16.3角的平分线-冀教版八年级数学上册课件（共28张ppt）

16.3
角的平分线
第十六章
轴对称和中心对称
冀教版八上
学
习
目
标
冀教版八上
1.理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理.
2.能利用角平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论并应用.
3.能利用尺规作出一个已知角的角平分线.
旧知链接
1.下图中表示点P到直线l的距离的是
.
线段PC的长
P
l
A
B
C
D
点到直线的距离是指：点到直线的垂线段的长度.
旧知链接
2.本章中，从哪些方面学习线段的中垂线？
①线段中垂线的定义
③线段中垂线的性质定理
④线段中垂线的性质定理的逆定理
⑤线段中垂线的尺规作图
类似地，今天我们将从这些角度学分线的相关知识......
②线段的轴对称性
新课学习
一、角的对称性
如图，OC是∠AOB的平分线，当沿OC所在的直线对折时，∠AOB两旁的部分会重合，因此∠AOB关于OC所在的直线对称.
A
O
B
C
角是轴对称图形
对称轴是角平分线所在的直线
新课学习
二、用尺规作已知角的角平分线
A
B
M
N
C
O
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点MN为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
新课学习
A
B
M
N
C
O
证明：连接CM,CN
由作图过程知，OM=ON,CM=CN,又OC=OC
∴△OMC≌△ONC
∴∠AOC=∠BOC
即OC是∠AOB的角平分线.
试一试：在练习本上分别作锐角，钝角，平角的角平分线.
新课学习
三、角平分线的性质定理
用尺规画∠AOB的平分线OC,，在OC上任取一点P,作出点P到OA,OB的距离，即图中的垂线段PD,PE.PD与PE有何数量关系呢？
P
A
O
B
C
D
E
探究：
你能用什么方法说明你的结论是正确的？
PD=PE
用刻度尺测量PD,PE，得到两条线段的长度相等.
P
A
O
B
C
D
E
新课学习
方法一：
方法二：
利用角的对称性，当沿OC所在的直线对折时，PD与PE重合，因此PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴
∠PDO=
∠PEO=90
°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=
∠PEO，
∠AOC=
∠BOC，
OP=
OP，
∴
△PDO
≌
△PEO(AAS).
∴PD=PE.
新课学习
方法三：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
请你用语言描述你所得到的结论
用途：
证明两条垂线段相等.
B
A
D
O
P
E
C
新课学习
试一试：
角平分线的性质定理
几何语言：
∵OP
是∠AOB的平分线，
∴PD
=
PE
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
新课学习
注意：一定要表明是两条垂线段.
精准辨析，提升认知
（1）∵
如图，AD平分∠BAC（已知）
∴
=
，(
)
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD
CD
×
B
A
D
C
判断下列的写法是否正确？
理由：
没有垂直，不能确定BD,CD是点D到角两边的距离.
(2)∵
如图，
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）.
∴
=
,
(
)
角内任意一条线上的点到这个角的两边的距离相等
BD
CD
×
B
A
D
C
精准辨析，提升认知
理由：无法确定点D在∠BAC的角平分线上.
1.下列各图中，OP是∠MON的角平分线，点E,F,G分别在射线OM,ON,OP上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边距离相等”的图形是（
）.
D
巩固练习
E
N
O
G
F
M
E
N
O
G
F
M
E
N
O
G
F
M
E
N
O
G
F
M
G
A
B
C
D
P
P
P
P
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AD=3CD,BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（
）.
C
巩固练习
A
C
D
B
A.4
B.3
C.2
D.1
新课学习
线段的垂直平分线的性质定理有逆定理，角的平分线的性质定理是否也有逆定理呢？
请你说出角平分线的性质定理的逆命题
如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上.
四、角平分线性质定理的逆定理
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
新课学习
用途：
证明点在角平分线上，即可以判定角平分线.
在17章进行证明
几何语言：
∵
PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P
在∠AOB的平分线上.
新课学习
P
A
O
B
C
D
E
∴OP
是∠AOB的角平分线.
典例精析
例题
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
A
B
C
P
N
M
典例精析
D
E
F
A
B
C
P
N
M
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，PD⊥AB,PE⊥BC,
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
典例精析
思考：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
结论：三角形的三条角平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等.
课堂小测
1.如图，已知四边形ABCD中，∠BCD=90°,BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是______.
D
A
B
C
B
A.24
B.30
C.36
D.42
课堂小测
125°
2.如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB,BC,AC的距离OF=OD=OE,若∠BAC=70°,则∠BOC=______.
F
D
E
A
B
C
O
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（
）
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
B
M
N
C
O
A
课堂小测
课堂小测
4.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上，
　　　　FG⊥AE，
FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，
　　　　FH⊥AD，
FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
E
D
课堂小结
角的平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
性质定理的逆定理
内容
到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
同学们再见