沪科版九年级数学下册课件：24.2 第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系（共18张ppt）

第24章 圆
24.2 第3课时
圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
情景导入
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
获取新知
把圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？
·
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，旋转中心为圆心.
知识点一：圆心角
1. 圆心角：顶点在圆心的角，如∠AOB .
3. 圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
2. 圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB.
⌒
O
A
B
M
例1 下面四个图形中的角，是圆心角的是(　　)
例题讲解
D
圆心角的条件：
(1)顶点在圆心；
(2)两边和圆相交．
获取新知
知识点二：圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
1.在同圆中探究
在☉O中，如果∠AOB= ∠COD，那么AB与CD，弦AB与弦CD，弦心距OE与OF有怎样的数量关系？
⌒
⌒
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么，AB=CD，弦AB=弦CD，OE=OF
⌒
⌒
·
O
A
B
C
D
E
F
2.在等圆中探究
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
·
O
A
B
C
·
O'
D
通过平移和旋转将两个等圆变成同圆
┐
E
·
┐
F
这个条件能去掉吗？为什么？
圆心角、弧、弦与弦心距的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒ ⌒
③AB=CD
④OE=OF
A
B
O
D
C
E
F
圆心角、弧、弦与弦心距间关系定理的推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等．
圆心角
相等
弦
相等
弧
相等
弦心距
相等
例题讲解
例2 已知：如图,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上.
求证： ∠ AOB= ∠ BOC = ∠ COA =120°.
A
B
C
O
证明：连接OA，OB，OC，如图.
∵ AB=BC=CA，
∴∠AOB =∠BOC =∠COA
弦相等
圆心角相等
例3 已知：如图,点O是∠ A平分线上的一点，
⊙O分别交∠ A两边于点C，D和点 E,F.
求证：CD=EF.
证明 过点O作OK ⊥ CD、 OK ′ ⊥EF,垂足分别为K，K ′ .

O
A
D
E
F
C
H
K
∴ OK = OK ′ (角平分线性质），
∴ CD =EF.
弦心距相等
弦相等
⌒
解：连接OE，如图.
∴∠COE=40°，
∵CE∥AB，
∴∠BOD=∠C=70°.
∵CE为40°，
⌒
例4 如图，AB，CD为⊙O的两条直径，CE为⊙O的弦，且CE // AB，CE为40°，求∠ BOD的度数.
O
C
E
A
B
D
随堂演练
1. 如果两个圆心角相等，那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
D
2. 在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则 AB 与CD
的关系是（ ）
⌒ ⌒
A. AB=2CD
⌒ ⌒
B. AB >CD
⌒ ⌒
C. AB ⌒ ⌒
D. 不能确定
A
3.如图,已知AB,CD是☉O的两条弦,OE,OF分别为AB,CD的弦心距. (1)∵∠AOB=∠COD,∴AB=　　,AB=_____,OE=_____;
(2)∵AB=CD,∴AB=____,______ =∠BOC,OE=_____.
⌒
⌒
CD
CD
⌒
OF
⌒
CD
∠DOA
OF
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC.
求证:AB＝CD.
⌒ ⌒
.
C
A
B
D
O
5. 如图,AB是☉O的直径,点C在☉上,∠AOC=40°,D是BC的中点,求∠OCD的度数.
⌒
解:连接OD.
∵AB是☉O的直径,∠AOC=40°,
∴∠BOC=140°.
∵D是BC的中点，
∴∠COD=∠BOD= ∠BOC=70°，
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC= (180°-∠COD)=55°
⌒
课堂小结
圆心角
弦、弧、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中
概念：顶点在圆心的角
应用提醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.
圆心角
相等
弦
相等
弧
相等
弦心距
相等