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北师版数学八年级上册
7.2.2
定理与证明导学案
课题
7.2.2
定理与证明
单元
第七单元
学科
数学
年级
八
学习目标
1.理解公理、证明、定理的概念。2.掌握公理、证明、定理的联系与区别。3.通过对公理的认识,明确证明需要公理和定理。4.经历实际情境,初步体会公理化的思想和方法。
重点
理解公理、证明和定理的概念.
难点
准确找出命题的条件和结论,公理与定理的区别,写出步步有理有据的证明过程.
教学过程
课前预学
【复习回顾】1.什么叫定义。2.什么叫命题。【思考】下列命题的条件是什么?结论是什么?(1)如果两个角相等，那么它们是对顶角.(2)同位角相等,两条直线平行.(3)全等三角形的面积相等.在上述命题中,哪些正确?哪些不正确?你的理由是什么?什么叫做真命题,什么叫做假命题?
新知讲解
通过刚刚的复习，我们回顾了真命题与假命题的概念，要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可；但要判断一个命题是真命题，该怎么办呢?【自学成才】阅读教材P168~P169内容，回答下列问题:(1)什么叫公理？公理的意义是什么?(2)定理的概念是什么？它和公理有什么区别和联系?【总结归纳】(1)公理:人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据.这样公认为正确的命题叫做公理.例如:“两点之间线段最短”,“三边分别相等的两个三角形全等”,“过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”……(2)定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据.本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条，它们是：
（1）两点确定一条直线.
（2）两点之间线段最短.
（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两
条直线平行
(简述为：同位角相等，两直线平行).
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.（8）三边分别相等的两个三角形全等.此八条基本事实前面已详细探索过，不必验证它们的正确性，可以直接用来证实其他命题的正确性，另外一条我们将在以后认识它。此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.
例如，如果a=b，b=c,
那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.又如，如果a>b，b>c，
那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据.
定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系：
(1)联系：这四者都是命题．
(2)区别：定义、基本事实、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因此不能作为进一步判断其他命题真假的依据.
根据以上基本事实，我们可以证明已经探索过的结论.请用学过的公理或定理说明下面这些命题的正确性.(1)同角(等角)的补角相等.(2)同角(等角)的余角相等.(3)三角形的任意两边之和大于第三边.为了使我们的解答更为规范和有条理,请同学们根据此题总结一下证明一个命题的一般步骤._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________已知：如图,直线AB与直线CD相交于点O,
∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC=∠BOD.
课堂练习
1.
下列叙述错误的是( )A．所有的命题都有条件和结论
B．所有的命题都是定理C．所有的定理都是命题
D．所有的公理都是真命题2.有下列命题：①真命题都是定理；②定理都是真命题；③假命题不是命题；④公理都是命题．其中真命题有( )A．2个
B．3个
C．4个
D．1个3.下列说法错误的是( )A．命题是判断一件事情的句子
B．基本事实的正确性必须得到证明C．证明假命题举一个反例即可
D．演绎推理的过程叫做证明4.如图所示,已知∠AOC与∠BOD都是直角,∠BOC=65°.
(1)求∠AOD的度数;(2)求证∠AOB=∠DOC;(3)若不知道∠BOC的具体度数,其他条件不变,(2)的关系仍成立吗?若成立,说明理由.5.【中考?吉林】曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A，B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是( ) A．两点之间，线段最短B．平行于同一条直线的两条直线平行C．垂线段最短D．两点确定一条直线6.【中考?深圳】下面命题正确的是（ ）A.矩形对角线互相垂直
B.方程x2=14x的解为x=14C.六边形内角和为540°
D.一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等答案：B
2.A
3.B解:(1)因为∠DOC=∠DOB-∠BOC=90°-65°=25°,所以∠AOD=∠AOC+∠DOC=90°+25°=115°. (2)证明:因为∠DOC=25°,∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-65°=25°,所以∠AOB=∠DOC. (3)解:成立.因为∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-∠BOC,∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-∠BOC,所以∠AOB=∠COD.AD
课堂小结
本节课你学到了什么?1.对于公理:①公理是不需要推理证实的真命题,②公理可以作为判断其他命题真假的根据.2.对于定理:①定理都是真命题,但真命题不一定都是定理;②定理可以作为推证其他命题的依据.3.假命题的判断:判断一个命题是假命题,只要举出反例来说明即可.
板书
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精品试卷·第
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（共
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页）
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北师版
初中数学
7.2
定义与命题
第2课时
定义与证明
新知导入
【复习回顾】
定义:
对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。
命题:
判断一件事情的句子，叫做命题。
新知导入
【思考】下列命题的条件是什么?结论是什么?
(1)如果两个角相等，那么它们是对顶角.
(2)同位角相等,两条直线平行.
(3)全等三角形的面积相等.
在上述命题中,哪些正确?哪些不正确?你的理由是什么?
什么叫做真命题,什么叫做假命题?
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.
新知讲解
通过刚刚的复习，我们回顾了真命题与假命题的概念，要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可；
但要判断一个命题是真命题，该怎么办呢?
用以前学习的观察、实验、验证特例等方法。
这些方法不可靠.
新知讲解
通过刚刚的复习，我们回顾了真命题与假命题的概念，要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可；
但要判断一个命题是真命题，该怎么办呢?
是否可以根据已经知道的真命题证实呢?
已经知道的真命题又该如何证实呢?
新知讲解
【自学成才】
阅读教材P168~P169内容，回答下列问题:
(1)什么叫公理？公理的意义是什么?
(2)定理的概念是什么？它和公理有什么区别和联系?
新知讲解
(1)公理:人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据.这样公认为正确的命题叫做公理.
例如:“两点之间线段最短”,“三边分别相等的两个三角形全等”,
“过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”……
【总结归纳】
(2)定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.
定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据.
新知讲解
本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们
已经认识了其中的八条，它们是：
（1）两点确定一条直线.
（2）两点之间线段最短.
（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两
条直线平行
(简述为：同位角相等，两直线平行).
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
新知讲解
本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们
已经认识了其中的八条，它们是：
（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
（8）三边分别相等的两个三角形全等.
此八条基本事实前面已详细探索过，不必验证它们的正确性，可以直接用来证实其他命题的正确性，另外一条我们将在以后认识它。
新知讲解
此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.
例如，如果a=b，b=c,
那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.又如，如果a>b，b>c，
那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据.
新知讲解
定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系：
(1)联系：这四者都是命题．
(2)区别：定义、基本事实、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实是最原始的依据；而命题不
一定是真命题，因此不能作为进一步判断其他命题真假的依据.
新知讲解
根据以上基本事实，我们可以证明已经探索过的结论.
请用学过的公理或定理说明下面这些命题的正确性.
(1)同角(等角)的补角相等.
(2)同角(等角)的余角相等.
(3)三角形的任意两边之和大于第三边.
新知讲解
(1)已知∠1=∠2,∠3是∠1的补角,∠4是∠2的补角,求证∠3=∠4.
证明:
∵∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°(已知),
∴∠3=180°-∠1,∠4=180°-∠2(等式的性质).
又∠1=∠2(已知),∴∠3=∠4(等量代换).
同理可证同角的补角相等.
(2)证明过程与(1)类似.
(3)任取三角形的两个顶点,根据公理“两点之间线段最短”可知命题正确.
新知讲解
为了使我们的解答更为规范和有条理,请同学们根据此题总结一下证明一个命题的一般步骤.
证明一个命题的一般步骤:
1.已知:写出命题的条件(必要时结合图形).
2.求证:写出命题的结论.
3.证明:写出演绎推理的过程.
新知讲解
已知：如图,直线AB与直线CD相交于点O,
∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC=∠BOD.
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O,
∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义).
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义).
∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等).
由上面的例题，我们可以得到定理：
对顶角相等.
课堂练习
1.
下列叙述错误的是( )
A．所有的命题都有条件和结论
B．所有的命题都是定理
C．所有的定理都是命题
D．所有的公理都是真命题
B
课堂练习
2.有下列命题：
①真命题都是定理；
②定理都是真命题；
③假命题不是命题；
④公理都是命题．
其中真命题有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．1个
A
课堂练习
3.下列说法错误的是( )
A．命题是判断一件事情的句子
B．基本事实的正确性必须得到证明
C．证明假命题举一个反例即可
D．演绎推理的过程叫做证明
B
拓展提高
4.如图所示,已知∠AOC与∠BOD都是直角,∠BOC=65°.
(1)求∠AOD的度数;
(2)求证∠AOB=∠DOC;
(3)若不知道∠BOC的具体度数,其他条件不变,(2)的关系仍成立吗?若成立,说明理由.
拓展提高
解:(1)因为∠DOC=∠DOB-∠BOC=90°-65°=25°,所以∠AOD=∠AOC+∠DOC=90°+25°=115°.
(2)证明:因为∠DOC=25°,∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-65°=25°,
所以∠AOB=∠DOC.
(3)解:成立.因为∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-∠BOC,
∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-∠BOC,所以∠AOB=∠COD.
中考链接
5.【中考?吉林】曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A，B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是( )
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
A
中考链接
6.【中考?深圳】下面命题正确的是（ ）
A.矩形的对角线互相垂直
B.方程x2=14x的解为x=14
C.六边形内角和为540°
D.一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
D
课堂总结
这节课你学到了什么？
1.对于公理:①公理是不需要推理证实的真命题,②公理可以作为判断其他命题真假的根据.
2.对于定理:①定理都是真命题,但真命题不一定都是定理;②定理可以作为推证其他命题的依据.
3.假命题的判断:判断一个命题是假命题,只要举出反例来说明即可.
板书设计
课题：7.2.2
定理与证明
?
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教师板演区
?
学生展示区
一、公理、证明和定理
二、证明的基本依据
三、定理的证明
作业布置
课本
P171
习题7.3
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