北师大版八年级数学上册7.3平行线的判定（共26张PPT）

7.3平行线的判定
1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
同位角相等，两直线平行
——基本事实
2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
内错角相等，两直线平行
3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
同旁内角互补，两直线平行
定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
条件是什么，结论是什么？
已知：∠1和∠2是直线a、b被直线c 截出的内错角，且∠1=∠2．
求证：a∥b
证明：∵∠1=∠2（已知）
∠1＝∠3（对顶角相等）
∴∠2＝∠3（等量代换）
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
1
2
3
a
b
c
定理：两条直线被第三条直线所截，如果
内错角相等，那么这两条直线平行。
简述为：内错角相等，两直线平行。
1
2
a
b
c
符号语言：
∵∠1＝∠2
∴a∥b
定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁
内角互补，那么这两条直线平行．
已知：∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2 互补。
求证：a∥b．
1
2
a
b
c
3
证明：∵∠1与∠2互补（已知）
∴∠1+∠2=180°（互补定义）
∴∠1=180°－∠2（等式的性质）
∵∠3+∠2=180°（平角定义）
∴∠3=180°－∠2（等式的性质）
∴∠1=∠3（等量代换）
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
定理：两条直线被第三条直线所截，
如果同旁内角互补，那么这两
条直线平行。
简述为：同旁内角互补，两直线平行
∵ ∠1+ ∠2=180o
∴ a∥b
1
2
a
b
c
议一议
1
2
∵∠1=∠2
∴a∥b
1.小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？
2. 你还记得怎样用移动三角尺的方法画两
条平行线吗？
同位角相等，两直线平行.
一、放
二、靠
三、推
四、画
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
请说出其中的道理。
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
●
试用这种方法
过已知直线外一点画它的平行线.
例；如图BE平分∠ABC，EC平分∠ BCD， ∠ E=90°
那么AB∥CD吗？为什么？
∴∠ABC +∠BCD =2∠1+2∠2=___°
∴_____ （ ）
BCD
180
90
90
同旁内角互补，两直线平行
解：∵BE 平分∠ABC（已知）
∴∠ABC =2∠1
∵EC平分∠BCD（已知）
∴∠____ =2∠2
∵∠E+∠1+∠2=180°
∴∠1+∠2=___°-∠E
∵∠E =90°（已知）
∴∠1+∠2=_ °


AB∥CD
练习．已知：如图，CE平分∠ACD，∠1=∠B，
求证：AB∥CE
证明： ∵ CE平分∠ACD，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠B，
∴∠ B =∠2，
∴AB∥CE
作业布置如下
1.如图：∠1=53 ?，∠2= 127?，∠3= 53?，
试说明直线AB与CD，BC与DE的位置关系.
证明： ∵ ∠2= 127?，
∴ ∠4=180?-127?=53?,
∵ ∠3= 53?
∴∠3=∠4，
∴AB∥CD.
∵∠1=∠3，
∴BC∥DE
2、如图，下列推理中，正确的是( )
A．∵∠2＝∠4，∴AD∥BC
B．∵∠1＝∠3，∴AD∥BC
C．∵∠4＋∠D＝180°，∴AD∥BC
D．∵∠4＋∠B＝180°，∴AB∥CD
3．如图，填写下列推理中的理由．
已知：BE平分∠ABD，∠2＝∠C.
求证：BE∥AC.
证明：∵BE平分∠ABD( )，
∴∠1＝∠2( )，
又∵∠2＝∠C( )，
∴∠1＝∠C( )．
∴BE∥AC( )．
已知
角平分线定义
已知
等量代换
同位角相等，两直线平行
4．如图，∠C＝∠1，∠2与∠D互余，DE⊥BF，求证：AB∥CD.
证明：∵∠C＝∠1，
∴EC∥BF，
∵DE⊥BF，∴EC⊥DE，
∴∠C＋∠D＝90°，
又∵∠2＋∠D＝90°，
∴∠2＝∠C，∴AB∥CD
4.如图∠1∶∠2∶∠3=2∶3∶4,∠AFE=60°,
∠BDE=120°,写出图中平行的直线,并说明理由
解析　EF∥BC,DE∥AB.
理由:∵∠1∶∠2∶∠3=2∶3∶4,∠1+∠2+∠3=180°,
∴∠1=40°,∠2=60°,∠3=80°,
又∵∠AFE=60°,∠BDE=120°,
∴∠AFE=∠2,∠BDE+∠2=180°,
∴DE∥AB,EF∥BC.
5.如图,点P在CD上,∠BAP+∠APD=180°,∠1=∠2,求证:AE∥PF.
证明　因为∠BAP+∠APD=180°,(已知)
∠APC+∠APD=180°,(邻补角的性质)
所以∠BAP=∠APC,(同角的补角相等)
又∠1=∠2,(已知)
所以∠BAP-∠1=∠APC-∠2,(等式的性质)
即∠EAP=∠APF,
所以AE∥PF.(内错角相等,两直线平行)
6.(2017江苏徐州期中)如图7-3-7,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,
BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线.
求证:(1)∠1+∠2=90°;(2)BE∥DF.
证明　(1)∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线,
∴∠1=∠ABE,∠2=∠ADF,
∵∠A=∠C=90°, ∴∠ABC+∠ADC=180°,
∴2(∠1+∠2)=180°,
∴∠1+∠2=90°.
6.(2017江苏徐州期中)如图7-3-7,四边形ABCD中,
∠A=∠C=90°,
BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线.
求证:(1)∠1+∠2=90°;(2)BE∥DF.
(2)在△FCD中,∵∠C=90°,
∴∠DFC+∠2=90°,
∵∠1+∠2=90°,
∴∠1=∠DFC,
∴BE∥DF.
选做习题如下
7．如图7-3-13，已知EF⊥AC于点F，DB⊥AC于点M，∠1=∠2，∠3=∠C，求证：AB∥MN．
∴AB∥MN．
证明：∵EF⊥AC，DB⊥AC，
∴EF∥DM，
∴∠2=∠CDM．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠CDM，
∴MN∥CD，
∴∠C=∠AMN．
∵∠3=∠C，
∴∠3=∠AMN，
8．如图7-3-14，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明理由．
解：BF∥DE．理由如下：
∵∠3=∠4，，
∴∠5=∠BAF．
又∵∠5=∠6，
∴AB∥CD，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠EHA，
∴BF∥DE．
∴∠2=∠EHA．
∴∠BAF=∠6，
∴BD∥CF
9．四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD和∠BCD的内(或外)角平分线分别为AE和CF．
∵当AE、CF都为内角平分线时(如图7-3-18①)，不难证明AE∥CF．过程如下：
∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°-(∠B+∠D)，∠B=∠D=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2(∠2+∠4)=360°-180°=180°，
∴∠2+∠4=90°．
又∵∠B=90°，
∴∠2+∠5=90°，则∠4=∠5．
∴AE∥CF．
(1)当AE、CF都为外角平分线时(如图7-3-18②)，AE与CF的位置关系怎样？给出证明．
解：(1)AE∥CF．证明如下：
作DP∥AE，如图②，
∵四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠DCB=180°，
∴∠GAD+∠BCH=180°，
∵AE，CF为∠GAD和∠BCH的平分线，
∴∠6+∠9=90°．
∵PD∥AE，∴∠6=∠7．
又∵∠7+∠8=90°，∴∠6+∠8=90°，
∴∠8=∠9，
∴PD∥CF，
∴AE∥CF．
(2)当AE是内角平分线，CF是外角平分线时(如图7-3-18③)，请你探索AE与CF的位置关系，并给出证明．
(2)AE⊥CF．证明如下：
∵四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠BCE．
∵AE、CF是∠BAD和∠BCE的平分线，
∴∠BAE=∠BCF,∴∠B=∠CFA=90°,∴AE⊥CF.