3.8圆内接正多边形 同步练习（含详解）

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
3.8圆内接正多边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=80°，则∠ADC的度数是（　　）
A．60° B．80° C．90° D．100°
2．正五边形的中心角等于（　　）
A．18° B．36° C．54° D．72°
3．如图，P为正三角形ABC外接圆上一点，则∠APB等于（ ）
A．150° B．135° C．115° D．120°
4．正三角形的外接圆半径与内切圆的半径之比是（　　）
A．1：2 B．1： C． ：1 D．2：1
5．已知某个正多边形的内切圆的半径是 ，外接圆的半径是2，则此正多边形的边数是（　　）
A．八 B．六 C．四 D．三
6．如图，在一张圆形纸片上剪下一个面积最大的正六边形纸片ABCDEF，它的边长是24cm， 的长度是（　　）
A．6πcm B．8πcm C．36πcm D．96πcm
7．顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图的图形，下列说法错误的是（　　）
A．△ACE是等边三角形
B．既是轴对称图形也是中心对称图形
C．连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC
D．图中一共能画出3条对称轴
8．半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（　　）
A．8cm B．4cm C．8cm D．4cm
二、填空题
9．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________.
10．如图所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接六边形的面积为 _____
11．点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形中心，则∠MON＝____________．
12．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=110°，则∠BOD= 度．
三、解答题
13．已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．
14．如图，正三角形的边长为6cm，剪去三个角后成一个正六边形．
（1）求这个正六边形的边长．
（2）求这个正六边形的边心距．
（3）设这个正六边形的中心为O，一边为AB，则AB绕点O旋转一周所得的图形是怎样的？（作图表示出来）并求出这条线段AB划过的面积.
15．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在⊙O上．
(1)求∠AED的度数；
(2)若⊙O的半径为2，则的长为多少？
(3)连接OD，OE，当∠DOE＝90°时，AE恰好是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
16．如图,已知等边△ABC内接于☉O,BD为内接正十二边形的一边,CD=5 cm,求☉O的半径R.
参考答案
1．D
解析：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠B=180°-80°=100°.
故选D.
2．D
解析：
解：正五边形的中心角为．
故选D..
3．D
解析：
△ABC是正三角形，
∴
∵
∴
故选:D.
4．D
解析：
如图，
△ABC是等边三角形，AD是高．点O是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心．
∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°，
∴BO=2OD，而OA=OB，
∴OA：OD=2：1．
故选D．
5．B
解析：根据勾股定理得：=1，
∴正多边形的边长为2，
∴正多边形的中心角为60°，
∴此正多边形是正六边形，
故选B．
6．B
解析：连接OB、OA，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6 =60°，
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OB=AB=24cm，
∴
故选B .
7．B
解析：A.∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴△ACE是等边三角形，故本选项正确；
B.∵△ACE是等边三角形，∴是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C.∵△ACE是等边三角形，∴连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC，故本选项正确；
D.∵△ACE是等边三角形，∴图中一共能画3条对称轴，故本选项正确．
故选B．
8．A
解析：如图所示：
∵半径为8cm的圆的内接正三角形，
∴在Rt△BOD中，OB=8cm，∠OBD=30°，
∴BD=cos30°×OB= ×8=4 （cm），
∵BD=CD，
∴BC=2BD=8 cm．
故它的内接正三角形的边长为8 cm．
故选A．
9．1：2：3.
解析：如图：
在直角三角形BOD中，∠OBD=30°，
∴R=2r，
AD是BC边上的高h，OA=OB，∴h=R+r=3r．
∴r：R：h=r：2r：3r=1：2：3．
即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3．
10．
解析：连接AO，BO，过点O作OE⊥AB于点E，
∵∠C=30°，
∴∠AOB=60°，
∵AO=BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=BO=AB=1，
∴EO=sin60°×1=，
，
∴⊙O的内接六边形的面积为：6×=．
故答案为：.
11．45°
解析：连接OA、OB、OC；
∵正八边形是中心对称图形，
∴中心角为

∵OA=OB，∠OAM=∠OBN，AM=BN，
∴△OAM≌△OBN，
∴∠AOM=∠BON，
∴∠MOB=∠NOC；


故答案为：
12．140．
解析：已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=110°，可知四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补和可得∠C+∠A=180°，再由∠A=70°，∠BOD=2∠A，可得∠BOD=140°.
13．解析：
解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作；
（2）四边形BCEF为矩形．理由如下：
连接BE，如图，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，
∴，
∴，
∴，
∴BE为直径，
∴∠BFE=∠BCE=90°，
同理可得∠FBC=∠CEF=90°，
∴四边形BCEF为矩形．
14．解析：
（1）∵六边形DFABGE是正六边形，
∴∠EDF=∠DFA=∠FAB=∠ABG=∠BGE=∠GED=120°，DE=DF，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴△HDE是等边三角形，
∴HD=DE=HE，
同理：FK=KA=AF，
∴HD=DF=FK=2，
∴正六边形的边长为2 cm；
（2）解：连接OA，OB，过点O作ON⊥AB于点N，
∵∠AOB==60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴ON=OA?sin60°=2×cm；
（3）如图：
线段AB划过的轨迹是一个圆环，其面积=π×22﹣π×（）2=πcm2 ．
15．(1)∠AED＝120°；(2)π；(3)n＝12.
解析：
解：(1)连接BD，如图1所示．
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD＋∠C＝180°.
∵∠C＝120°，
∴∠BAD＝60°.
∵AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°.
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED＋∠ABD＝180°，
∴∠AED＝120°.
(2)连接OA，OD，如图2．
∵∠AOD＝2∠ABD＝120°，
∴的长＝.
(3)如图所示．
∵∠ABD＝60°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝120°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠AOE＝∠AOD－∠DOE＝30°，
∴n＝＝12.
16．5.
解析：连接OB、OC、OD.
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC＝×360°＝120°，∠BOD＝×360°＝30°.
∴∠COD＝∠BOC－∠BOD＝90°.
∵OC＝OD，∴∠OCD＝45°.
∴OC＝CD·cos45°＝5× ＝5(cm)．
∴⊙O的半径R＝5 cm.

_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_
试卷第1 11页，总3 33页
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_