人教版数学九年级下册26.1.2 反比例函数的图象与性质——比例系数k的意义研究课教案

反比例函数的图象与性质——比例系数k的意义
教学目标：
理解和掌握反比例函数中比例系数k的代数意义和几何意义
灵活运用图象与性质解决综合问题
经历探索过程发展分析归纳和概括能力
教学重点：
反比例函数中比例系数k的几何意义的探究与运用
教学难点：
结合函数图象分析问题解决问题，k的几何意义的灵活运用
教学过程：
复习回顾
反比例函数的定义：形如的函数，
常用的等价形式：，即反比例函数图象上的点的横坐标纵坐标的乘积为常数k.
反比例函数的图象是双曲线，它的两支在每一个象限内的增减性取决于k的正负性.
引入新课
长/cm
1
2
3
4
5
宽/cm
2
1
下表是
10
个面积相等的矩形的长与宽，请补齐表格．
设∠A
为这
10
个矩形的公共角．画出这
10
个矩形，然后取∠A
的
10
个对角的顶点，并把这
10
个点用平滑的曲线顺次连接起来．
分析：从表中数据看出，长方形的面积为
5×2=10，这10个长方形的面积相等均为10.
从图象看出以这10个长方形的长宽为横纵坐标所得到的点可以连成了双曲线.
矩形的长
y
是宽
x
的反比例函数，即.
学习新知
（1）与反比例相关的矩形面积
在反比例函数的图象上任意取点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、B，所得到的矩形OAPB的面积是多少？
分析：由点在反比例函数的图象上可知.
当在第一象限时，
.
当在第三象限时，
.
归纳1：反比例函数中比例系数k的几何意义一
在反比例函数的图象上任意取点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、B，所得到的矩形OAPB（为了便于表达，称为原点矩形）的面积为
练习：
1.
如图1，点P在反比例函数的图象上，过P点作PA⊥x轴于A点，作PB⊥y轴于B点，则矩形OAPB的面积为　　　.
如图1
如图2
如图3
2.如图2，点P在反比例函数的图象上，过P点作PA⊥x轴于A点，作PB⊥y轴于B点，矩形OAPB的面积为9，则该反比例函数的解析式为　　
　.
3.如图3，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=____________.
练习1是结论的直接应用，由k得出原点矩形的面积；练习2由原点矩形面积反推k，双曲线位于二四象限，需小心k取负数；练习3是综合运用，所有原点矩形面积均为4，从而=3.
参考答案：9，，6.
（2）与反比例相关的三角形面积
在反比例函数的图象上任意取点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、B，连接OP，所得到的直接三角形OAP，直角三角形OBP（为了便于表达，称为原点直角三角形）的面积是多少？
分析：将所求原点直角三角形的面积转化为已学的原点矩形的面积.
归纳2：
反比例函数中比例系数k的几何意义二
在反比例函数的图象上任意取点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、B，所得到的直角三角形的面积为
练习：
1．如图1，P是反比例函数的图象上一点，轴于点A．的面积为
．
图1
图2
反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴于点N，如果△MON
的面积S△MON＝2，则k的值为
．
分析：练习1是结论的直接应用，由k得出原点直角三角形的面积为；练习2由原点直角三角形的面积反推k，即，双曲线位于二四象限，需小心k取负数，.
四、运用新知
1．如图,
如果函数与y=的图象交于A、B两点,
过点A作AC垂直于y轴,
垂足为点C,
则△BOC的面积为
.
分析：根据本课所学可知，但计算△BOC的面积时无结论可用，需类比前面的方法，即利用反比例函数中.
联立两个函数解得
2.
如图,函数与的图象交于A、B两点，过A、B点分别作x轴和y轴作垂线垂足为D、E，两线相交于C点.则=
.
分析：根据本课所学可知，但计算矩形ODCE的面积时无结论可用，需类比前面的方法，即利用反比例函数中.
联立两个函数求解可知互为相反数.
则
从而可得.
3.
挑战练习
如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y=和y=的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N.
计算：（1）阴影部分面积，（2）.
参考解答：
（1），
（2）=.
2