3.2圆的对称性 同步练习（含详解）

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3.2圆的对称性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在⊙Ｏ中，弦AB、CD互相垂直，且垂足E点将CD分为3cm和7cm的两段，那么圆心O到AB的距是（　　 ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
2．①直径是弦②弦是直径③半圆是弧④弧是半圆，以上说法中正确的是（　　 ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
3．在同圆或等圆中，如果，那么AB和CD的关系是( )
A．AB＞CD B．AB＝CD
C．AB＜CD D．AB＝2CD
4．⊙O中，直径AB=a，弦CD=b，则a与b大小为(　 )
A．a>b B．a≥b C．a5．如图，已知：是的直径，、是上的三等分点，，则是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在⊙O中，∠AOB的度数为m，C是上一点，D，E是上不同的两点(不与A，B两点重合)，则∠D＋∠E的度数为(　　)
A．m B．180°－ C．90°＋ D．
8．如图所示，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D，已知AB＝2CD，AB的弦心距等于CD长的一半，那么大圆与小圆的半径之比是 ( )
A．3∶2 B．∶2
C．∶ D．5∶4
二、填空题
9．如图，在⊙O中，，若∠AOB＝40°，则∠COD＝____．
10．如图所示，在⊙O中，AC、BC是弦，根据条件填空：
(1)若AC＝BC，则________________；
(2)若，则______________；
(3)若∠AOC＝∠BOC，则______________．
11．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则OD＝_____厘米．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为____________．
三、解答题
13．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线相交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°.试求∠AOC的度数．
14．如图，AB，AC，BC都是的弦，且，求证：.
15．如图，已知在⊙O中，M、N分别是半径OA、OB的中点，且CM⊥OA，DN⊥OB．求证：.
16．一辆高为2.5m，宽为1.6m的卡车，要经过如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆直径为2m，长方形另一边长为2.3m.
（1）此卡车能否通过桥洞？请说明理由；
（2）如图，若想把桥洞改为双行道且使宽1.2m，高2.8m的卡车安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？
参考答案
1．B
解析：
根据题意画出图形，如图所示，过O分别作OM⊥CD、ON⊥AB于M、N，
∵点E将CD分成3cm和7cm两部分，
∴CE=3cm，DE=7cm，CD=10cm.
∵OM⊥CD，
∴CM=DM=12CD=5cm，
∴EM=CM-CE=2cm.
∵CD⊥AB，OM⊥CD，ON⊥AB，
∴∠MEN=∠EMO=∠ENO=90°，
∴四边形EMON是矩形，
∴ON=EM=2.
∵ON⊥AB，
∴ON是点O到AB的距离.
即点O到AB的距离是2cm.
故选B.
2．D
解析：
根据直径和弦的定义可知：直径是弦，但弦不一定是直径，故①正确，②错误；
再根据半圆和弧的定义可知：半圆是弧，但弧不一定是半圆，故③正确，④错误；
综上所述：正确的有①、③，共2个.
故选D.
3．B
解析：
在同圆或等圆中，∵=，∴AB=CD.
故选B
4．B
解析：∵直径是圆中最长的弦，
∴.
故选B.
5．C
解析：
∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，
∴的度数是120°，
∵C、D是上的三等分点，
∴弧CD与弧ED的度数都是40度，
∴∠COE=80°，故选C.
6．A
解析：
①若，则，正确；
②若，则，故不正确；
③由不能得到弧AB=2弧CD，故不正确；
④若，则，错误.
故选A.
7．B
解析：∠AOB=m，所以∠D＋∠E所对的圆心角是360°-m,所以∠D＋∠E=180°-.
故选B.
8．C
解析：过O作OE于E,设OE=1，DE=1，AE=2，勾股定理知，AO=，OD=，
故选C.
9．40°
解析：由“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.”得∠AOC=∠BOD，再得出∠AOB=∠COD.
解：∵在⊙O中，=，
∴∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC，
∴∠AOB=∠COD=40°.
故答案为40°.
10．(1) ，∠AOC＝∠BOC； (2) AC＝BC，∠AOC＝∠BOC； (3) ，AC＝BC．
解析：本题利用“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.”来解决.
解：本题中所对的弦是AC，所对的圆心角是∠AOC；所对的弦是BC，所对的圆心角是∠BOC.
（1）若AC＝BC，则=，∠AOC＝∠BOC；
（2）若=，则AC＝BC，∠AOC＝∠BOC；
（3）若∠AOC＝∠BOC，则=，AC＝BC.
11．6.
解析：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴弧BC=弧BD，∴∠BOC=∠BOD=60°．
又∵cos∠DOB=，
∴OD==6（厘米）．
12．50°
解析：连接CD，
∵∠A=25°，
∴∠B=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠BCD=50°，
∴的度数为50°
13．∠AOC＝54°
解析：连接OD，
∵AB＝2DE，AB＝2OD，
∴OD＝DE，∴∠DOE＝∠E，
∴∠ODC＝2∠E＝36°，
∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC＝36°，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝54°
14
解析：证明：，
，
.
15．
解析：连接OC、OD，则OC＝OD=OA=OB.
∵M、N分别是半径OA、OB的中点，∴OM＝ON.
∵CM⊥OA，DN⊥OB，
∴∠OMC＝∠OND＝90°.
在Rt△OMC和Rt△OND中，OM=ON，OC=OD，
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)．
∴∠MOC＝∠NOD.
∴=.
16．解析：（1）如图，M，N为卡车的宽度，
过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
CD=MN=1.6米，AB=2米，
由作法得，CE=DE=0.8米，
又∵OC=OA=1米，
在Rt△OCE中，OE= ≈0.6（米），
∴CM=2.3+0.6=2.9＞2.5．
∴这辆卡车能通过．
（2）如图：根据题意可知：CG=BE=2.8米，BG=OF=1.2米，EF=AD=2.3米，
∴BF=0.5米，
∴根据勾股定理有：OA=OB=BF+OF=0.5+1.2=1.69（米），
∴OA=1.3米，
∴桥洞的宽至少增加到1.3×2=2.6（米）.
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