冀教版七年级数学上册知识讲义-1.数轴（含答案）

初中数学
数轴
课标定位
一、考点突破
1.
了解数轴的概念和数轴的画法；
2.
知道如何在数轴上表示有理数，能说出数轴上表示有理数的点所表示的数，知道任何一个有理数在数轴上都有唯一的点与之对应；
3.
能利用数轴比较有理数的大小。
二、重难点提示
重点：数轴的画法和用数轴上的点表示数的方法。
难点：从直观认识到理性认识，建立数轴概念，培养数形结合的思想。
考点精讲
1.
数轴的几何意义
数轴是一种特定的几何图形，原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，这三者缺一不可。
2.
数轴的画法
第一步：画直线（一般画成水平的）、定原点，标出原点“O”；
第二步：取原点向右方向为正方向，并标出箭头；
第三步：选适当的长度作为单位长度，并标出……－3，－2，－1，1，2，3，……各点。
【注意】
标注数字时，负数的次序不能写错。
3.
有理数和数轴上的点的对应关系
（1）任意一个有理数都可以在数轴上找到一个点与之对应。
（2）从原点出发，朝正方向的射线（正半轴）上的点对应正数，相反方向的射线（负半轴）上的点对应负数，原点对应零。
4.
有理数的大小比较
（1）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
【随堂练习】
下列语句说法正确的有（
）
A.
数轴上的点只能表示整数；
B.
数轴是一条射线；
C.
数轴上的一个点只能表示一个数；
D.
数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点。
思路分析：结合数轴上的点与有理数的特点进行判断。
答案：数轴上的点可以表示任意数，可见A是错误的；数轴是一条直线，所以B是错误的；C是正确的；D既不表示正数，又不表示负数的点是原点，所以D错误；故选C。
典例精析
例题1
下列所画数轴正确的个数有（　　）?
A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个
思路分析：根据数轴的特点进行解答即可．
答案：①没有正方向，故①错误；
②没有原点，故②错误；
③单位长度不统一，故③错误；
④不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故④错误；
⑤符合数轴的特点，故⑤正确，
⑥数轴是直线，不是射线，故⑥错误。故选B。
技巧点拨：本题考查的是数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解答此题的关键。
例题2
利用数轴，从数轴上观察大于-4而小于4的整数是（　　）
A.
-1，-2，-3，1，2，3
B.
-1，-2，-3，0，1，2
C.
-1，1，-2，2，0，3
D.
-3，-2，-1，0，1，2，3
思路分析：在数轴上表示出-4与4，满足条件的点就是在这两个点之间的整数点。
答案：
根据数轴可以得到满足条件的整数有：-3，-2，-1，0，1，2，3共7个数。故选D。
技巧点拨：此题综合考查了数轴的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点。
例题3
把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序用“＜”号把数连接起来。
3.5，－3，，5.4，0，－2。
思路分析：首先正确画出数轴，描出各点，然后根据数轴上右边的数总比左边的数大比较数的大小。
答案：分别用A，B，C，D，E，F表示对应的各个数。则－3＜－2＜0＜＜3.5＜5.4。
技巧点拨：由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想。注意：数轴上右边的数总比左边的数大。因此，借助数轴来求解非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点。
提分宝典
【易错指津】
分类讨论法解决数轴问题
【满分训练】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm，若在这个数轴上随意划出一条长2009cm的线段AB，则线段AB盖住的整点有（　　）
A．2009个B．2010个C．2010个或2009个D．2008个或2009个
思路分析：某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2009厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数可能正好是2010个，也可能不是2010个，而是有两个半数，那就是2009个。
答案：依题意进行分类得：①当线段AB起点在整点时覆盖2010个数，
②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2009个数，故选C。
【综合拓展】
应用数形结合思想解决应用题
【满分训练】一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了4千米到达小明家，继续走了1.5千米到达小红家，又向西走了10千米到达小刚家，最后回到百货大楼。
（1）以百货大楼为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请你在数轴上表示出小明、小红、小刚家的位置；
（2）小明家与小刚家相距多远？
（3）若货车每千米耗油0.05升，那么这辆货车共耗油多少升？
思路分析：先根据已知，以百货大楼为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，画出数轴。再根据题意确定小明、小红、小刚家的位置和货车行驶的总路程，货车从出发到结束行程共耗油量＝货车行驶每千米耗油量×货车行驶所走的总路程。
答案：（1）如图所示：A、B、C分别表示小明、小红、小刚家；
（2）小明家与小刚家相距：4＋4.5＝8.5（千米）；
（3）这辆货车共耗油：（4＋1.5＋10＋4.5）×0.05＝1（升）。
答：小明家与小刚家相距8.5千米，这辆货车共耗油1升。
技巧点拨：本题是一道典型的有理数的应用题，同学们一定要掌握将应用问题转化为数学问题的能力，数轴正是表示这一问题的最好工具。
同步练习
（答题时间：15分钟）
1.
在数轴上，原点及原点右边的点表示的数是（
）
A.
正数
B.
负数
C.
非正数
D.
非负数
2.
在同一数轴上表示数－0.5，0.2，－2，＋2，其中表示0.2的点的左边的点有（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
3.
下列四个数中，最小的数是（
）
A.
2
B.
－2
C.
0
D.
－
4.
如图，点O、A、B在数轴上，分别表示数0、1.5、4.5，数轴上另有一点C，到点A的距离为1，到点B的距离小于3，则点C位于（
）
A.
点O的左边
B.
点O与点A之间
C.
点A与点B之间
D.
点B的右边
5.
在数轴上表示－5的点到原点的距离是__________。
6.
如图，A、B两点在数轴上，点A对应的数为2，若线段AB的长为3，则点B对应的数为__________。
7.
（1）如图，在数轴上点A表示的数是__________，点B表示的数是__________，点C表示的数是__________；
（2）在所给的数轴上画出表示下列三个数的点：3，－1.5，－。
8.
把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：2，－0.5，1，－2。
9.
小明骑车从家出发，先向东骑行2km到达A村，继续向东骑行3km到达B村，然后向西骑行9km到达C村，最后回到家。
（1）以家为原点，以向东方向为正方向，用1cm表示1km，画出数轴，并在数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置。
（2）C村离A村有多远？
（3）小明一共行了多少km？
答案
1.
D
解析：在数轴上原点左边表示的数为负数，原点右边表示的数为正数，原点表示数0。
2.
B
解析：－0.5和－2在0.2的左边，＋2在0.2的右边。
3.
B
解析：因为正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，所以可排除选项A和C，再利用数轴比较－2和－的大小。
4.
C
解析：因为点C到点A的距离为1，所以C点表示的数为0.5或2.5，又因为点C到点B的距离小于3，所以点C表示的数为2.5，即点C位于点A和点B之间。故选C。
5.
5
解析：在数轴上表示－5的点到原点的距离是5个单位长度。
6.
－1
解析：因为AB的长度为3，点A到原点的距离为2，所以点B到原点的距离为1，且点B在原点左侧，所以点B对应的数为－1。
7.
解：（1）－3，0，2；
（2）如图所示：
8.
解：如图所示：
根据数轴的特点可知：－2＜－0.5＜1＜2。
9.
解：（1）如图所示：
（2）C村离A村为：2＋4＝6（km）。答：C村离A村有6km。（3）小明一共走了：2＋3＋9＋4＝18（km）。答：小明一共行了18km。