____________,那么_____________________;
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形,在四边形ABCD中,
_____________,那么________________________;
平行四边形的判定定理与性质定理是相互对应的,要注意区别,以防混淆.
教师点拨：
AB∥DC,AD∥BC
四边形ABCD是平行四边形
AB=DC,AD=BC
四边形ABCD是平行四边形
AO=CO,BO=DO
四边形ABCD是平行四边形
例1：已知:如图,?ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F是AC上的两点,并且AE=CF,
求证:四边形BFDE是平行四边形.
教师点拨：
利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行证明,思考还有其它证明方法吗？比较一下,哪种证明方法简单.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF,∴OE=OF,
又BO=DO,
∴四边形BFDE是平行四边形.
例2：已知四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D,求证:四边形ABCD是平行四边形.
教师点拨：
利用多边形内角和与平行四边形的定义加以证明,得以新的平行四边形的判定方法.
证明：
∵∠A=∠C,∠B=∠D,
又∠A+∠C+∠B+∠D=360°,
∴2(∠A+∠B)=360°,
∴∠A+∠B=180°,
∴AD∥BC,
同理AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形.
解：
教师点拨：
应用平行四边形的判定方法时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件,合理、灵活地选择方法.
∵点E、F分别是AD、BC的中点,
1.如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD、BC的中点.求证:四边形BFDE是平行四边形.
∴AE=CF,
∵AB=CD,∠BAE=∠DCF,
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴BE=DF,
又∵E、F分别是AD、BC的中点,
∴DE=BF,
∴四边形BFDE是平行四边形.
证明：
教师点拨：
证明一条线段等于另外两条线段的和常采用的方法是:把三条线段中较长的线段分为两段,证明这两段分别等于另两条线段.
∵DE∥AC,DF∥AB,
2.已知:如图,D是等腰△ABC的底边BC上一点,DE∥AC,DF∥AB.求证:DE+DF=AB.
∴DF=AE,
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵∠C=∠EDB,∴∠B=∠EDB,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∴BE=DE,
∴DE+DF=BE+AE=AB.
平行四边形
平行四边形
平行四边形
118°
OC
对角线互相平
平行四边形
分的四边形是平行四边形.
解：
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
又∵AF＝CE，
在△DOF和△BOE中
∠FDO＝∠EBO
DF＝BE
∠DFO＝∠BEO，
∴△DOF≌△BOE，∴OD＝OB，
∴O是BD的中点.
∴AD－AF＝BC－CE，∴DF＝BE.
解：
四边形BEDF是平行四边形.
理由：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形.
又∵AE＝CF，
∴AE－OA＝CF－OC，
判定一个四边形是平行四边形的方法:
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义);
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形.(共15张PPT)
18.1.2
平行四边形的判定
人教版·八年级数学·下册
第二课时
1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法.
2.会综合运用平行四边形的四种(或五种)判定方法和性质来证明问题.
3.理解三角形中位线的概念,掌握它的性质.
重点：1.平行四边形各种判定方法及其应用,尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法.
2.探索三角形中位线性质的过程,体会转化思想.
难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用;三角形中位线定理.
阅读课本第46页内容，学习本节主要内容.
相等
中点
平行
一半
阅读教材P46“思想”,用数学符号语言表示下列平行四边形的判定方法.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形,在四边形ABCD中,_____________,那么四边形ABCD是__________.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,在四边形ABCD中,___________,那么四边形ABCD是__________.
平行四边形
∠A=∠C,∠B=∠D
平行四边形
AD=BC,AD∥BC
平行四边形的判定定理与性质定理是相互对应的,要注意区别,以防混淆.
教师点拨：
阅读教材P47～P49,理解三角形中位线的概念,掌握它的性质,并独立完成下列问题.
1.连接三角形的顶点和对边中点的线段叫_____________.
2.三角形的每一条中线把三角形的面积________.
3.三角形的中线相交于________.
4.连接三角形两边中点的线段叫三角形的________.
5.三角形中位线_______三角形的第三条边,且等于第三边的______.
6.一个三角形有中位线________.
三角形中位线定理包含两方面的意义,即数量关系和位置关系.
教师点拨：
三角形的中线
平分
同一点
中位线
平行于
一半
三条
例1:已知:如图,DE⊥AC,BF⊥AC,DE=BF,且∠ADB=∠DBC.求证:四边形ABCD是平行四边形.
教师点拨：
本题综合考查平行四边形的判定和全等三角形的判定.
证明：
∵∠ADB=∠DBC,
∴AD∥BC,∴∠DAE=∠BCF,
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠AED=∠CFB=90°,
∵DE=BF,∴△ADE≌△CBF(AAS),
∴AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
例2：如图,点D、E分别为△ABC边
AB、AC的中点,求证:DE∥BC且
教师点拨：
这个定理的证明方法很多,关键在于如何添加辅助线.
证明：
延长DE到F,使EF=DE,连接CF、CD和AF,
∵AE=EC,
∴四边形ADCF是平行四边形,CF∥DA,且CF=DA,
∴CF∥BD,
∴四边形DBCF是平行四边形.
∵DF∥BC,且DF=BC,
又∵DE=
∴DE∥BC且
证明：
教师点拨：
此题可得结论:顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.
连接AC,
1.已知:如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
在△DAC中,∵AH=HD,CG=GD,
∴HG∥AC,HG=
同理EF∥AC,EF=
∴HG∥EF,且HG=EF,
∴四边形EFGH是平行四边形.
(三角形中位线性质)
解：
教师点拨：
此题考查的是三角形中位线的性质,即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,
2.如图,在△ABC中,点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,若△ABC的周长为12cm,则△DEF的周长是__cm.
故答案为6.
平行四边形
有一组对边平行
且相等的四边形是平四边形
6
D
C
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE＝CF且AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE.
1.平行四边形的四种(或五种)判定方法:
平行四边形
性质
判定
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
2.(1)三角形中位线的概念:连接三角形两边中点的线段;
(2)三角形中位线定理:三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
