(共21张PPT)
18.2.1
矩形
人教版·八年级数学·下册
第一课时
1.掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别与联系.
2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.
重点：矩形的性质及“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”.
难点：矩形性质的得出及灵活应用.
阅读课本第52页内容，学习本节主要内容.
直角
平行且相等
都是直角
互相平分且相等
等于斜边的一半
[生活中的长方形]
[生活中的长方形]
[生活中的长方形]
[生活中的长方形]
[生活中的长方形]
[生活中的长方形]
阅读教材P52“思考”,了解矩形的概念和性质,理解矩形和平行四边形的从属关系.
1.(1)矩形是不是平行四边形？
(2)平行四边形是不是矩形？
(3)矩形有没有与平行四边形不同的性质？
(4)平行四边形的性质矩形是不是也具备？
(5)矩形是轴对称图形吗？它有多少条对称轴？
是；
不是；
有；
具备；
矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
矩形不但具备一般平行四边形的所有性质(共性),还具备一般平行四边形没有的特殊性质(个性).
教师点拨：
矩形的四个角都是______,它的两条对角线______.
在矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,根据矩形的性质,可
知AO=_____=_____=_____=
矩形是平行四边形,但它是特殊的平行四边形.
教师点拨：
BO
直角
相等
CO
DO
_____=
_____,即直角三角
即形斜边上的中线等于斜边的______.
AC
BD
一半
例1：已知:如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,
∠AOB=60°,AB=4cm,求矩形对角线的长.
教师点拨：
因为矩形是特殊的平行四边形,所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质.
解：
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC与BD相等且互相平分,
∴OA=OB,
又∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形,
∴矩形的对角线长AC=BD=2OA=2×4=8(cm).
例2：已知:如图,矩形ABCD中,AB长8cm,对角线BD比AD边长4cm,求AD的长及点A到BD的距离AE的长.
教师点拨：
解题时设未知数会使解题思路更清晰.
解：
设AD=x
cm,则对角线BD长(x+4)cm,
在Rt△ABD中,由勾股定理:x2+82=(x+4)2,
解得x=6,
则AD=6cm,AE×DB=AD×DB=AD×AB,
解得AE=4.8cm.
解：
教师点拨：
本题主要考查了矩形的性质,全等三角形的性质与判定,综合利用这些性质和判定进行解题.
∵四边形ABCD是矩形,
1.已知:如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于F,若AE=BC,求证:CE=EF.
∴∠B=90°,且AD∥BC,
∴∠1=∠2.
∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°,
∴∠B=∠AFD,
又AD=AE=BC,
∴△ABE≌△DFA(AAS),
∴AF=BE,∴EF=EC.
证明：
教师点拨：
本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质,平行四边形的判定与性质,30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,熟记性质是解题的关键.
(1)∵四边形ABCD是矩形,
2.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD相交于O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
(1)求证:BD=BE;
(2)若∠DBC=30°,BO=4,求四边形ABED的面积.
∴AC=BD,AB∥CD,
∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴AC=BE,
∴BD=BE.
解：
(2)∵在矩形ABCD中,BO=4,
∴BD=2BO=2×4=8,
∵∠DBC=30°,
∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8.
在Rt△BCD中,
∴四边形ABED的面积
128cm2
B
D
解：
∵EF⊥EC，∴∠CEF＝90°，
又∵∠AEF＋∠CEF＋∠DEC＝180°，
∴∠AEF＋∠DEC＝90°.
在Rt△CDE中，∵∠DEC＋∠DCE＝90°，
在△AEF和△DCE中，
∠A＝∠D＝90°
∠AEF＝∠DCE
EF＝EC，
∴△AEF≌△DCE，∴AE＝CD.
设AE＝xcm，则CD＝xcm，
∴∠AEF＝∠DCE，
∴AD＝(x＋4)cm，
∵2(AD＋CD)＝32，2(x＋4＋x)＝32，
∴x＝6，∴AE＝6cm
矩形的性质:
(1)共性:具备平行四边形的所有性质;
(2)个性:①矩形的四个角都是直角;②矩形的对角线相等;③矩形是轴对称图形;
(3)直角三角形的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(共15张PPT)
18.2.1
矩形
人教版·八年级数学·下册
第二课时
1.理解并掌握矩形的判定方法.
2.使学生能应用矩形的定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题,进一步培养学生的分析能力.
重点：矩形的判定.
难点：矩形的判定及性质的综合应用.
阅读课本第54-55页内容，学习本节主要内容.
对角线相等
对角线互相平分且相等
有一个角是直角
阅读教材P54～P55,理解并掌握矩形的判定方法.
1.下列有关矩形的说法是否正确？
(
)(1)有一个角是直角的四边形是矩形;
(
)(
2)有四个角是直角的四边形是矩形;
(
)(
3)四个角都相等的四边形是矩形;
(
)(
4)对角线相等的四边形是矩形;
(
)(
5)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形;
(
)(
6)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;
(
)(
7)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形;
(
)(
8)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形;
(
)(
9)两组对边分别平行,且对角线相等的四边形是矩形.
×
√
通过预习使学生初步了解矩形的判定方法.
教师点拨：
√
√
√
√
×
×
×
例1:工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形,一种方法是量一量这个四边形的两条对角线的长度,如果对角线长相等,则窗框一定是矩形,你知道为什么吗?
命题:对角线相等的平行四边形是矩形.
已知:如图,平行四边形ABCD中,AC=BD.
求证:四边形ABCD是矩形.
教师点拨：
要着重强调这个定理包括两个条件:一是平行四边形;二是对角线相等.
证明：
∴△ABC≌△BAD,∴∠ABC=∠BAD,
又∵AD∥BC,∠ABC+∠BAD=180°,
在△ABC和△BAD中，
AC=BD
AB=AB
AD=BC,
∴∠ABC=∠BAD=90°,
∴对角线相等的平行四边形是矩形.
例2：李芳同学用四步画出了一个四边形,它的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步画出一个四边形,能判断它是一个矩形吗？说明理由.
命题:有三个角是直角的四边形是矩形.
已知:四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形.
教师点拨：
判定一个四边形是矩形,知道三个角是直角,条件就够了。因为由四边形内角和可知,这时第四个角一定是直角.
证明：
由∠A=∠B=90°,得AD∥BC,
由∠B=∠C=90°,得AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
又∵有一个角是90°,
∴四边形ABCD是矩形.
A
D
B
C
解：
教师点拨：
首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出平行四边形ABCD是矩形,再利用勾股定理计算边长,从而得到面积值.
∵四边形ABCD是平行四边形,
1.已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△AOB是等边三角形,AB=4cm,求这个平行四边形的面积.
∵AO=BO,∴AC=BD,
∴
ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
在Rt△ABC中,∵AB=4cm,AC=2AO=8cm,
证明：
教师点拨：
要证四边形EFGH是矩形,由于此题目可分解出基本图形,可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明.
∵四边形ABCD是平行四边形,
2.已知:如图,平行四边形ABCD的四个内角平分线分别相交于E、F、G、H.
求证:四边形EFGH是矩形.
∴AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°,
又AE平分∠DAB,BG平分∠ABC,
∴∠AFB=90°,同理可证∠AED=∠BGC=∠CHD=90°,
∴四边形EFGH是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).
B
D
12
矩形
解：
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵E是BC中点，∴BE＝CE，
又AE=DE,∴△ABE≌△DCE,∴∠B=∠C，
又∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
解：
四边形EFGH是矩形.
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
又∵E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴EG＝FH，
∴四边形EFGH是矩形.
矩形的判定方法分两类:从四边形来判定和从平行四边形来判定.
常用的判定方法有三种:定义和两个判定定理.遇到具体题目,可根据条件灵活选用恰当的方法.
