人教版九年级数学上册课件 第二十四章 圆 24.2.2 直线与圆的位置关系（第二课时）（共25张ppt）

第二十四章 圆
24.2.2 直线与圆的位置关系
第二课时
【学习目标】
1.理解切线的判定定理和性质定理 。
2. 灵活运用切线的判定和性质进行证明与计算．
【课前预习】
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．圆周角等于圆心角的一半 B．等弧所对的圆周角相等
C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．过弦的中点的直线必经过圆心
2．下列命题错误的是（ ）
A．经过三个点一定可以作圆 B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
3．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C为圆心作⊙C和AB相切，则⊙C的半径长为（）
A．8 B．4 C．9．6 D．4．8
4．以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
5．已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是（　　）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
【课前预习】答案
1．B
2．A
3．D
4．B
5．B
砂轮上打磨工件时飞出的火星
右图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？
导入新课
Ｏ
A
B
C
问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？
观察：（1） 圆心O到直线AB的距离 和圆的半径有什么数量关系?
（2)二者位置有什么关系？为什么？
讲授新课
切线的判定定理
一
BC ⊥ OA于A
BC为⊙O的切线
Ｏ
A
B
C
应用格式
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
OA为⊙O的半径
Part One
判一判：
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
注意
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
要点归纳
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
l
A
l
O
l
r
d
思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
A
l
O
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
切线的性质定理
二
切线性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,
（2）则OMC
D
B
O
A
（3）所以AB与CD垂直.
M
证法1：反证法.
性质定理的证明
C
D
O
A
证法2：构造法.
作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点，连接OA,根据垂径定理，则CD ⊥OA,
即圆的切线垂直于经过切点的半径．
例1 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
O
B
A
C
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
典例精析
例2 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．
B
O
C
E
A
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.
F
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵⊙O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，
　　O 是BC 中点．
∴AO 平分∠BAC，
F
B
O
C
E
A
∴OE ＝OF.
∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是⊙O 的切线．
又OE ⊥AB ，OF⊥AC.
(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
要点归纳
证切线时辅助线的添加方法
例1
例2
有切线时常用辅助线添加方法
(1) 见切点，连半径，得垂直.
切线的其它重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
（2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
1.判断下列命题是否正确.
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线.
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线.
⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.
（×）
（×）
（√ ）
（√ ）
（√ ）
当堂练习
3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
2.如图所示，A是⊙O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与⊙O的位置关系是 .
A
P
O
第2题
P
O
第3题
D
A
B
C
相切
C
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
4.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
O
A
B
C
E
P
拓展提升：已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.
（1）如图1，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：
① _________ ；② _____________ .
（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线.
BA⊥EF
∠CAE=∠B
证明：连接AO并延长交⊙O于D,连接CD,则AD为⊙O的直径.
∴ ∠D+ ∠DAC=90 °,
∵ ∠D与∠B同对 ,
∴ ∠D= ∠B,
又∵ ∠CAE= ∠B,
∴ ∠D= ∠CAE,
∴ ∠DAC+ ∠EAC=90°,
∴EF是⊙O的切线.
A
F
E
O
A
F
E
O
B
C
B
C
图1
图2
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
切线的
性质
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
有1个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线
添加方法：
见切线，连切点，得垂直.
课堂小结
【课后练习】
1．经过⊙O的直径的一端能作⊙O的切线( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
2．下列直线中，一定是圆的切线的是（ ）
A．过半径外端的直线B．与圆心的距离等于该圆半径的直线C．垂直于圆的半径的直线D．与圆有公共点的直线
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．任何三角形有且只有一个内切圆 C．所有的正多边形既是轴对称图形也是中心对称图形 D．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等
4．平面内，下列命题为真命题是（ ）
A．经过半径外端点的直线是圆的切线 B．经过半径的直线是圆的切线 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
5．下列命题正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．三点确定一个圆D．过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线
6．下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧；③三角形的外心到三条边的距离相等；④圆的切线垂直于经过切点的半径．正确的个数是( )
A．0 B．2 C．3 D．4
7．下列说法正确的是( )
A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．圆的切线只有一条C．圆的切线垂直于圆的半径D．每个三角形都有一个内切圆
8．PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是⊙O上一点，若∠P = 50°，则∠ACB的度数为（ ）；
A．40° B．65° C．115° D．65°或115°
【课后练习】答案
1．B 2．B 3．B 4．D 5．D 6．B 7．D 8．D 9．C 10．B
11．14
12．3
13．9π．
14．60
15．35