3.3垂径定理 同步练习（含详解）
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*3.3垂径定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，⊙O的半径为2，弦AB⊥OC于C，AB=，则OC等于（ ）
A． B． C．1 D．2?
2．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是（ ）
A．点D在⊙A外 B．点D在⊙A上 C．点D在⊙A内 D．无法确定
3．如图，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别为和的中点，OM、ON分别交AB、AC于E、F，则∠MON的度数为( )
A．110° B．120° C．130° D．100°
4．如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )
A．10cm B．16 cm C．24 cm D．26cm
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，则AE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（??? ）
A．AB=12cm B．OC=6cm C．MN=8cm D．AC=2.5cm
7．下列命题中正确的是（?? ）
A．圆只有一条对称轴 B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于弦的直径平分这条弦 D．相等的圆心角所对的弧相等
8．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4 cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
二、填空题
9．已知P是⊙O内一点，OP=4cm，过点P的最长弦为10cm，则过P点最短弦长为 ________cm．
10．到点O的距离为5的所有点构成的图形是__________．
11．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为______．
12．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，∠CAD=80o，则∠OCE=_________．
三、解答题
13．点A、B、C、D在⊙O上，AB∥CD，AB=24，CD=10，⊙O的半径为13，求梯形ABCD的面积．
14．如图所示，AB是⊙O的直径，弦(非直径)CD⊥AB，P是⊙O上不同于C，D的任意一点.
(1)当点P在劣弧CD上运动时(如图(1))，∠APC与∠APD的关系如何?请证明你的结论;
(2)当点P在优弧上运动时(如图(2))，∠APC与∠APD的关系如何?请证明你的结论(不讨论点P与点A重合的情况).
15．如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2 m，拱高CD为2.4 m.
(1)求拱桥的半径；
(2)现有一艘宽3 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？
16．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接.
（1）若，，求的直径；
（2）若，求的度数.
参考答案
1．C
解析：，AB=2 ，
∴AC=BC=AB=；
又∵⊙O的半径为2，
∴OB=2，
∴在Rt△BOC中，OC= =1；
故选C．
2．A
解析：根据勾股定理求得斜边
则
∴点在圆外.
故选A.
3．C
解析：
解：∵M、N分别为和的中点，
∴OF⊥AC，OE⊥AB，
∴∠OFA=∠OEA=90°，
∴在四边形OEAF中，∠MON=360°-∠OFA-∠OEA-∠A=360°-90°-90°-50°=130°．
故选C．
4．C
解析：过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∴CD=8，OD=13，
∴OC=OD-CD=5，
又∵OB=13，
∴Rt△BCO中，BC==12，
∴AB=2BC=24．
故选C.
5．A
解析：连接OC，如图，∵AB是⊙O的直径，AB=10，∴OC=OA=5．
∵CD⊥AB，∴CE=DECD8=4．在Rt△OCE中，OC=5，CE=4，∴OE3，∴AE=OA﹣OE=5﹣3=2．
故选A．
6．D
解析：A.∵OA=5cm，∴MN=10cm，∵AB是⊙O的弦，∴ABB.∵AB⊥MN于点C，在Rt△OAC中，OA是斜边，且OA=5cm，∴OCC.∵OA=5cm，∴MN=10cm，故本选项错误；
D.∵在Rt△OAC中，OA是斜边，且OA=5cm，∴AC故选D.
7．C
解析：A.圆有无数条对称轴，故本选项错误，
B. 平分弦(不是直径)的直径一定平分弦所对的弧，故本选项错误，
C. 垂直于弦的直径平分弦，故本选项正确，
D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误，
故选C.
8．C
解析：连接AC，AO，
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm,
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM==3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5?3=2cm，
在Rt△AMC中,AC=cm.
故选C.
9．6
解析：
如图所示，OP⊥AB于P.
∵过点P的最长弦就是直径，
∴半径为10÷2=5cm，
∵最短弦就是垂直于OP的弦，OA=5cm，OP=4cm，
∴AP= ==3cm.
∴弦AB=2AP=2×3=6cm.
?即过P点最短弦长为6cm.
故答案为：6.
10．解析：定点O为圆心，定长5 为半径，圆心与半径可确定一个圆.
故答案为：以O为圆心，以5为半径的圆.
11．(6,0)
解析：过点P作PM⊥AB于M，则M的坐标是（4，0）
∴MB=MA=4-2=2，
∴点B的坐标为(6,0)
12．10°
解析：
∠CAD＋∠ACE＋∠ADE＝180°，∠ACE＝∠ADE，解得：∠ACE＝50°，∠ACE＝∠ACO＋∠OCE，根据分析可知：∠ACO＝∠CAE＝40°，故解得：∠OCE＝50°－40°＝10°，故答案为10°.
13．289或119
解析：
解：连接OA、OD，作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，在Rt△AOE中，OA=13，AE=12，OE==5；同理可得OF=12
分两种情况：如图1．EF=OF+OE=12+5=17
如图2．EF=OF-OE=12-5=7
因此梯形的面积为（AB+CD）EF=（24+10）EF=289或119．
故答案为：289或119.
14．解析：
(1)∠APC=∠APD
证明：∵弦CD⊥AB，AB是直径
∴
∴∠APC=∠APD.
(2)∠APC+∠APD=180°
证明：∵弦CD⊥AB，AB是直径
∴
∵∠APD的度数等于的度数的一半，∠APC的度数等于的度数的一半，
的度数与的度数之和为360°
∴∠APD+∠APC=180°.
15．解析：(1)连接OB.
∵OC⊥AB，∴D为AB的中点．
∴BD＝AB＝3.6(m).
设OB＝OC＝r，则OD＝(r－2.4)m.
在Rt△BOD中，OB2=OD2+BD2，即r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9.
∴拱桥的半径为3.9 m.
(2)作出拱桥下的矩形，交拱桥于M，N，交CD于E，连接ON.
∵CD＝2.4 m，DE=2 m，
∴CE＝CD－DE＝0.4(m)．
∴OE＝OC－CE＝3.9－0.4＝3.5(m)．
在Rt△OEN中，EN＝＝＝(m2)，
∵OD⊥MN，
∴MN＝2EN＝2×≈3.44 m＞3 m.
∴此货船能顺利通过拱桥．
16．解析：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，
∴CE＝DE＝8，
设，
又∵BE＝4，
∴
∴，
解得：，
∴⊙O的直径是20．
（2）∵OM＝OB，
∴∠B＝∠M，
∴∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，
∵∠DOB＋∠D＝90°，
∴2∠B＋∠D＝90°，
∵，
∴∠B＝∠D，
∴2∠D＋∠D＝90°，
∴∠D＝30°；
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试卷第1 11页，总3 33页
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*3.3垂径定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，⊙O的半径为2，弦AB⊥OC于C，AB=，则OC等于（ ）
A． B． C．1 D．2?
2．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是（ ）
A．点D在⊙A外 B．点D在⊙A上 C．点D在⊙A内 D．无法确定
3．如图，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别为和的中点，OM、ON分别交AB、AC于E、F，则∠MON的度数为( )
A．110° B．120° C．130° D．100°
4．如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )
A．10cm B．16 cm C．24 cm D．26cm
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，则AE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（??? ）
A．AB=12cm B．OC=6cm C．MN=8cm D．AC=2.5cm
7．下列命题中正确的是（?? ）
A．圆只有一条对称轴 B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于弦的直径平分这条弦 D．相等的圆心角所对的弧相等
8．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4 cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
二、填空题
9．已知P是⊙O内一点，OP=4cm，过点P的最长弦为10cm，则过P点最短弦长为 ________cm．
10．到点O的距离为5的所有点构成的图形是__________．
11．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为______．
12．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，∠CAD=80o，则∠OCE=_________．
三、解答题
13．点A、B、C、D在⊙O上，AB∥CD，AB=24，CD=10，⊙O的半径为13，求梯形ABCD的面积．
14．如图所示，AB是⊙O的直径，弦(非直径)CD⊥AB，P是⊙O上不同于C，D的任意一点.
(1)当点P在劣弧CD上运动时(如图(1))，∠APC与∠APD的关系如何?请证明你的结论;
(2)当点P在优弧上运动时(如图(2))，∠APC与∠APD的关系如何?请证明你的结论(不讨论点P与点A重合的情况).
15．如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2 m，拱高CD为2.4 m.
(1)求拱桥的半径；
(2)现有一艘宽3 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？
16．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接.
（1）若，，求的直径；
（2）若，求的度数.
参考答案
1．C
解析：，AB=2 ，
∴AC=BC=AB=；
又∵⊙O的半径为2，
∴OB=2，
∴在Rt△BOC中，OC= =1；
故选C．
2．A
解析：根据勾股定理求得斜边
则
∴点在圆外.
故选A.
3．C
解析：
解：∵M、N分别为和的中点，
∴OF⊥AC，OE⊥AB，
∴∠OFA=∠OEA=90°，
∴在四边形OEAF中，∠MON=360°-∠OFA-∠OEA-∠A=360°-90°-90°-50°=130°．
故选C．
4．C
解析：过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∴CD=8，OD=13，
∴OC=OD-CD=5，
又∵OB=13，
∴Rt△BCO中，BC==12，
∴AB=2BC=24．
故选C.
5．A
解析：连接OC，如图，∵AB是⊙O的直径，AB=10，∴OC=OA=5．
∵CD⊥AB，∴CE=DECD8=4．在Rt△OCE中，OC=5，CE=4，∴OE3，∴AE=OA﹣OE=5﹣3=2．
故选A．
6．D
解析：A.∵OA=5cm，∴MN=10cm，∵AB是⊙O的弦，∴AB
D.∵在Rt△OAC中，OA是斜边，且OA=5cm，∴AC
7．C
解析：A.圆有无数条对称轴，故本选项错误，
B. 平分弦(不是直径)的直径一定平分弦所对的弧，故本选项错误，
C. 垂直于弦的直径平分弦，故本选项正确，
D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误，
故选C.
8．C
解析：连接AC，AO，
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm,
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM==3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5?3=2cm，
在Rt△AMC中,AC=cm.
故选C.
9．6
解析：
如图所示，OP⊥AB于P.
∵过点P的最长弦就是直径，
∴半径为10÷2=5cm，
∵最短弦就是垂直于OP的弦，OA=5cm，OP=4cm，
∴AP= ==3cm.
∴弦AB=2AP=2×3=6cm.
?即过P点最短弦长为6cm.
故答案为：6.
10．解析：定点O为圆心，定长5 为半径，圆心与半径可确定一个圆.
故答案为：以O为圆心，以5为半径的圆.
11．(6,0)
解析：过点P作PM⊥AB于M，则M的坐标是（4，0）
∴MB=MA=4-2=2，
∴点B的坐标为(6,0)
12．10°
解析：
∠CAD＋∠ACE＋∠ADE＝180°，∠ACE＝∠ADE，解得：∠ACE＝50°，∠ACE＝∠ACO＋∠OCE，根据分析可知：∠ACO＝∠CAE＝40°，故解得：∠OCE＝50°－40°＝10°，故答案为10°.
13．289或119
解析：
解：连接OA、OD，作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，在Rt△AOE中，OA=13，AE=12，OE==5；同理可得OF=12
分两种情况：如图1．EF=OF+OE=12+5=17
如图2．EF=OF-OE=12-5=7
因此梯形的面积为（AB+CD）EF=（24+10）EF=289或119．
故答案为：289或119.
14．解析：
(1)∠APC=∠APD
证明：∵弦CD⊥AB，AB是直径
∴
∴∠APC=∠APD.
(2)∠APC+∠APD=180°
证明：∵弦CD⊥AB，AB是直径
∴
∵∠APD的度数等于的度数的一半，∠APC的度数等于的度数的一半，
的度数与的度数之和为360°
∴∠APD+∠APC=180°.
15．解析：(1)连接OB.
∵OC⊥AB，∴D为AB的中点．
∴BD＝AB＝3.6(m).
设OB＝OC＝r，则OD＝(r－2.4)m.
在Rt△BOD中，OB2=OD2+BD2，即r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9.
∴拱桥的半径为3.9 m.
(2)作出拱桥下的矩形，交拱桥于M，N，交CD于E，连接ON.
∵CD＝2.4 m，DE=2 m，
∴CE＝CD－DE＝0.4(m)．
∴OE＝OC－CE＝3.9－0.4＝3.5(m)．
在Rt△OEN中，EN＝＝＝(m2)，
∵OD⊥MN，
∴MN＝2EN＝2×≈3.44 m＞3 m.
∴此货船能顺利通过拱桥．
16．解析：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，
∴CE＝DE＝8，
设，
又∵BE＝4，
∴
∴，
解得：，
∴⊙O的直径是20．
（2）∵OM＝OB，
∴∠B＝∠M，
∴∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，
∵∠DOB＋∠D＝90°，
∴2∠B＋∠D＝90°，
∵，
∴∠B＝∠D，
∴2∠D＋∠D＝90°，
∴∠D＝30°；
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试卷第1 11页，总3 33页
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