北师大版九年级上册第二章第五节 一元二次方程的根与系数的关系课件（26张PPT）

第二章 一元二次方程
第五节 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系
认识一元二次方程
一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
1.了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数；（重点）
2.在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根和与两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的思想。（难点）
认识一元二次方程
一元二次方程的根与系数的关系
温故而知新
复习导入
1.一元二次方程的求根公式是什么？
2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
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一元二次方程的根与系数的关系
温故而知新
做一做
3. 解下列方程：
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一元二次方程的根与系数的关系
探索新知
想一想
我们知道一元二次方程有没有实数根，如果有实数根的话，根的大小都是由a,b,c的值来共同决定的。那么，方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？
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一元二次方程的根与系数的关系
探索新知
一
一
探索一元二次方程的根与系数的关系
算一算 解下列方程并完成填空：
（1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.
一元二次方程
两 根
关 系
x1
x2
x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
2x2+3x+1=0
-4
1
x1+x2=-3
x1 · x2=-4
2
3
x1+x2=5
x1 · x2=6
-1
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一元二次方程的根与系数的关系
探索新知
猜一猜
（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，
x2+px+q=0，
x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
重要发现
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
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一元二次方程的根与系数的关系
探索新知
猜一猜
（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？
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一元二次方程的根与系数的关系
探索新知
证一证
认识一元二次方程
一元二次方程的根与系数的关系
探索新知
认识一元二次方程
一元二次方程的根与系数的关系
探索新知
归纳总结
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
满足上述关系的前提条件
注意
b2-4ac≥0.
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一元二次方程的根与系数的关系
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二
一元二次方程的根与系数的关系的应用
例题讲解
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（一）不解方程，求方程两根之和、两根之积
（1）x2 + 7x + 6 = 0;
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
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一元二次方程的根与系数的关系
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（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
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一元二次方程的根与系数的关系
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例题讲解
（二）已知一根，求另一根及参数的值；
例2 已知方程x2+mx-3=0的一个根是3，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=3 .
所以
即：x2=-1
由于x1+x2=3 +（-1）=-m，
∴
m=-2
答：方程的另一个根是-1，m=-2.
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一元二次方程的根与系数的关系
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变式：已知方程x2-5x+n=0的一个根是2，求它的另一个根及n的值.
变式训练
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2.
所以：x1 + x2=1+x2=5，
即：x2=3 .
由于x1·x2=2×3=n
得：n=6.
答：方程的另一个根是3，n=6.
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（三）不解方程，求一些代数式的值；
例3 不解方程，求方程2x2+5x-3=0的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
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变式训练
例4：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0
即 -8k + 4 ≥ 0.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2.
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2
= 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.
由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4,
解得 k1= 0 , k2 = 4 .
经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.
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一元二次方程的根与系数的关系
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总结常见的求值:
归纳
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
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一元二次方程的根与系数的关系
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【课堂练习】
2. 若m，n是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则m＋n－mn的值是(　　)
A．－7　　　　B．7　　　　C．3　　　　D．－3
3. 关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是(　　)
A．－1或5 B．1 C．5 D．－1
B
D
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一元二次方程的根与系数的关系
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4. 已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则代数式a2b＋ab2＋5的值为 ．
6. 已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，求a的值．
解：∵(m－1)(n－1)＝－6，∴mn－(m＋n)＋7＝0.又∵m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，∴m＋n＝3，mn＝a.∴a－3＋7＝0. 解得a＝－4　
8
5. 若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝____．
-1
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解：由根与系数的关系可得：m＋(－2)＝－1，∴m＝1. 又∵－2m＝n，∴n＝－2　
7. 已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，求m，n的值．
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一元二次方程的根与系数的关系
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课时小结
根与系数的关系
（韦达定理）
内 容
应 用
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
1. 不解方程，求方程两根之和、两根之积
2. 已知方程一根，求另一根及参数的值；
3.不解方程，求一些代数式的值；
一元二次方程的根与系数的关系
课后作业：
完成课本P51 习题2.8 第1题、第2题、第3题
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