(共30张PPT)
14.2.2
完全平方公式(1)
若此次支援湖北黄
冈的运输车有(p+1)辆,
每辆车装(p+1)吨大蒜,
则这次共运送多少吨
大蒜？
(p+1)(p+1)
=p2+2p+1,
而(p+1)(p+1)=(
)2,
p+1
所以(p+1)2_____p2+2p+1.
=
(m+2)2=_________.
m2+4m+4
生活之中发现问题
(p+1)2=p2+2p+1,
(m+2)2
=
m2+4m
+4.
并猜想：(a+b)2=__________.
a2+2ab+b2
质疑之中探索新知
“数”
(a+b)2
=(a+b)
(a+b)
=a2
+ab
+ab
+b2
=a2+2ab+b2.
a
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a+b)2
a
b
2
+b2
“形”
等积法
求大正方形的面积.
(a+b)2=a2+2ab+b2
结论
?
(a-b)2=
=[a+(-b)]2
=a2
+2a(-b)
+(-b)2
(a-b)2
=a2
“数”
-2ab
+b2.
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2
=
a2-2ab
+b2.
完全平方公式：
这两个公式的左边和右边各
有什么特点？
讨论之中领悟公式
公式特点：
2.右边为__次__项式;
其中两项为两数的_______;
1.左边为两个数的______________.
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2
=
a2-2ab
+b2.
另一项是两数的_______,且与左边括号内两数中间的符号_____.
+
+
-
-
和(或差)的平方
二
三
平方和
积的2倍
相同
公式特点：
2.右边为__次__项式;
其中两项为两数的_______;
1.左边为两个数的______________.
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2
=
a2-2ab
+b2.
另一项是两数的________,且与左边
括号内两数中间的________.
+
+
-
-
和(或差)的平方
二
三
平方和
积的2倍
符号相同
首2±2×首×尾+尾2
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2
=
a2-2ab
+b2.
完全平方公式：
两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.
讨论之中领悟公式
完全平方公式是
多项式乘法(a+b)(p+q)
中p=a,q=b的特殊情形.
运用此公式可以
简化运算.
口答:
1.(m+n)2=
2.(m-n)2=
3.(x+1)2=(
)2__2?(
)?(
)+(
)2
=
4.(y-5)2=(
)2__2?(
)?(
)+(
)2
=
m2+2mn+n2
小试牛刀
m2
-2mn+n2
x2
+2x+1
y
y
5
5
-
y2
-10y+25
x
x
1
1
+
例3
运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(2)
(y-
)2
应用之中巩固知识
(2)
(y-
)2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
步骤:
1.选择公式;
2.找准a、b;
3.准确计算.
(y-
)2
=
y2
-2?y?
+(
)2
(a-b)2
=a2
-2
a
b
+
b2
解：
=y2
-y
+
-
练习:运用完全平方公式计算：
(1)(2a+5b)2；
题后小结:
1.整体平方时,切记加括号;
2.中间项勿漏掉,并注意其符号;
3.a,b可以表示单项式、也可以表示多项式.
学以致用
例4
运用完全平方公式计算：
(1)1022;
(2)
992.
例题解析
x2
+2xy+y2
x2
+2xy+y2
1.(x+y)2=
2.(x-y)2=
3.(y-x)2=
4.(-x-y)2=
运用完全平方公式计算：
x2
-2xy+y2
比较上面4个算式的结果,由此你发现了什么？
y2
-2yx+x2
拓展之中提升能力
小试牛刀
结论
(-x-y)2=(x+y)2
(y-x)2
=(x-y)2
智取百宝箱
挑战之中爱上数学
下面各式的计算错在哪里？应当怎样改正？
1.(a-b)2=a2-b2
2.(a+2b)2=a2+4ab+2b2
改正：(a-b)2=a2-2ab+b2
改正：(a+2b)2=a2+4ab+4b2
第一关
运用完全平方公式计算：
第二关
运用完全平方公式计算：
(-2m-1)2
解：(-2m-1)2=(2m+1)2
=4m2+4m+1
第三关
在我国南宋数学家杨辉(约13世纪)所
著的《详解九章算术》(1261年)一书中,用
下图的三角形解释二项和的乘方规律.
这个三角形给出了(a+b)n(n=1,2,3,4,5,6)的
展开式的系数规律.
思想方法
运用
总结之中收获知识
完全平方
公式
送给大家一只求知的眼睛:
一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加39cm2,这个正方形的边长是多少？
达标检测B卷
cm
cm
必做题
课本112页
习题14.2
T2.(2)(6)
选做题
提素养
自行查阅史料,了解“杨辉三角”的相关知识.
作业
谢谢聆听！教学设计
年级
八年级
科目
数学
任课教师
授课时间
课题
14.2.2
完全平方公式
授课类型
新授课
教学目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点.2.灵活运用完全平方公式进行计算.3.了解公式的几何背景,培养学生运用数形结合思想解决问题的意识,激发学生学习数学的兴趣,培养创新能力和探索精神.
教学重点难点]
重点
完全平方公式的推导和运用.
难点
理解完全平方公式的结构特征,能灵活、准确运用完全平方公式.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
情境导入
生活之中发现问题导入语：同学们,很高兴和大家一起完成本节课的学习！我的家乡就在金乡！在今年的抗击疫情中,我们金乡为湖北人民无偿捐赠大蒜,我们为我们家乡而骄傲,为我们的家乡而自豪!若此次支援湖北黄冈的运输车有(p+1)辆,每辆车装(p+1)吨大蒜,则这次共运送多少吨大蒜？
学生观看图片并利用多项式相乘原理,计算(p+1)(p+1).
设计意图:一方面是利用生活中的实例来激情引趣，另一方面为学生在下面的学习中正确认识公式结构上的特点做好铺垫.
讲授新课
提问:你能举出一个类似的运算吗?并猜想：(a+b)2=__________.过渡语:如何验证我们的猜想？“数”(a+b)2
=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2那么老师给你一个图形，你能根据此图的面积说明上面的等式成立吗？“形”等积法(a+b)2=a2+2ab+b2过渡语:我们分别从数和形两个角度得出了两数和的完全平方公式.结论：(a+b)2=a2+2ab+b2提问:你能运用两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式吗？(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2过渡语:我们根据图形的面积,推导出(a+b)2=a2+2ab+b2.你能类比此方法,利用图形的面积说明(a-b)2=a2-2ab+b2.“形”结论:________________________________.讨论之中领悟公式完全平方公式：这两个公式的左边和右边各有什么特点？公式特点：1.左边为两个相同的二项式相乘.2.右边为二次三项式;其中两项为两数的平方和;另一项是两数的积的2倍,且与左边括号内两数中间的符号相同.首2±2×首×尾+尾2(播放学生小视频)注意：完全平方公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中p=a,q=b的特殊情形.运用此公式可以简化运算.两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.过渡语:我们对完全平方公式有了初步的认识,接下来我来考考大家是否会运用.小试牛刀过渡语:同学们反应很快,如何运用公式规范书写呢？下面我们来看例题.例3
运用完全平方公式计算：解题步骤:1.选择公式;2.找准a、b;3.准确计算.学以致用练习:运用完全平方公式计算：题后小结:1.平方时,如首尾项的系数不为1时,需添加括号;2.不要漏掉中间项,并且注意中间项的符号;3.公式中的字母a,b可以表示单项式和多项式.补充:下节课我们还会遇到a,b是多项式的情况.过渡语:上节课我们学方差公式，知道了运用平方差公式可以简化数的运算.那么这节课也可以运用完全平方公式简化数的运算,请同学们独立完成例4.例4
运用完全平方公式计算：(1)1022;
(2)
992.过渡语:老师再提升一下难度，再考考大家.
拓展之中提升能力运用完全平方公式计算：1.(x+y)2
2.(x-y)2
3.(y-x)2
4.(-x-y)2比较上面4个算式的结果,由此你发现了什么？结论.挑战之中爱上数学
智取百宝箱第一关：下面各式的计算错在哪里？应当怎样改正？1.(a-b)2=a2-b22.(a+2b)2=a2+4ab+2b2第二关：运用完全平方公式计算：第三关：运用完全平方公式计算：(-2m-1)2过渡语:闯关成功,百宝箱终于被打开了,宝藏是什么?南宋数学家杨辉留给同学的杨辉三角.这个三角形给出了(a+b)n(n=1,2,3,4,5,6)的展开式的系数规律.总结之中收获知识送给大家一只求知的眼睛:达标检测A卷填空题：2.运用完全平方公式计算：
EMBED
Equation.KSEE3
达标检测B卷3.一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加39cm2,这个正方形的边长是多少？
让学生先独立思考，然后同桌之间合作交流，推导出两数和的完全平方公式.这个环节让学生认真观察课件上的动态图,根据图形的面积推导出两数和的完全平方公式.运用两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式.学生利用等积法推导出两数和的完全平方公式;通过类比的方法,说明两数差的完全平方公式.学生观察两个公式的特点.学生观看小视频.学生抢答.学生口述例3(2)的做题过程.两位学生上台板演.学生独立思考,解决问题.学生抢答.学生了解杨辉三角,课下查阅相关材料,加深完全平方公式的进一步理解.学生梳理本节课的知识和数学方法.完成检测达标.
设计意图:充分发挥学生在课堂上的主观能动性，让学生推导出两数和的完全平方公式.设计意图:让学生直观感受,培养学生用图形来解释数的能力.这个过程是引导学生运用“面积法”来解决问题的过程.让学生充分感受“数形结合”的思想.设计意图:用已学知识来解决新问题,培养学生的知识转化能力.设计意图:为了向学生渗透类比的数学思想.设计意图:加深学生对公式的理解和记忆,为以后的应用做好准备.设计意图:通过播放小视频，激发学生的兴趣,进一步加深对完全平方公式的理解记忆.设计意图:充分调动学生们的积极性.通过主动抢答环节,进一步理解完全平方公式.设计意图:通过学习例题，规范解答过程.设计意图:让学生进一步加深对完全平方公式的理解和应用.设计意图:通过练习，让学生体会运用完全平方公式可以简化计算.设计意图:通过闯关,充分调动学生们的积极性,使学生能灵活、准确运用完全平方公式.设计意图:拓展学生知识面，激发学生学习数学的热情.设计意图:通过梳理本节课的收获知识，培养学生的归纳总结能力.设计意图:再一次巩固完全平方公式.
课后任务
作业:必做题
课本112页
习题14.2
T2.(2)(6)选做题
提素养
自行查阅史料,了解“杨辉三角”的相关知识.
课后作业.
通过作业巩固本课所学的知识，并能及时反馈本节知识点的掌握情况.
板书
14.2.2
完全平方公式(1)(图形)
(a+b)2=a2+2ab+b2,
老师板书(a-b)2=a2-2ab+b2.
学生板书思想方法:数形结合
转化
类比
总体把握本节所学内容，明确本节课需掌握的整体知识框架.
(p+1)2=p2+2p+1,
(m+2)2=m2+4m+4.
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2.
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2.
(-x-y)2=(x+y)2,
(y-x)2=(x-y)2.人教版
八年级数学(上册)学案
班级：
小组：
姓名：
14.2.2完全平方公式(一)
使用时间：2020.11.26
【学习目标】
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点.
2.灵活运用完全平方公式进行计算.
【重点难点】
重点:完全平方公式的推导和运用.
难点:理解完全平方公式的结构特征,能灵活、准确运用完全平方公式.
【学习过程】
生活之中发现问题
若此次支援湖北黄冈的运输车有(p+1)辆,每辆车装(p+1)吨大蒜,则这次共
运送多少吨大蒜？
质疑之中探究新知
1.“数”
“形”
结论:__________________________________________________________.
利用
来计算(a-b)2=?
利用图形的面积说明.
结论:__________________________________________________________.
讨论之中领悟公式
完全平方公式：
公式特点：
1.左边为两个数的________________.
2.右边为__次__项式;
其中两项为两数的_____________;
另一项是两数的_____________,且与左边括号内两数中间的符号________.
两个数和(或差)的平方,等于它们的__________,加上(或减去)它们的__________.
注意：完全平方公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中p=a,q=b的特殊情形.运用此公式可以简化运算.
小试牛刀
例3
运用完全平方公式计算：
题后小结：______________________________________________________________.
学以致用
练习:运用完全平方公式计算：
题后小结：______________________________________________________________.
例4
运用完全平方公式计算：
拓展之中提升能力
运用完全平方公式计算：
(x+y)2
2.(x-y)2
3.(y-x)2
4.(-x-y)2
比较上面4个算式的结果,由此你发现了什么？
结论:__________________________________________________________.
总结之中收获知识
通过本节课的学习，你有什么收获？
达标检测A卷
填空题：
2.运用完全平方公式计算：
达标检测B卷
3.一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加39cm2,这个正方形的边长是多少？《完全平方公式》教学反思
本节课是通过我们金乡为湖北人民无偿捐赠大蒜情景引入。首先
从课本入手,由(p+1)2=p2+2p+1和(m+2)2=m2+4m+4猜想(a+b)2=a2+2ab+b2,引导学生运用多项式乘法法则运算进行自主探究,从而推导出(a+b)2=a2+2ab+b2,充分发挥学生在课堂上的主观能动性。再根据图形的面积说明两数和的完全平方公式,让学生观察课件上的动态图,直观感受,培养学生用图形来解释数的能力。这个过程是引导学生运用“面积法”来解决问题的过程,让学生充分感受“数形结合”的思想。总结出两数和的完全平方公式,将猜想变为公式。运用两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式,用已学知识来解决新问题,培养学生的知识转化能力。通过类比的方法,引导学生利用等积法说明两数差的完全平方公式。让学生总结公式等号两边的特点,结合小视频,激发学生的兴趣,进一步加深对完全平方公式的理解记忆,为以后的应用做好准备。分析两个公式的特点,用文字概括公式的内容,从而培养学生抽象的数学思维能力和语言表达能力。通过主动抢答环节,进一步理解完全平方公式,充分调动学生们的积极性。
为了规范书写,进行了课本上的例题,2道例题两种题型,第一道学生说老师板书,第二道学生说,紧跟着归纳解题步骤。在学生掌握了解题的方法和技巧之后,学生独立完成“学以致用”,随机找了两名同学上台板演展示过程,通过学生相互批改、相互点评的形式来完成这一环节,总结注意事项。类比平方差公式可以简化数的运算,这节课学习的完全平方公式也可以简化数的运算。因为游戏对学生来说具有特殊的吸引力,所以把学生分成A、B两组进行竞赛,智取百宝箱,把课堂练习寓于游戏之中,消除学生对数学枯燥乏味的感觉,让学生能在“玩中学、趣中练”。百宝箱中是南宋数学家杨辉留给学生的杨辉三角,课下查阅相关材料,加深完全平方公式的进一步理解,拓展学生知识面,激发学生学习数学的热情。
整堂课突出以学生为主体的探索性学习原则,整节课都在紧张而愉快的气氛中进行,学生非常活跃,人人都能积极参与。
本节课过后,我自己也进行了深刻的反思,现将自己的一些思考记录如下：
比较成功的地方。
1.学生的探究活动效果颇好。
2.在探索新知的过程中,让学生充分感受“数形结合”的思想。在学习两数差的完全平方公式时,将新知识转化为已经学过的两数和的完全平方公式知识,让学生体会“转化”的思想。通过类比的方法,引导学生利用等积法说明两数差的完全平方公式。根据分析的特点,用自己的语言叙述完全平方公式,有利于提高学生数学语言的表述能力。
3.播放小视频,激发学生的兴趣,进一步加深对完全平方公式的理解记忆。
4.通过游戏闯关,拓展学生知识面,激发学生学习数学的热情。
5.抓住初二学生的特点,多用鼓励法教学,鼓励学生大胆发言,对于完全平方公式的特点,积极引导学生议,真理愈辩愈明,疑点愈理愈清,踊跃举手回答问题,课堂气氛热烈,达到本节课教学目标。
二、需要改进反思的地方。
1.在教学中尽可能给学生充足的时间让学生去探究发现新知。
2.对需要帮助的学生进行针对性的个别指导较少。
3.学生课堂互动应该更丰富。
4.整个教学过程中，教学语言还需要进一步的严谨和规范。在今后的教学过程中是要更加关注和改进的地方。
总之，通过本次市优质课的历练收获很多，也意识到自己的问题。虽说教学没有完美的课堂，但是要立志于把课讲到接近完美为目标，我会继续努力奋斗，提高自己的业务能力。
