2.5二次函数与一元二次方程 同步练习（含详解）

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2.5二次函数与一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线y＝－2x2－x＋2与坐标轴的交点个数是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
2．若抛物线y=x2﹣2x﹣1与x轴的交点坐标为（a，0），则代数式a2﹣2a+2017的值为（　　）
A．2019 B．2018 C．2017 D．2016
3．抛物线与轴的交点坐标为（）
A．(1,0) B．(-1,0) C．(0,-1) D．(0,1)
4． 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为( ).
A．－1或2 B．－1或1
C．1或2 D．－1或2或1
5．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2 B．x＞8 C．﹣2＜x＜8 D．x＜﹣2或x＞8
6．抛物线y＝mx2﹣8x﹣8和x轴有交点，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣2 B．m≥﹣2 C．m≥﹣2且m≠0 D．m＞﹣2且m≠0
7．二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数解，则k的最小值为　　
A． B． C． D．0
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y＝﹣x的图象如图所示，则方程ax2+（b+ ）x+c＝0（a≠0）的两根之和（　　）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
二、填空题
9．二次函数y=x2+4x+3与坐标轴交于A，B，C三点，则三角形ABC的面积为________．
10．若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣1，x2=2，则b+c的值是__．
11．竖直上抛某物体时，物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可用公式来表示，由公式可知，该物体经过_____s离地面的高度为30m.
12．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：
①ac＜0； ②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3
③a+b+c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大．
正确的说法有_____．
三、解答题
13．抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．
14．已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)．
（1）求a，b的值；
（2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值．
15．已知，如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积．
16．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k取小于1的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根；
（3）在（2）的条件下，二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），D点在此抛物线的对称轴上，若∠DAB=60?，直接写出D点的坐标．
参考答案
1．A
解析：因为b2-4ac=（-1）2-4×(-2)×2＞0，所以抛物线与x轴有两个交点，又抛物线与y轴有一个交点，所以抛物线与坐标轴共有3个交点，故选A.
2．B
解析：
将（a，0）代入y=x2﹣2x﹣1，
∴a2﹣2a﹣1=0，
把a2﹣2a=1代入a2﹣2a+2017，
∴原式=1+2017=2018，
故选B．
3．D
解析：与y轴的交点就是当x=0时y的值，将x=0代入函数解析式可得：y=1，则抛物线与y轴的交点坐标为(0,1)，故选择D．
4．D
解析：
当该函数是一次函数时，与x轴必有一个交点，此时a－1＝0，即a＝1.
当该函数是二次函数时，由图象与x轴只有一个交点可知Δ＝(－4)2－4(a－1)×2a＝0，解得a1＝－1，a2＝2.
综上所述，a＝1或－1或2.
故选D.
5．D
解析：
∵A（﹣2，4），B（8，2），
∴能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8．
故答案选D．
6．C
解析：
解：∵抛物线和轴有交点，
,
解得：且．
故选．
7．A
解析：∵一元二次方程ax2+bx+k=0有实数解，
∴可以理解为y=ax2+bx和y=?k有交点，
由图可得，?k≤4，
∴k≥?4，
∴k的最小值为?4.
故选A.
8．C
解析：
解：设的两根为x1，x2，
∵由二次函数的图象可知，，
．
设方程的两根为m，n，则
.
故选C．
9．3
解析：∵抛物线y=x2+4x+3=（x+1）（x+3），
∴它与坐标轴的三个交点分别是：（-1，0），（-3，0），（0，3），
∴该三角形的面积为．
故答案是3.
10．﹣3
解析：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣1，x2=2，
∴根据根与系数的关系，可得﹣1+2=﹣b，﹣1×2=c，
解得b=﹣1，c=﹣2
∴b+c=﹣3．
考点：根与系数的关系．
11．2或3
解析：
解：设该物体经过ts离地面的高度为30m
则整理得：
解得：t=2或3
12．①②③．
解析：∵抛物线的开口向下，

∵与轴的交点为在轴的正半轴上，

故①正确；
∵对称轴为 抛物线与轴的一个交点为
∴另一个交点为
∴方程 的根是
故②正确；
当时，
故③正确；
异号，即
当时，随的增大而减小，故④错误．
∴其中正确的说法有①②③；
故答案为①②③．
13．抛物线的解析式为y=-x2+4x-3;抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）
解析：分析：把（0，-3）和（2，1）代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解，即可得出抛物线的解析式，把y=0代入解析式，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标．
详解：∵抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），
∴，解得?，
抛物线的解析式为y=-x2+4x-3，
令y=0，得-x2+4x-3=0，即?x2-4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）．
14．（1）；（2）
解析：（1）∵抛物线经过点（1，-2），（-2，13），
∴，解得，
∴a的值为1，b的值为-4；
（2）∵(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，
∴，解得或（舍去）
∴m的值为-1.
15．（1）y=﹣x2+4x+5；（2）15．
解析：（1）∵A（﹣1，0），C（0，5），（1，8）三点在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴，
解方程组，得，
故抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣5）（x+1）=﹣（x﹣2）2+9，
∴M（2，9），B（5，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，

解得,
则直线BC的解析式为：y=﹣x+5.
过点M作MN∥y轴交BC轴于点N，
则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积=
当x=2时，y=﹣2+5=3，则N（2，3），
则MN=9﹣3=6，
则
16．（1）；（2），；（3），
解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2-4x+1-2k=0有两个不等的实根，
∴△=（-4）2-4×1×（1-2k）=12+8k＞0，
解得，k＞-；
（2）∵k取小于1的整数，
∴k=-1或0，
①当k=-1时，方程为x2-4x+3=0，
即（x-2）2=1，
∴x-2=1或x-2=-1，
解得x1=3，x2=1，
②当k=0时，方程为x2-4x+1=0，
即（x-2）2=3，
∵方程的解为整数，
∴k=0不符合，
∴k=-1，此时方程的两个整数根是x1=3，x2=1；
（3）如图所示，根据（2），二次函数解析式为，y=x2-4x+3，
∴点A、B的坐标分别为A（1，0），B（3，0），
∴对称轴为x=2，
∴AC=（3-1）=1，
∵∠DAB=60°，
∴AD=2AC=2，
∴CD=，
当点D在AB的上方时，坐标为（2，），在AB的下方时，坐标为（2，-），
∴点D的坐标为（2，）或（2，-）．

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