5.3 三角形的中位线 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 5.3 三角形的中位线 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-16 20:18:37 | ||
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文档简介
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第五章 平行四边形
3 三角形的中位线
考点突破
考点 三角形的中位线定理
例 如图，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC.求证:AE，DF互相平分。
思路导引: 要证明AE，DF互相平分，可连接ED，EF，证明四边形ADEF是平行四边形即可，而由已知条件知D，E，F为三边中点，易证四边形ADEF是平行四边形。
方法归纳
三角形的中位线定理的主要应用有:
（1）求线段的长度；
（2）证明线段相等或平行；
（3）求角的度数；
（4）证明线段的倍分关系
题组训练
1.如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，下列结论成立的是（ ）
A.线段EF的长度逐渐增大
B.线段EF的长度逐渐减小
C.线段EF的长不变
D.线段EF的长与点P的位置有关
2.如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是（ ）
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5
3.如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
第3题图 第4题图
4.完成下列推理过程:
如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点.求证:DE∥BC，DE＝BC。
巩固练习
1不一定在三角形内部的线段是（ ）
三角形的角平分线 B. 三角形的中线
三角形的高 D.三角形的中位线
2如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P分别为AD，BC，BD的中点，若∠MPN＝130°，则∠NMP等于（ ）
25° B. 30° C. 35° D.50°
3.如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD.若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A. BC＝2BE B. ∠A＝∠EDA C. BC＝2AD D. BD⊥AC
4.（淮安）如图，A，B两地被一座小山阻隔，为了测量A，B两地之间的距离，在地面上选一点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，测得DE的长度为360米，则A，B两地之间的距离是________米。
5.已知周长为8的等腰三角形，有一个腰长为3，则最短的一条中位线长为__________。
6.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是______________。
7.等腰△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝100°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，点E是AB的中点，连接DE。
（1）求∠BAD的度数；
（2）求∠B的度数；
（3）求线段DE的长.
8.（珠海）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1的三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点，得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为____________。
9.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点.若AB＝BC＝3DE＝6，求四边形DEFG的周长.
10.如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不需证明）。
小明的思路是:在图①中，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，根据三角形中位线定理和平行线性质，可证明∠BME＝∠CNE。
问题:如图②，在△ABC中，AC＞AB，点D在AC上，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明。
参考答案
考点突破
例 证明:如图，连接DE，EF。∵AD＝DB，BE＝EC，∴DE∥AC（三角形中位线定理）
同理EF∥AB.四边形ADEF是平行四边形.∴AE，DF互相平分。
题组训练
1.C 2.D 3.D
4.证明:延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF.
∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF，DE＝EF，∴△ADE≌△CFE.
∴AD＝CF，∠ADE＝∠F.∴BD∥CF.∵AD＝BD，∴BD＝CF，
∴四边形BCFD是平行四边形.∴DF∥BC，DF＝BC.∴DE∥BC，DE＝BC。
巩固练习
1.C 2.A 3.C 4.720 5. 1 6. 11
7.解:（1）∵∠BAC＝100°，且AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝50°.
（2）在等腰△ABC中，∠B＝（180°－100°）÷2＝40°.
（3）∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线。∴D是BC中点.又∵E是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝4.
8. 1
9.解:∵AB＝BC＝3DE＝6，∴BC＝9，DE＝2.∵AD⊥BC，G是AB的中点，∴DG＝AB＝3.又∵E，F，G分别是BC，AC，AB的中点，∴FG＝BC＝4.5，EF＝AB＝3.∴四边形DEFG的周长为2＋3＋4.5＋3＝12.5.
10.解:△AGD是直角三角形
证明如下:
如图，连接BD，取BD的中点H，连接HF，HE.
∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF＝AB，∴∠1＝∠3.
同理HE∥CD，HE＝CD.∴∠2＝∠EFC.
∵AB＝CD，∴HF＝HE.∴∠1＝∠2.
∵∠EFC＝60°，∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，∴△AGF为等边三角形。
∵AF＝FD，∴GF＝FD。∴∠FGD＝∠FDG＝30°。∴∠AGD＝90°。
即△AGD是直角三角形。
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第五章 平行四边形
3 三角形的中位线
考点突破
考点 三角形的中位线定理
例 如图，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC.求证:AE，DF互相平分。
思路导引: 要证明AE，DF互相平分，可连接ED，EF，证明四边形ADEF是平行四边形即可，而由已知条件知D，E，F为三边中点，易证四边形ADEF是平行四边形。
方法归纳
三角形的中位线定理的主要应用有:
（1）求线段的长度；
（2）证明线段相等或平行；
（3）求角的度数；
（4）证明线段的倍分关系
题组训练
1.如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，下列结论成立的是（ ）
A.线段EF的长度逐渐增大
B.线段EF的长度逐渐减小
C.线段EF的长不变
D.线段EF的长与点P的位置有关
2.如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是（ ）
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5
3.如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
第3题图 第4题图
4.完成下列推理过程:
如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点.求证:DE∥BC，DE＝BC。
巩固练习
1不一定在三角形内部的线段是（ ）
三角形的角平分线 B. 三角形的中线
三角形的高 D.三角形的中位线
2如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P分别为AD，BC，BD的中点，若∠MPN＝130°，则∠NMP等于（ ）
25° B. 30° C. 35° D.50°
3.如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD.若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A. BC＝2BE B. ∠A＝∠EDA C. BC＝2AD D. BD⊥AC
4.（淮安）如图，A，B两地被一座小山阻隔，为了测量A，B两地之间的距离，在地面上选一点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，测得DE的长度为360米，则A，B两地之间的距离是________米。
5.已知周长为8的等腰三角形，有一个腰长为3，则最短的一条中位线长为__________。
6.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是______________。
7.等腰△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝100°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，点E是AB的中点，连接DE。
（1）求∠BAD的度数；
（2）求∠B的度数；
（3）求线段DE的长.
8.（珠海）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1的三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点，得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为____________。
9.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点.若AB＝BC＝3DE＝6，求四边形DEFG的周长.
10.如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不需证明）。
小明的思路是:在图①中，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，根据三角形中位线定理和平行线性质，可证明∠BME＝∠CNE。
问题:如图②，在△ABC中，AC＞AB，点D在AC上，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明。
参考答案
考点突破
例 证明:如图，连接DE，EF。∵AD＝DB，BE＝EC，∴DE∥AC（三角形中位线定理）
同理EF∥AB.四边形ADEF是平行四边形.∴AE，DF互相平分。
题组训练
1.C 2.D 3.D
4.证明:延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF.
∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF，DE＝EF，∴△ADE≌△CFE.
∴AD＝CF，∠ADE＝∠F.∴BD∥CF.∵AD＝BD，∴BD＝CF，
∴四边形BCFD是平行四边形.∴DF∥BC，DF＝BC.∴DE∥BC，DE＝BC。
巩固练习
1.C 2.A 3.C 4.720 5. 1 6. 11
7.解:（1）∵∠BAC＝100°，且AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝50°.
（2）在等腰△ABC中，∠B＝（180°－100°）÷2＝40°.
（3）∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线。∴D是BC中点.又∵E是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝4.
8. 1
9.解:∵AB＝BC＝3DE＝6，∴BC＝9，DE＝2.∵AD⊥BC，G是AB的中点，∴DG＝AB＝3.又∵E，F，G分别是BC，AC，AB的中点，∴FG＝BC＝4.5，EF＝AB＝3.∴四边形DEFG的周长为2＋3＋4.5＋3＝12.5.
10.解:△AGD是直角三角形
证明如下:
如图，连接BD，取BD的中点H，连接HF，HE.
∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF＝AB，∴∠1＝∠3.
同理HE∥CD，HE＝CD.∴∠2＝∠EFC.
∵AB＝CD，∴HF＝HE.∴∠1＝∠2.
∵∠EFC＝60°，∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，∴△AGF为等边三角形。
∵AF＝FD，∴GF＝FD。∴∠FGD＝∠FDG＝30°。∴∠AGD＝90°。
即△AGD是直角三角形。
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