人教版八年级数学上册知识讲义-11.多边形的有关概念（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册知识讲义-11.多边形的有关概念（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 109.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-17 19:25:25 | ||
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文档简介
初中数学
多边形的有关概念
精讲精练
【考点精讲】
1.
多边形的定义
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
注意：（1）理解多边形的定义要从以下两方面考虑：一是“在同一平面内”；二是“一些线段首尾顺次相接”；两者缺一不可。
（2）多边形通常以边数来命名，具有n条边的多边形叫n边形。三角形、四边形都属于多边形。
2.
多边形的内角、外角、对角线的概念
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
注意：从n边形的一个顶点可以引出（n－3）条对角线，过n个顶点有条对角线，但每条对角线都计算了两遍，所以n边形共有条对角线。
3.
正多边形的概念
各边相等各角也相等的多边形称为正多边形。
注意：正多边形必须同时满足两个条件：一是“各边相等”、二是“各角也相等”，两者缺一不可。例如，各角都相等的四边形是矩形；各边相等的四边形是菱形。只有各角相等，各边也相等的四边形是正方形（正四边形）。
【典例精析】
例题1
在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条?
简单扼要地写出你的思考过程。
思路导航：对角线是由不相邻的两个顶点相连接而构成的，因此应从顶点入手。可先探求从一个顶点出发可以画出多少条对角线，当归纳出对角线的条数与多边形顶点的个数之间的关系后，就可以解决本题了。
凸n边形每个顶点不能和它自己以及与它相邻的两个顶点作对角线，所以可作对角线的条数是（n－3）条，凸n边形有n个顶点，所以可作n（n－3）条。由于每条对角线有两个端点，也就是每条对角线被计算了两次，所以凸n边形共有条对角线。当n=8时，有条对角线。
注：本例也可以通过以下表格分析得到：
多边形
4
5
6
7
8
对角线（条）
2
2+3
2+3+4
2+3+4+5
2+3+4+5+6
答案：凸八边形的对角线应该是20条。
点评：本题主要对同学们探究问题的过程进行考查，可以通过类比多边形的内角和的探究方法来进行，所以我们在平时的学习中，不仅要牢记某些结论，还要多体验探究这些结论的方法，并能灵活运用。
例题2
一个n边形共有2n条对角线，求这个多边形的边数。
思路导航：根据多边形的对角线条数的计算公式结合题意可列方程求得n的值。
答案：根据题意，得。
因为，所以两边同时约去n，得，解得n=7
所以这个多边形的边数为7。
点评：本题是一道利用多边形的边数与多边形对角线的条数之间的关系求其边数的问题，解本题的关键是牢记对角线条数的公式，利用对角线条数的公式列出方程，再解方程。
例题3
如图，凸六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB＝2cm，BC=8cm，CD＝11cm，DE＝6cm，你能求出这个六边形的周长吗？
思路导航：要求六边形的周长，必须先求出边EF和AF的长。由六边形ABCDEF的六个角都是120°，可知六边形的每一个外角的度数都是60°，如图，如果延长BA，得到的∠PAF=60°，延长EF，得到的∠PFA=60°，两条直线相交形成三角形APF。在三角形APF中，∠P的度数为180°－60°－60°＝60°，因此三角形APF是等边三角形。同样的道理，我们分别延长AB、DC，交于点G，那么三角形BGC为等边三角形。分别延长FE、CD交于点H，则三角形DHE也是等边三角形。所以∠P=∠G=∠H=60°。所以三角形GHP也是等边三角形。于是我们得到三角形APF、BGC、DHE、GHP为四个等边三角形。于是就把多边形的问题转化为和等边三角形有关的问题。利用等边三角形的三边相等的性质，可以轻松的求出AF和EF的长，从而求出六边形ABCDEF的周长。
答案：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P。
因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°。
所以三角形APF、BGC、DHE、GHP都是等边三角形。所以GC=BC=8cm，DH=DE＝6cm。
所以GH=8＋11＋6＝25cm，FA=PA=PG－AB－BG=25－2－8＝15cm，EF=PH－PF－EH=25－15－6＝4cm。
所以六边形的周长为2＋8+11+6+4+15＝46cm。
点评：本题解题的关键是利用多边形和三角形的关系，通过添加辅助线，构造出等边三角形，从而利用转化的思想，把多边形问题转化为和三角形有关的问题，进而利用三角形的性质、定理来解答多边形的问题。
【总结提升】
方程思想是我们学习数学的重要思想方法之一。用方程思想求解数学问题时，应从题中的已知量与未知量的关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程，再通过解方程，使问题得到解决。方程思想应用非常广泛，我们不但能用方程思想解决代数问题，而且还能够解决有关的几何问题。
同步练习
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1.
下列多边形中，正多边形有（
）个
①等腰直角三角形②等边三角形③菱形④长方形⑤正方形⑥等腰梯形⑦五边形
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
2.
若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是（
）
A.
十三边形
B.
十二边形
C.
十一边形
D.
十边形
3.
若一个多边形共有十四条对角线，则它是（
）
A.
六边形
B.
七边形
C.
八边形
D.
九边形
4.
下列说法正确的是（
）
A.
由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
B.
多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角
C.
各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形
D.
连接多边形两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
三、解答题
5.
画出图中的六边形ABCDEF的所有对角线。
答案
1.
A
解析：正多边形有2个。分别是②等边三角形⑤正方形。
2.
A
解析：因为从n边形的每一个顶点可以引出（n－3）条对角线，所以n－3=10，得n=13。
3.
B
解析：假设n边形共有十四条对角线，那么，可以看出n=7。
4.
C
解析：A选项中由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，缺少在同一平面上这一条件，如此叙述，也可以形成立体图形；B选项中多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角，还有一个多边形的内角的对顶角，它既不是多边形的内角也不是多边形的外角；C选项中各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形是正确的；D选项中连接多边形两个顶点的线段，叫做多边形的对角线不正确，也可能是多边形的边。
5.
画对角线如下图，共有9条。
多边形的有关概念
精讲精练
【考点精讲】
1.
多边形的定义
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
注意：（1）理解多边形的定义要从以下两方面考虑：一是“在同一平面内”；二是“一些线段首尾顺次相接”；两者缺一不可。
（2）多边形通常以边数来命名，具有n条边的多边形叫n边形。三角形、四边形都属于多边形。
2.
多边形的内角、外角、对角线的概念
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
注意：从n边形的一个顶点可以引出（n－3）条对角线，过n个顶点有条对角线，但每条对角线都计算了两遍，所以n边形共有条对角线。
3.
正多边形的概念
各边相等各角也相等的多边形称为正多边形。
注意：正多边形必须同时满足两个条件：一是“各边相等”、二是“各角也相等”，两者缺一不可。例如，各角都相等的四边形是矩形；各边相等的四边形是菱形。只有各角相等，各边也相等的四边形是正方形（正四边形）。
【典例精析】
例题1
在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条?
简单扼要地写出你的思考过程。
思路导航：对角线是由不相邻的两个顶点相连接而构成的，因此应从顶点入手。可先探求从一个顶点出发可以画出多少条对角线，当归纳出对角线的条数与多边形顶点的个数之间的关系后，就可以解决本题了。
凸n边形每个顶点不能和它自己以及与它相邻的两个顶点作对角线，所以可作对角线的条数是（n－3）条，凸n边形有n个顶点，所以可作n（n－3）条。由于每条对角线有两个端点，也就是每条对角线被计算了两次，所以凸n边形共有条对角线。当n=8时，有条对角线。
注：本例也可以通过以下表格分析得到：
多边形
4
5
6
7
8
对角线（条）
2
2+3
2+3+4
2+3+4+5
2+3+4+5+6
答案：凸八边形的对角线应该是20条。
点评：本题主要对同学们探究问题的过程进行考查，可以通过类比多边形的内角和的探究方法来进行，所以我们在平时的学习中，不仅要牢记某些结论，还要多体验探究这些结论的方法，并能灵活运用。
例题2
一个n边形共有2n条对角线，求这个多边形的边数。
思路导航：根据多边形的对角线条数的计算公式结合题意可列方程求得n的值。
答案：根据题意，得。
因为，所以两边同时约去n，得，解得n=7
所以这个多边形的边数为7。
点评：本题是一道利用多边形的边数与多边形对角线的条数之间的关系求其边数的问题，解本题的关键是牢记对角线条数的公式，利用对角线条数的公式列出方程，再解方程。
例题3
如图，凸六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB＝2cm，BC=8cm，CD＝11cm，DE＝6cm，你能求出这个六边形的周长吗？
思路导航：要求六边形的周长，必须先求出边EF和AF的长。由六边形ABCDEF的六个角都是120°，可知六边形的每一个外角的度数都是60°，如图，如果延长BA，得到的∠PAF=60°，延长EF，得到的∠PFA=60°，两条直线相交形成三角形APF。在三角形APF中，∠P的度数为180°－60°－60°＝60°，因此三角形APF是等边三角形。同样的道理，我们分别延长AB、DC，交于点G，那么三角形BGC为等边三角形。分别延长FE、CD交于点H，则三角形DHE也是等边三角形。所以∠P=∠G=∠H=60°。所以三角形GHP也是等边三角形。于是我们得到三角形APF、BGC、DHE、GHP为四个等边三角形。于是就把多边形的问题转化为和等边三角形有关的问题。利用等边三角形的三边相等的性质，可以轻松的求出AF和EF的长，从而求出六边形ABCDEF的周长。
答案：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P。
因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°。
所以三角形APF、BGC、DHE、GHP都是等边三角形。所以GC=BC=8cm，DH=DE＝6cm。
所以GH=8＋11＋6＝25cm，FA=PA=PG－AB－BG=25－2－8＝15cm，EF=PH－PF－EH=25－15－6＝4cm。
所以六边形的周长为2＋8+11+6+4+15＝46cm。
点评：本题解题的关键是利用多边形和三角形的关系，通过添加辅助线，构造出等边三角形，从而利用转化的思想，把多边形问题转化为和三角形有关的问题，进而利用三角形的性质、定理来解答多边形的问题。
【总结提升】
方程思想是我们学习数学的重要思想方法之一。用方程思想求解数学问题时，应从题中的已知量与未知量的关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程，再通过解方程，使问题得到解决。方程思想应用非常广泛，我们不但能用方程思想解决代数问题，而且还能够解决有关的几何问题。
同步练习
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1.
下列多边形中，正多边形有（
）个
①等腰直角三角形②等边三角形③菱形④长方形⑤正方形⑥等腰梯形⑦五边形
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
2.
若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是（
）
A.
十三边形
B.
十二边形
C.
十一边形
D.
十边形
3.
若一个多边形共有十四条对角线，则它是（
）
A.
六边形
B.
七边形
C.
八边形
D.
九边形
4.
下列说法正确的是（
）
A.
由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
B.
多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角
C.
各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形
D.
连接多边形两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
三、解答题
5.
画出图中的六边形ABCDEF的所有对角线。
答案
1.
A
解析：正多边形有2个。分别是②等边三角形⑤正方形。
2.
A
解析：因为从n边形的每一个顶点可以引出（n－3）条对角线，所以n－3=10，得n=13。
3.
B
解析：假设n边形共有十四条对角线，那么，可以看出n=7。
4.
C
解析：A选项中由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，缺少在同一平面上这一条件，如此叙述，也可以形成立体图形；B选项中多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角，还有一个多边形的内角的对顶角，它既不是多边形的内角也不是多边形的外角；C选项中各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形是正确的；D选项中连接多边形两个顶点的线段，叫做多边形的对角线不正确，也可能是多边形的边。
5.
画对角线如下图，共有9条。