(共22张PPT)
18.2.2
菱形的性质
人教版·八年级数学·下册
第一课时
1.理解并掌握菱形的定义及性质定理1、2;会用这些定理进行有关的论证和计算.
2.培养学生的观察能力、动手能力、自学能力、计算能力、逻辑思维能力.
3.通过运用菱形的知识解决具体问题,提高分析能力和观察能力.
4.根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系,通过画图向学生渗透集合思想.
重点：菱形的概念和菱形的性质,菱形的面积公式的推导.
难点：菱形的性质与平行四边形的性质的区别的理解及菱形的性质灵活运用.
阅读课本第55-56页内容，学习本节主要内容.
两条对角线所在的直线。
相等
四条边相等
的四边形
互相垂直平分
一半
[生活中的菱形]
[生活中的菱形]
[生活中的菱形]
[生活中的菱形]
[生活中的菱形]
[生活中的菱形]
如图是菱形花坛ABCD,它的边长为20cm,
∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条
小路AC和BD,如何求两条小路的长和花坛的
面积.
1.有一组__________的平行四边形叫菱形.
2.菱形是_______图形,它的___________________就是它的对称轴,它有______对称轴,同时它也是__________图形.
3.菱形具有____________的一切性质.
4.菱形的四条边都______.
5.菱形的两条对角线_________,并且每一条对角线平分一组______.
邻边相等
初步了解菱形的定义及性质.
教师点拨：
轴对称
对角线所在的直线
两条
中心对称
平行四边形
相等
互相垂直
对角
阅读教材P56例3,感悟菱形的面积公式的推导,并独立完成下列填空.
菱形是特殊的平行四边形,那么就能利用平行四边形的
面积公式计算菱形的面积.
S菱形=BC·____;
S菱形=S△ABD+S△BCD=
∴S菱形=____×____=__________________.
利用三角形的面积公式可以推得,菱形的面积等于它的两条对角线之积的一半.
教师点拨：
AE
底
高
对角线乘积的一半
例1:命题:菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角.
已知:菱形ABCD的对角线AC和BD相交于
点O,如右图.
求证:AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD;BD
平分∠ABC和∠ADC.
教师点拨：
对角线垂直、平分对角等性质的证明,实现了图形的认识、变化、证明的有机结合.
证明：
∴AB=AD(菱形的四条边都相等),
在△ABD中,又∵BO=DO,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AC平分∠BAD,
同理,AC平分∠BCD;BD平分∠ABC和∠ADC.
例2：如图是菱形花坛ABCD,它的边长为20cm,∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD,求两条小路的长(结果保留小数点后2位)和花坛的面积(结果保留小数点后1位).
教师点拨：
是否可用不同方法计算菱形的面积？
解：
∵花坛ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∠ABO=
∴花坛的两条小路长:AC=2AO=20(m),BD=2BO≈34.64(m),
花坛的面积:S菱形ABCD=
证明：
教师点拨：
本题主要考查了菱形的性质,平行四边形的判定与性质,熟练掌握菱形的对边平行且相等,菱形的对角线互相垂直是解本题的关键.
(1)∵四边形ABCD是菱形,
1.如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.
(1)求证:BD=EC;
(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.
∴AB=CD,AB∥CD,
又∵BE=AB,∴BE=CD,BE∥CD,
∴四边形BECD是平行四边形,
∴BD=EC;
解：
(2)∵四边形BECD是平行四边形,
∴BD∥CE,
∴∠ABO=∠E=50°,
又∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠BAO=90°-∠ABO=40°.
证明：
(1)连接AC,
2.已菱形ABCD中,∠B=60°,点E在边BC上,点F在边CD上.
∵菱形ABCD中,∠B=60°,
∴AB=BC=CD,∠BCD=180°-∠B=120°,
∴△ABC是等边三角形.
∵E是BC的中点,∴AE⊥BC,
(1)如图①,若E是BC的中点,∠AEF=60°,求证:BE=DF;
∵∠AEF=60°,∴∠FEC=90°-∠AEF=30°,
∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-30°-120°=30°,
∴∠FEC=∠CFE,
∴EC=CF,
∴BE=DF;
证明：
(2)连接AC,
2.已菱形ABCD中,∠B=60°,点E在边BC上,点F在边CD上.
∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,
∴AB=BC,∠D=∠B=60°,∠ACB=∠ACF,
∴△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠ACB=60°,∴∠B=∠ACF=60°.
(2)如图②,若∠EAF=60°,求证:△AEF是等边三角形.
∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD,
∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD,
∴∠AEB=∠AFC.
在△ABE和△AFC中,
∠B=∠ACF
∠AEB=∠AFC
AB=AC,
∴△ABE≌△AFC(AAS),∴AE=AF.
又∵∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形.
教师点拨：
此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质.此题难度适中,注意准确作出辅助线,注意数形结合思想的应用.
C
C
4
24
解：
∵四边形ABCD是菱形，
在Rt△AOB中，AB＝
∴AD＝10cm，
又S菱形ABCD＝AD·BE＝
1.菱形的定义.
2.菱形的性质.
3.菱形与平行四边形、矩形的关系.(共16张PPT)
18.2.2
菱形的判定
人教版·八年级数学·下册
第二课时
1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算.
2.在菱形的判定方法的探究与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.
重点：菱形的两个判定方法.
难点：判定方法的证明及运用.
阅读课本第57页内容，学习本节主要内容.
有一组邻边相等
四条边相等
对角线互相垂直
阅读教材P57“思考”,理解并掌握菱形的定义及两个判定方法.
1.有一组__________的平行四边形是菱形.
2.对角线__________的平行四边形是菱形.
3.
__________的四边形是菱形.
邻边相等
通过预习,理解并掌握菱形的定义及两个判定方法.
教师点拨：
互相垂直
四边相等
阅读教材P57,理解平行四边形、矩形、菱形之间的区别与联系,并独立完成下列问题.
ABCD的对角线AC与BD相交于点O.
(1)若AB=AD,则
(2)AC=BD,则
(3)若∠ABC是直角,则
(4)若∠BAO=∠DAO,则
通过对平行四边形、矩形、菱形之间的区别与联系的研究,加深对这些图形的性质及区别的理解.
教师点拨：
菱形
矩形
矩形
菱形
ABCD是________;
ABCD是________;
ABCD是________;
ABCD是________;
例1:如图,平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AB=5,AO=4,BO=3,求证:
教师点拨：
本题考查菱形的定义与性质及勾股定理的逆定理,解题关键是根据勾股定理的逆定理得出△AOB为直角三角形.
证明：
∴AB2=AO2+BO2,
∴△OAB是直角三角形,AC⊥BD.
∵AB=5,AO=4,BO=3,
∴
ABCD是菱形.
ABCD是菱形.
例2：已知:如图,?ABCD的对角线AC垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F.
求证:四边形AFCE是菱形.
教师点拨：
本题利用了中垂线的性质,全等三角形的判定和性质,有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥FC.
∴∠1=∠2,
又∠AOE=∠COF,AO=CO,
∴△AOE≌△COF,
∴EO=FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC,
∴
AFCE是菱形.
证明：
教师点拨：
此题主要考查了菱形的判定,矩形的性质,关键是掌握菱形的判定方法.
∵DE∥AC,CE∥BD,
1.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
求证:四边形OCED是菱形.
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴OC=OD,
∴四边形OCED是菱形.
证明：
2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点.
求证:四边形AEDF是菱形.
∵点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点,
∴DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形.
又∵AD⊥BC,BD=CD,
∴AB=AC,
∴AE=AF,
∴平行四边形AEDF是菱形.
教师点拨：
本题考查了菱形的判定及三角形的中位线定理,菱形的判定方法是说明一个四边形为菱形的理论依据,常用三种方法:①定义;②四边相等;③对角线互相垂直平分.
AC⊥BD
B
B
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAE，
又AD∥BC,∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，
同理：AB＝AF，∴AF＝BE且AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠FAO＝∠ECO，
∵EF⊥AC，
∴∠AOF＝∠COE＝90°，
∴△AOF≌△COE，
∴OF＝OE，
∴四边形AECF是菱形.
1.(1)两个判定定理:
①对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
②四边都相等的四边形是菱形.
(2)平行四边形、矩形、菱形之间的区别与联系.
2.思想方法归纳:
菱形常用的判定方法:
①一组邻边相等的平行四边形;
②四条边相等的四边形;
③对角线互相垂直的平行四边形;
④对角线互相垂直平分的四边形.
