沪教版（上海）数学七年级第二学期12.2 平方根和开平方 教案（2课时）
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| 名称 | 沪教版（上海）数学七年级第二学期12.2 平方根和开平方 教案（2课时） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 120.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-17 11:38:28 | ||
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教案（首页）
课次
课时
2
执行日期
班级
周次
课型
新课
日期
课
题
12.2平方根和开平方
教学目的
1．理解平方根产生的背景和平方根的概念及其符号表示；
2．知道正平方根与平方根的区别，理解正数的两平方根之间的关系及实数范围内负数没有平方根；
3．会根据平方根、开平方的意义和运算性质求完全平方数的平方根.
教
学
要
求
知识点
重点
难点
教学目标
识记
理解
应用
分析
综合
开平方
√
√
平方根
√
√
教学方法设计
现代教育技术应用
电脑、多媒体、课件
实验器材使用说明
作业内容
1、练习册12.2
2、预习新课
教
学
后
记
备注
上海市新陆中学
12.2平方根和开平方（1）
教学目标
1．理解平方根产生的背景和平方根的概念及其符号表示；
2．知道正平方根与平方根的区别，理解正数的两平方根之间的关系及实数范围内负数没有平方根；
3．会根据平方根、开平方的意义和运算性质求完全平方数的平方根.
教学重点及难点
理解开平方和平方运算的互逆关系，运用平方根的运算性质求完全平方数的平方根.
教学流程设计
教学过程设计
一、
问题导入
1．小丽家有一张方桌，桌面是面积为64平方分米的正方形，这个正方形桌面的边长是多少？
2．解答：设正方形桌面的边长为x分米，则可得：x2=64，因为x>0，所以x=8.
3．思考：上述问题可以归结为“已知一个数的平方,求这个数”.在解决问题时，我们联想到了哪一种运算？
二、学习新课
1、概念辨析：
（1）已知一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，即x2=a，我们把x叫做a的平方根，a叫做被开方数.
（2）求一个数a的平方根的运算叫做开平方运算.
【强调】
平方运算和开平方运算互为逆运算.
2．例题分析：
求下列各数的平方根，并根据你的解答过程总结：正数、0、负数的平方根有什么不同？
（1）
0.16;
（2）
-;
（3）
0.
解：因为（±0.4）2=0.16，所以0.16的平方根是±0.4.
因为不存在一个实数的平方根为-，所以-无平方根.
因为02=0，所以0的平方根为0.
3．性质归纳：
（1）因为任何一个实数的平方都是非负的，所以负数没有平方根；
（2）因为任何一对非零相反数的平方都是同一个正数，因此正数a有2个不同的平方根，记作“±”，它们互为相反数，其中“”表示正的平方根（也可以称算术平方根），读作“根号a”.
（3）．因为0的平方等于0，所以0的平方根就是0，即：±=0.
【说明】“”是一个数学符号，其意义是：非负数a的算术平方根，同时它也表示一个数，这个数的平方等于a，即（）2=a.
三．问题拓展
思考1：由以下计算你能否发现并总结某些规律？
（1）的意义是什么？
=？
（2）的意义是什么？
=？
（3）的意义是什么？
=？
（4）的意义是什么？
=？
（5）
计算：=______
=______
=_______
=______
=_______
=______.
2．规律总结：
（1）．表示a2的正平方根，因为a2≥0，所以=∣a|∣.
（2）．表示数a的正平方根的平方，根据平方根的意义，这里的a≥0，且=a；
表示数a的负平方根的平方，根据平方根的意义，必有a≥0，且=a；
综上所述，（±）2=a.
四、巩固练习
1．下列等式是否正确？不正确的请说明理由并加以改正.
（1）=-7;
（2）=2;
（3）-=5;
（4）=±9
2．求下列各数的正的平方根：
（1）
225；
（2）0.0001；
（3）
.
3．若2m-5与4m-9是同一个数的平方根，求m的值.
【说明】
练习3对“同一个数的平方根”需要进行分类讨论：一种情况是2m-5与4m-9是一个数的两个相反的平方根；另一种情况是2m-5与4m-9是一个数的同一个平方根.
五、课堂小结
1．平方根的意义是什么？平方根的性质是什么？
2．开平方运算与平方运算有怎样的关系？
3、求完全平方数的平方根时要把被开方数做怎样的变形？
六、作业布置
1
.
课本和练习册上的练习
2
.
复习所学的知识
3
.
预习新课
教学设计说明
1．对学生而言，开平方运算和平方根不易理解的最大原因是：它不同于其它任何一种已经学过的数学运算.
到目前为止，学生学过的五种运算都有唯一的运算法则和运算结果，对不同的数不需要讨论运用不同的运算方法；但求一个数的平方根时，首先要根据已知数的正负性选择不同的运算性质，而且每种数有不同的运算结果：正数的平方根有两个，且互为相反数，而0的平方根只有一个：0；负数没有平方根.因此在教学时，应该让学生充分理解平方运算和开平方运算的互逆关系，根据平方运算结果的非负性自然地理解并接受平方根的意义和运算性质.建议这里的教学可以多花一点时间，多举一些实例进行说明.
2．在生活中，开平方运算不如其他运算运用广泛，对学生而言比较抽象而陌生，因此，体验开平方运算的实际意义和背景就非常必要了.
本节课设计用与课本类似的实际问题引入新课，意在于此.但在课后学生出现的最大问题是：求正数的平方根时往往漏掉负的一个，本人认为与课堂引入问题的结果只保留了正的一个有部分关系.因此，建议在课堂引入时，可以采用纯数学问题：“如果一个数的平方等于64，这个数是多少？”
3．在平方根概念中隐含了分类讨论数学思想，在教学中应该加以渗透，从而培养思维的严密性，在课堂练习时也可以适当补充类似的问题，加深对概念的理解.
4．要理解公式“=∣a∣”
和“（±）2=a”超出了学生的思维发展水平，因此我在教学时的处理方式是：
（1）用大量的具体数字的运算结果推出结论并加深印象，这是设问题拓展的原因，意在通过一正一负两种问题的反复比较，让学生产生≥0的印象，然后归纳出“=∣a∣”.
（2）通过对“的意义和计算结果”的讨论，达到对“无意义”的理解，从而总结出“（±）2=a”成立的前提条件是：“a≥0”.
对部分理解能力相对较弱的学生，笔者认为可以放低要求，对含字母的运算不作要求.
12.2平方根和开平方（2）
教学目标
1、经历是无限不循环小数的探索过程，了解无限逼近思想；
2、会用计算器求一个正数的正平方根，并按指定精确度取近似值；
3、会根据一个正数的正平方根求它的负平方根.
教学重点
1．会用计算器对任意正数进行开方运算，并按指定精确度取其近似值；.
2．理解“逐步逼近数学思想”基本原理，对“极限”思想有初步认识.
教学难点
尝试用逐步逼近法探索的近似值.
教学流程设计
教学过程设计
一、
复习引入
1．问题：的意义是什么？根据其意义，你能否猜测有多大？
2．探索：的意义是“面积为2的正方形的边长”；比较面积分别为1、2和4的三个正方形的大小可知：因为面积1<2<4，所以边长1<<2，即的整数部分为1.
3．规律总结：当
c>a>b>0时，.
二、学习新课
1、请用计算器计算：1.12=________，1.22=________，1.32=________，1.42=________，1.52=________；
2、思考：
（1）观察计算结果，你有什么发现？
小结：由以上计算结果可知：1.42<2<1.52，根据上述规律可得：1.4<<1.5，所以的十分位为4.
（2）：如何求的百分位？
方法讨论：用计算器计算：1.412=________，1.422=________.
因为1.412<2<1.422，所以1.41<<1.42，得的百分位为1.
3．巩固性问题：
（1）
请求出的千分位.
（2）
-有多大？（精确到千分位）
4．例题分析：
用计算器求下列各数的平方根的近似值（保留三位小数）
（1）8
（2）2
解：（1）≈±2.828.
（2）
≈±1.563.
三、巩固练习
1、用计算器求值（近似值保留四位小数）
（1）
（2）
3、求下列各数的整数部分，你可以用几种方法？
(1)
(2)
(3)
【说明】
求的整数部分一般有两种方法：
（1）
找到与被开方数a最接近且比它大的一个完全平方数n2，那么一定有“n
2>a≥（n-1）2”，从而“n>a≥n-1”，可以确定的整数部分为n-1；
（2）
用计算器求出其近似值，然后取整数部分，需要注意的是：此时取整数部分不要四舍五入，把小数部分全部舍去.
四．问题拓展
1．思考：满足x2<2006的整数x有多少个？
2．阅读理解题：用逐次逼近法求平方根的计算步骤是：
（1）．任意取x1>0，作为的第一个估计值；
（2）由x1出发，计算x2=，作为的第二个估计值；
（3）分别由x2、x3、x4、…出发，重复步骤（2），求出x3、x4、x5、…作为的第三个、第四个、第五个、…的估计值；
由此得到x2、x3、x4、…将一个比一个更接近的不同精确度的近似值.
请用逐次逼近法，求的近似值.（保留4个有效数字）
五、课堂小结
1．“逐步逼近法”的基本原理.
2．求一个正数的正平方根的整数部分其本质就是用“逐步逼近法”求算术平方根的近似值，只是结果保留整数.
3．用计算器求平方根的近似值不同于“逐步逼近法”，最后结果要用“四舍五入”法保留要求的精确度.
4．根据正平方根的近似值取其相反数可以得到一个正数的两个平方根.
六、作业布置
1
.
课本和练习册上的练习
2
.
复习所学的知识
3
.
预习新课
教学设计说明
1．无理数是学生刚刚开始接触、与有理数完全不同的另一类数，其表示方法也是全新的，部分学生对“”还没有真正的理解，只处于模仿的阶段；而“逐步逼近法”又是一个比较抽象、难以理解的数学思想方法，二个难点碰到一起，本节课处理不好，学生一节课的学习不但不会有太大的收获，同时还可能造成对数学的恐惧和厌恶.
为避免学生在学习过程中感到“难、烦”，可以把课堂教学各个环节设计地尽可能明晰，每个环节的任务明确，结论单一，同时，环节宜少不宜多.
在这种思路引领下，笔者设计了本节课，实施教学时，目标基本达到.
2．为了更加清楚地说明“”的大小，笔者认为，利用其意义“面积等于2的正方形的边长”来引入既起到了复习的作用，同时，在上节课基础上利用拼正方形、比较三个正方形的面积，把面积的大小比较转化为边长的大小比较，渗透了“转化”的数学思想方法，而在动手操作中由可以更加直观地发现“逐步逼近法”的原理，为进一步探究问题打下基础.
3．在问题探究时，笔者设计利用几个子问题（先求整数部分、再求十分位、最后求百分位，而巩固性问题中继续求千分位）搭起台阶，学生对使用计算器是很有热情的，因此请他们用计算器计算，然后把计算结果与2进行大小比较，可以提高他们的参与热情和学习兴趣.而几个子问题具有相同的解决方法，在这样不断重复的过程中，逐步逼近法的本质就被发现并掌握了.
4．部分学生的理解和学习能力较强，为了这部分学生能够有更多的收获，同时加强对逐步逼近法的理解，我设计了拓展性问题，引进“逐次逼近法”.这两种方法都体现了“极限思想”.
1
课次
课时
2
执行日期
班级
周次
课型
新课
日期
课
题
12.2平方根和开平方
教学目的
1．理解平方根产生的背景和平方根的概念及其符号表示；
2．知道正平方根与平方根的区别，理解正数的两平方根之间的关系及实数范围内负数没有平方根；
3．会根据平方根、开平方的意义和运算性质求完全平方数的平方根.
教
学
要
求
知识点
重点
难点
教学目标
识记
理解
应用
分析
综合
开平方
√
√
平方根
√
√
教学方法设计
现代教育技术应用
电脑、多媒体、课件
实验器材使用说明
作业内容
1、练习册12.2
2、预习新课
教
学
后
记
备注
上海市新陆中学
12.2平方根和开平方（1）
教学目标
1．理解平方根产生的背景和平方根的概念及其符号表示；
2．知道正平方根与平方根的区别，理解正数的两平方根之间的关系及实数范围内负数没有平方根；
3．会根据平方根、开平方的意义和运算性质求完全平方数的平方根.
教学重点及难点
理解开平方和平方运算的互逆关系，运用平方根的运算性质求完全平方数的平方根.
教学流程设计
教学过程设计
一、
问题导入
1．小丽家有一张方桌，桌面是面积为64平方分米的正方形，这个正方形桌面的边长是多少？
2．解答：设正方形桌面的边长为x分米，则可得：x2=64，因为x>0，所以x=8.
3．思考：上述问题可以归结为“已知一个数的平方,求这个数”.在解决问题时，我们联想到了哪一种运算？
二、学习新课
1、概念辨析：
（1）已知一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，即x2=a，我们把x叫做a的平方根，a叫做被开方数.
（2）求一个数a的平方根的运算叫做开平方运算.
【强调】
平方运算和开平方运算互为逆运算.
2．例题分析：
求下列各数的平方根，并根据你的解答过程总结：正数、0、负数的平方根有什么不同？
（1）
0.16;
（2）
-;
（3）
0.
解：因为（±0.4）2=0.16，所以0.16的平方根是±0.4.
因为不存在一个实数的平方根为-，所以-无平方根.
因为02=0，所以0的平方根为0.
3．性质归纳：
（1）因为任何一个实数的平方都是非负的，所以负数没有平方根；
（2）因为任何一对非零相反数的平方都是同一个正数，因此正数a有2个不同的平方根，记作“±”，它们互为相反数，其中“”表示正的平方根（也可以称算术平方根），读作“根号a”.
（3）．因为0的平方等于0，所以0的平方根就是0，即：±=0.
【说明】“”是一个数学符号，其意义是：非负数a的算术平方根，同时它也表示一个数，这个数的平方等于a，即（）2=a.
三．问题拓展
思考1：由以下计算你能否发现并总结某些规律？
（1）的意义是什么？
=？
（2）的意义是什么？
=？
（3）的意义是什么？
=？
（4）的意义是什么？
=？
（5）
计算：=______
=______
=_______
=______
=_______
=______.
2．规律总结：
（1）．表示a2的正平方根，因为a2≥0，所以=∣a|∣.
（2）．表示数a的正平方根的平方，根据平方根的意义，这里的a≥0，且=a；
表示数a的负平方根的平方，根据平方根的意义，必有a≥0，且=a；
综上所述，（±）2=a.
四、巩固练习
1．下列等式是否正确？不正确的请说明理由并加以改正.
（1）=-7;
（2）=2;
（3）-=5;
（4）=±9
2．求下列各数的正的平方根：
（1）
225；
（2）0.0001；
（3）
.
3．若2m-5与4m-9是同一个数的平方根，求m的值.
【说明】
练习3对“同一个数的平方根”需要进行分类讨论：一种情况是2m-5与4m-9是一个数的两个相反的平方根；另一种情况是2m-5与4m-9是一个数的同一个平方根.
五、课堂小结
1．平方根的意义是什么？平方根的性质是什么？
2．开平方运算与平方运算有怎样的关系？
3、求完全平方数的平方根时要把被开方数做怎样的变形？
六、作业布置
1
.
课本和练习册上的练习
2
.
复习所学的知识
3
.
预习新课
教学设计说明
1．对学生而言，开平方运算和平方根不易理解的最大原因是：它不同于其它任何一种已经学过的数学运算.
到目前为止，学生学过的五种运算都有唯一的运算法则和运算结果，对不同的数不需要讨论运用不同的运算方法；但求一个数的平方根时，首先要根据已知数的正负性选择不同的运算性质，而且每种数有不同的运算结果：正数的平方根有两个，且互为相反数，而0的平方根只有一个：0；负数没有平方根.因此在教学时，应该让学生充分理解平方运算和开平方运算的互逆关系，根据平方运算结果的非负性自然地理解并接受平方根的意义和运算性质.建议这里的教学可以多花一点时间，多举一些实例进行说明.
2．在生活中，开平方运算不如其他运算运用广泛，对学生而言比较抽象而陌生，因此，体验开平方运算的实际意义和背景就非常必要了.
本节课设计用与课本类似的实际问题引入新课，意在于此.但在课后学生出现的最大问题是：求正数的平方根时往往漏掉负的一个，本人认为与课堂引入问题的结果只保留了正的一个有部分关系.因此，建议在课堂引入时，可以采用纯数学问题：“如果一个数的平方等于64，这个数是多少？”
3．在平方根概念中隐含了分类讨论数学思想，在教学中应该加以渗透，从而培养思维的严密性，在课堂练习时也可以适当补充类似的问题，加深对概念的理解.
4．要理解公式“=∣a∣”
和“（±）2=a”超出了学生的思维发展水平，因此我在教学时的处理方式是：
（1）用大量的具体数字的运算结果推出结论并加深印象，这是设问题拓展的原因，意在通过一正一负两种问题的反复比较，让学生产生≥0的印象，然后归纳出“=∣a∣”.
（2）通过对“的意义和计算结果”的讨论，达到对“无意义”的理解，从而总结出“（±）2=a”成立的前提条件是：“a≥0”.
对部分理解能力相对较弱的学生，笔者认为可以放低要求，对含字母的运算不作要求.
12.2平方根和开平方（2）
教学目标
1、经历是无限不循环小数的探索过程，了解无限逼近思想；
2、会用计算器求一个正数的正平方根，并按指定精确度取近似值；
3、会根据一个正数的正平方根求它的负平方根.
教学重点
1．会用计算器对任意正数进行开方运算，并按指定精确度取其近似值；.
2．理解“逐步逼近数学思想”基本原理，对“极限”思想有初步认识.
教学难点
尝试用逐步逼近法探索的近似值.
教学流程设计
教学过程设计
一、
复习引入
1．问题：的意义是什么？根据其意义，你能否猜测有多大？
2．探索：的意义是“面积为2的正方形的边长”；比较面积分别为1、2和4的三个正方形的大小可知：因为面积1<2<4，所以边长1<<2，即的整数部分为1.
3．规律总结：当
c>a>b>0时，.
二、学习新课
1、请用计算器计算：1.12=________，1.22=________，1.32=________，1.42=________，1.52=________；
2、思考：
（1）观察计算结果，你有什么发现？
小结：由以上计算结果可知：1.42<2<1.52，根据上述规律可得：1.4<<1.5，所以的十分位为4.
（2）：如何求的百分位？
方法讨论：用计算器计算：1.412=________，1.422=________.
因为1.412<2<1.422，所以1.41<<1.42，得的百分位为1.
3．巩固性问题：
（1）
请求出的千分位.
（2）
-有多大？（精确到千分位）
4．例题分析：
用计算器求下列各数的平方根的近似值（保留三位小数）
（1）8
（2）2
解：（1）≈±2.828.
（2）
≈±1.563.
三、巩固练习
1、用计算器求值（近似值保留四位小数）
（1）
（2）
3、求下列各数的整数部分，你可以用几种方法？
(1)
(2)
(3)
【说明】
求的整数部分一般有两种方法：
（1）
找到与被开方数a最接近且比它大的一个完全平方数n2，那么一定有“n
2>a≥（n-1）2”，从而“n>a≥n-1”，可以确定的整数部分为n-1；
（2）
用计算器求出其近似值，然后取整数部分，需要注意的是：此时取整数部分不要四舍五入，把小数部分全部舍去.
四．问题拓展
1．思考：满足x2<2006的整数x有多少个？
2．阅读理解题：用逐次逼近法求平方根的计算步骤是：
（1）．任意取x1>0，作为的第一个估计值；
（2）由x1出发，计算x2=，作为的第二个估计值；
（3）分别由x2、x3、x4、…出发，重复步骤（2），求出x3、x4、x5、…作为的第三个、第四个、第五个、…的估计值；
由此得到x2、x3、x4、…将一个比一个更接近的不同精确度的近似值.
请用逐次逼近法，求的近似值.（保留4个有效数字）
五、课堂小结
1．“逐步逼近法”的基本原理.
2．求一个正数的正平方根的整数部分其本质就是用“逐步逼近法”求算术平方根的近似值，只是结果保留整数.
3．用计算器求平方根的近似值不同于“逐步逼近法”，最后结果要用“四舍五入”法保留要求的精确度.
4．根据正平方根的近似值取其相反数可以得到一个正数的两个平方根.
六、作业布置
1
.
课本和练习册上的练习
2
.
复习所学的知识
3
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预习新课
教学设计说明
1．无理数是学生刚刚开始接触、与有理数完全不同的另一类数，其表示方法也是全新的，部分学生对“”还没有真正的理解，只处于模仿的阶段；而“逐步逼近法”又是一个比较抽象、难以理解的数学思想方法，二个难点碰到一起，本节课处理不好，学生一节课的学习不但不会有太大的收获，同时还可能造成对数学的恐惧和厌恶.
为避免学生在学习过程中感到“难、烦”，可以把课堂教学各个环节设计地尽可能明晰，每个环节的任务明确，结论单一，同时，环节宜少不宜多.
在这种思路引领下，笔者设计了本节课，实施教学时，目标基本达到.
2．为了更加清楚地说明“”的大小，笔者认为，利用其意义“面积等于2的正方形的边长”来引入既起到了复习的作用，同时，在上节课基础上利用拼正方形、比较三个正方形的面积，把面积的大小比较转化为边长的大小比较，渗透了“转化”的数学思想方法，而在动手操作中由可以更加直观地发现“逐步逼近法”的原理，为进一步探究问题打下基础.
3．在问题探究时，笔者设计利用几个子问题（先求整数部分、再求十分位、最后求百分位，而巩固性问题中继续求千分位）搭起台阶，学生对使用计算器是很有热情的，因此请他们用计算器计算，然后把计算结果与2进行大小比较，可以提高他们的参与热情和学习兴趣.而几个子问题具有相同的解决方法，在这样不断重复的过程中，逐步逼近法的本质就被发现并掌握了.
4．部分学生的理解和学习能力较强，为了这部分学生能够有更多的收获，同时加强对逐步逼近法的理解，我设计了拓展性问题，引进“逐次逼近法”.这两种方法都体现了“极限思想”.
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