人教版九年级数学上册：24.3正多边形和圆（第二课时）课后练习（word版，含答案）

人教版九年级数学上册
第二十四章
圆
24.3正多边形和圆（第二课时）课后练习
一、单选题
1．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，…，重复上述过程，经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的（
）
A．倍
B．倍
C．倍
D．倍
2．如图，以正六边形的对角线为边，向右作等边三角形，若四边形的面积为4，则五边形的面积为（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
3．正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，则这个多边形的内角和为（
）
A．
B．
C．
D．
4．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他制了如图2所示的图形，图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边和一个小正六边形，若所在的直线经过点，
，小正六边形的面积为，则该圆的半径为（
）.
A．
B．
C．7
D．8
5．同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是(
)
A．
B．
C．
D．
6．如图，正八边形各边中点构成四边形，则正八边形边长与AB的比是(　　)
A．2﹣
B．
C．
D．
7．如图，已知正方形ABCD的边长为3，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将DE绕点D按逆时针旋转90°，得到DF，连接AF，则AF的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，中，是内部的一个动点，且满足,则线段长的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……连续经过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是（　　）
A．0.5
B．0.7
C．﹣1
D．﹣1
10．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，E是上一点，将沿BC翻折后E点的对称点F落在OA中点处，则BC的长为（　　）
A．
B．2
C．
D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
11．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，AE与CD交于点F，连接BF，DE，下列结论中：①AF=BC；②∠DEB=45°；③AE=CE+2BD；④若∠CAE=30°，
则=1．正确的有__________．（填序号）
12．教学实践课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，提出了一个问题：“若将三个正方形硬纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其完全盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应该是多大？”
同学们经过讨论，觉得实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能完全盖住时的最小直径，讨论过程中探索出三种不同的摆放类型，如图1，图2，图3所示．
（1）图1对应的圆形硬纸板的最小直径为______；
（2）可求出图2、图3对应的圆形硬纸板的最小直径都为，但这三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，则老师提出的问题的正确答案是______．
13．同圆的内接正n边形与外切正n边形边长之比是______________.
14．如图，边长为2的正方形ABCD中，点是其内部一点，且满足∠DAE+∠CBE=135°，点F为边BC上一点，点M是CD边的中点，连接EF、FM，则EF+FM的最小值为______________．
15．如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是________．
三、解答题
16．如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，．
（1）求证：是的平分线；
（2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．
17．如图，⊙O的半径为，其内接正六边形，点同时分别从两点出发，以的速度沿向终点运动，连接．设运动时间为．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）填空：
①当________时，四边形为菱形；
②当_________时，四边形为矩形．
18．如图，为⊙的直径，为⊙的弦，为⊙的的切线，．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）点是优弧上一动点
①连接、、，当
时，四边形为菱形；
②连接、，当，时，则的周长最大值为
．
19．已知，是⊙O的直径，弦垂直平分，垂足为，连接．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，点分别为上一点，并且，连接，交点为G，R为上一点，连接与交于点H，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，，求⊙O半径．
20．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BC上一点，连接DE，点F在边CD上，且AF⊥CD交DE于点G，连接CG．已知∠DEC＝45°，GC⊥BC．
（1）若∠DCG＝30°，CD＝4，求AC的长．
（2）求证：AD＝CG+DG．
21．综合与实践：在学习了《7.4实践与探索》之后，小亮买了若干块完全相同的长方形拼图（图1），第一次他用2块图1的长方形拼出了图2所示的正方形，第二次他又用4块图1的长方形拼出了图3所示的正方形（中间留有一个正方形小洞，即阴影区域），经过测量，他发现图3的大正方形的边长为．
（1）请你帮小亮求出图1中长方形的长和宽；
（2）请你参照图3，用图1的长方形拼出一个面积为的正方形（中间留有一个正方形小洞），请画出你拼出的大正方形（要求画出两个）．
22．如图，在中，，，点在延长线上，点在上，且，延长交于点，连接、．
（1）求证：；
（2）若，则__________．
23．如图1，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）如图2，点E、F分别在AB、BC上，连接EF，M是EF的中点，过M作EF的垂线交BD于P．求证：AE+CF＝PD；
（3）如图3，在（2）条件下，连AF，若AE＝CF，∠DAF＝2∠AFE＝2α，AF＝13，BC＝12，（BC＞AB）．求BD的长．
【参考答案】
1．C
2．C
3．A
4．D
5．A
6．A
7．A
8．C
9．D
10．D
11．①②④．
12．
13．cos.
14．
15．1
16．(1)∵△ABC为等边三角形,BC=AC，
∴,都为圆，
∴∠AOC=∠BOC=120°，
∴∠ADC=∠BDC=60°，
∴DC是∠ADB的角平分线．
(2)是．
如图，延长DA至点E，使得AE=DB．
连接EC，则∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC．
∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC，
∴△EAC≌△DBC(SAS)，
∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°，
故△EDC是等边三角形，
∵DC=x，∴根据等边三角形的特殊性可知DC边上的高为
∴．
(3)依次作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2,根据对称性
C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2．
∴D1、M、N、D共线时△DMN取最小值t,此时t=D1D2,
由对称有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA,
∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°．
∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°，
在等腰△D1CD2中,作CH⊥D1D2，
则在Rt△D1CH中，根据30°特殊直角三角形的比例可得D1H=，
同理D2H=
∴t=D1D2=．
∴x取最大值时,t取最大值．
即D与O、C共线时t取最大值,x=4．
所有t值中的最大值为．
17．（1）∵正六边形内接于的半径为4，
，
∵点同时分别从两点出发，以的速度沿向终点运动，．
在和中，
同理可证．
∴四边形是平行四边形．
（2）①2；②0或4
，
①由对称性可知，当，时，四边形是菱形，此时．
②当时，点在点处，
，，此时四边形是矩形．
当时，点在点处，同理可得，此时四边形是矩形．综上所述，当或时，四边形是矩形．
18.（1）证明：连结OC，
在圆O中，OA＝OC，
∴∠BOC＝2∠1＝∠APC，∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠APC+∠AOC＝180°，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°
，
又∵四边形内角和为360°，
∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC，
又∵OC为⊙O的半径，
∴PC为⊙O的切线；
（2）①如图：
∵四边形BCOD为菱形，
∴BC=OC，
又∵OC=OB，
∴OC=OB=BC，
∴∠BOC=60°，
∴∠1=∠BOC=30°，
故答案为：30°；
②当△ACD的周长取得最大值，则AD+CD应取最大值，将CD绕点D顺时针旋转120°得到DC'，
∵∠ADC=60°，
∴点A、D、C'三点共线，
∴∠AC'C=30°，AD+CD=AD+DC'=AC'，
又∵点D在优弧ABC上，
∴点C'在以优弧ABC中点E为圆心的圆上．且点A、C也在⊙E上，
∴当点D与点E重合时AC'最长，此时△ACD为等边三角形，周长为，
故答案为：．
19．（1）证明：
连接
∵垂直平分，
又
是等边三角形
∵
,
（2）证明：
∵垂直平分，
∴,AB⊥CD，
∴∠ABC=∠ABD，BC=BD，
∵是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠DBC=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC，∠CBM=∠BDN，
∵
∴，
∴∠BCM=∠DBN，
∵∠DBN+∠CBN=60°，
∴∠BCM+∠CBN=60°，
∵∠BGM是△BGC的一个外角，
∴，
设，
∵，
∴，
，
∵∠DHM是△DHC的一个外角，
∴，
∴．
（3）如图：连接AC，作CP⊥BN，DQ⊥CM，翻折DH到DT；
①在中：
，，
勾股定理得，
②∵BC=CD，∠DCM=∠CBP，∠CPB=∠CQD=90°，
，
得，
翻折得，
∵，
∴∠DHT=∠DCM+∠CDR=60°-∠BCM+
=60°+，
∴，
∵∠CDT=∠CDR+∠HDT
∴∠CDR+2（90°-∠DHT）=∠CDR+2（30°-∠BCM）=60°+，
∴∠DHT=∠CDT=∠T，
得
③设，
在中，
，
，
得，
由（1）得∠ACF=30°，∠A=60°，
∴AC=
，
∵
,
∴AC=，
即半径为；
20．（1）解：延长CG交AD于N，连接NF，AC交DE于H，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵GC⊥BC，∠DEC＝45°，
∴∠DGN＝∠CGE＝45°，GC⊥AD，
∴∠GND＝90°，
∴∠NDG＝45°，
∵AF⊥CD，
∴∠GFD＝90°＝∠GND，
∴N、G、F、D四点共圆，
∴∠NFG＝∠NDG＝45°，
又∵∠ANC＝∠AFC＝90°，
∴A、N、F、C四点共圆，
∴∠ACN＝∠NFG＝45°，
∴△ACN是等腰直角三角形，
∴AC＝CN＝2；
（2）证明：由（1）得：△ADH、△CGH是等腰直角三角形，
∴AD＝HD＝（HG+DG）＝HG+DG＝CG+DG．
21．解：（1）设图1中长方形的长为，宽为，
根据题意，有
解这个方程组，得
答：图1中长方形的长为，宽为．
（2）答案不唯一，例如答图1，答图2．
22．（1）∵，
∴∠CBF=,
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴BE=BF；
（2）∵BE=BF，∠CBF=90°，
∴∠BFE=∠BEF=45°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BEA=∠BFC，
∵∠BEA+∠BAE=90°，
∴∠BFC+∠BAE=90°，
∴∠AGF=90°，
∵∠AEB+∠BEG=180°，
∴∠BEG+∠BFG=180°，
∵∠AGF+∠FBC=180°，
∴B、E、G、F四点共圆，
∵BE=BF，
∴∠BGF=∠BEF=45°，
∵∠GBF=60°，
∴∠GFB=180°-∠GBF-∠BGF=75°，
故答案为：75°.
23．解：（1）如图1，作DG⊥BC于G，DH⊥BA于H．
则∠DHA＝∠DGC＝90°．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BAD+∠DAH＝180°，
∴∠DAH＝∠DCG，
在△DAH和△DCG中：
，
∴△DAH≌△DCG（AAS），
∴DH＝DG，
∴BD平分∠ABC．
（2）如图2，连接PE、PF，
∵M为EF中点且PM⊥EF，
∴PE＝PF，
∵∠EBP＝∠FBP，
∴P、E、B、F四点共圆，
∴∠PEB+∠PFB＝∠EBF+∠EPF＝180°，
∴∠EBF＝90°，
∴∠EPF＝90°，
在FC上截取FN＝BE，连接PN．
∴∠PFN+∠PFB＝180°，
∴∠PFN＝∠PEB，
在△PEB和△PFN中：
，
∴△PEB≌△PFN（SAS），
∴PB＝PN，∠EPB＝∠FPN
∴∠BPN＝∠BPF+∠FPN＝∠BPF+∠EPB＝∠EPF＝90°，
∴△BPN是等腰直角三角形，
∴BN＝BP，
∵BN＝BF+FN＝BF+BE，
∴BE+BF＝BP，
同理可证BA+BC＝BD，
∴AE+BE+BF+FC＝(BP+PD)＝BP+PD，
∴AE+CF＝PD．
（3）如图3，作△QCF≌△FEA，连接AQ、AC．
则∠EAF＝∠CFQ，AF＝FQ，∠FQC＝∠AFE＝α，
∵∠EAF+∠AFB＝90°，
∴∠CFQ+∠AFB＝90°，
∴∠AFQ＝90°，
∴△AFQ是等腰直角三角形，
∴AQ＝AF＝13，∠FAQ＝∠FQA＝45°，
∵AD＝DC，∠ADC＝90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠DAC+∠FAQ＝∠DAF+∠QAC＝90°，
∴∠QAC＝90°﹣∠DAC＝90°﹣2α，
∵∠AQC＝∠AQF+∠FQC＝45°+α，
∴∠ACQ＝180°﹣∠QAC﹣∠AQC＝45°+α，
∴AC＝AQ＝13，
∵BC＝12，
∴AB＝5，
由（2）可知AB+BC＝BD，
∴BD＝(AB+BC)＝17．