苏科版八年级数学上册知识讲义-1.2 三角形全等的性质与判定（含答案）

初中数学
三角形全等的性质与判定
精讲精练
【考点精讲】
一、全等形及全等三角形
1.
两个能够完全重合的图形是全等形；
2.
全等形的形状、大小都相同。
二、全等三角形的性质
1.
全等三角形的对应边相等，对应角相等；
2.
全等三角形对应边上的高，中线，角平分线相等。
三、三角形全等的判定方法
1.
一般的三角形全等的判定方法有4种，分别是SAS、SSS、AAS、ASA；
2.
直角三角形全等的判定还有一个特殊的方法是：HL。
（注：判断三角形全等，无论用哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中至少要有一组对应边相等。三角形具有稳定性或用尺规作图所利用的原理都是：SSS）
【典例精析】
例题1
如图，四点共线，，，，。求证：△ACF≌△BDE。
思路导航：从结论△ACF≌△BDE入手，题目所给全等条件只有AC=BD；由AE=BF，两边同时减去EF得到AF=BE，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CF=DE，也可以是∠A=∠B。
由条件，可得，再加上，，可以证明△ACE≌△BDF，从而得到，进而可证明△ACF≌△BDE。
答案：，
在与中
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL）
，即
在与中
△ACF≌△BDE（SAS）
点评：本题实际上运用的是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析题目，得出解题思路。
例题2
如图，已知AE交BC于点D，∠1=∠2=∠3，
AB=AD。求证：DC=BE。
思路导航：要证DC=BE，先观察DC与BE分别在哪两个可能全等的三角形中，根据所给条件选择方法。由图易得DC与BE分别在△ADC和△ABE中，所以只需证明出△ABE≌△ADC即可。发掘条件，有∠2
=∠1，AB=AD，而∠E
=∠C利用等量代换也很容易证出，从而△ABE≌△ADC得证，即可得到DC=BE。
答案：证明：∵∠ADB=∠1+∠C，∠ADB=∠3+∠E，∠1=∠3，
∴∠C=∠E。
在△ABE和△ADC中，
∵∠E
=∠C，∠2
=∠1，AB
=AD，
∴
△ABE≌△ADC（AAS）。
∴DC=BE。
点评：碰到题目中有若干个看似全等的三角形，并且求证线段相等的题目，往往首先思考用全等的方法证明，找出所需要的对应边、对应角的条件。条件不足时，思考判定全等的其它几种方法，并根据题目条件发掘新的条件，然后进行证明。
例题3
在△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD－BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。
思路导航：这类问题每一问所用的思路基本相同，第（1）题中已经知道了∠ADC＝∠ACB＝90o，AC＝BC，然后可以利用同角的余角相等证出∠1＝∠3（见下图），即可得出△ADC≌△CEB，进而得出CE＝AD，CD＝BE，再由等量代换可得DE＝CE＋CD＝AD＋BE。第（2）题同（1）题一样，也是先由已知条件证出△ACD≌△CBE，
再由等量代换可得出DE＝CE－CD＝AD－BE。第（3）题由前两题的提示可以想到，DE＝CD－CE＝BE－AD。
答案：如图所示：
（1）证明：①∵∠ADC＝∠ACB＝90o，
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2＝90o，
∴∠1＝∠3。
又∵AC＝BC，∠ADC＝∠CEB＝90o，
∴△ADC≌△CEB。
②∵△ADC≌△CEB，
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CE＋CD＝AD＋BE。
（2）证明：∵∠ACB＝∠CEB＝90o，
∴∠1＋∠2＝∠CBE＋∠2＝90o，
∴∠1＝∠CBE。
又∵AC＝BC，∠ADC＝∠CEB＝90o，
∴△ACD≌△CBE，
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CE－CD＝AD－BE。
（3）当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE＝BE－AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）。
证明如下：
∵∠ACB＝∠CEB＝90o，
∴∠ACD＋∠BCE＝∠CBE＋∠BCE＝90o，
∴∠ACD＝∠CBE，
又∵AC＝BC，∠ADC＝∠CEB＝90o，
∴△ACD≌△CBE，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CD－CE＝BE－AD。
点评：解答第（3）小问要从第（1）、（2）小问找出规律，充分利用全等三角形中的对应边相等做文章，本题总体来说不是很难，但是要得满分很困难。解题时要把条件写清楚，不要漏掉，最后一问要通过图像认真看清楚DE、AD、BE三个量的关系，并搞清楚大小关系。
【总结提升】
一、三角形全等的运用
1.
性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等，而全等的判定刚好相反。
2.
利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点、角、边的顺序写一致，为找对应边，对应角提供方便。
3.
当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。
二、解题技巧
一般来说，考试中线段相等或角相等需要通过三角形全等来证明，因此解题时我们可以采取逆向思维的方式。想要证全等，则需要什么条件，要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等，然后运用所得的结论和判定定理（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好则很容易出现看漏的现象。
同步练习
（答题时间：20分钟）
一、选择题
1.
能使两个直角三角形全等的条件是（
）
A.
两直角边对应相等
B.
一锐角对应相等
C.
两锐角对应相等
D.
斜边相等
2.
根据下列条件，能画出唯一的是（
）
A.
，，
B.
，，
C.
，，
D.
，
3.
如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（
）
A.
△ACE≌△BCD
B.
△BGC≌△AFC
C.
△DCG≌△ECF
D.
△ADB≌△CEA
4.
如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（
）
A.
AB＝AC
B.
BD＝CD
C.
∠B＝∠C
D.
∠BDA＝∠CDA
二、填空题
5.
如图，已知AB=DC，AD=BC，Ｅ，Ｆ是BD上的两点，且BE=DF，若∠AEB=100°，∠ADB=30°，则∠BCF=____________。
6.
将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的大小为_________。
7.
如图，点D，E，F，B在同一条直线上，AB∥CD，AE∥CF，且AE=CF，若BD=10，BF=2，则EF=___________。
三、解答题
8.
如图，△ABC为等边三角形，点M，N分别在BC，AC上，且BM=CN，AM与BN交于Q点。求∠AQN的度数。
9.
如图，，，为上一点，，，交延长线于点。求证：。
答案
1.
A
解析：在A中，对应边是两条直角边，则可用SAS证明全等。其它选项都不能证明。
2.
C
解析：C选项可用AAS证明全等。A选项构不成三角形，因为三角形两边之和要大于第三边，B、D选项无法证出全等，故无法保证只画出唯一一个三角形。
3.
D
解析：由等边三角形条件得出∠ACB=∠DCE=60°。根据等式性质得出∠ACB+∠ACD
=∠DCE+∠ACD，即：∠ACE=∠BCD，再加上AC=BC，CD=CE两个条件，可根据SAS得出A选项，△ACE≌△BCD是对的。由A选项可知∠DBC=ECA，由∠ACB+∠ACD+∠DCE=180°，∠ACB=∠DCE=60°可得∠ACB=∠ACD=60°，再加上BC=AC，由ASA得B选项△BGC≌△AFC也是对的。由A选项结论可推出∠CDG=∠CEF，由B的证明过程知道∠ACD=∠DCE=60°，再加上DC=CE，根据ASA可得C选项△DCG≌△ECF
也是对的，而D选项无法证明出全等。
4.
B
解析：A选项可由SAS证出全等，C选项是AAS，D选项是ASA，只有B选项是错误的。故选B。
5.
70°
解析：由AB=DC，AD=BC，BD=DB，可得△ABD≌△CDB，可得∠FBC=∠EDA，由BE=DF得，BD－DF=BD－BE，即：BF=ED，再加上AD=BC，根据三角形全等判定定理SAS可证出△ADE≌△CBF，可得出∠BCF=∠DAE，由三角形的外角定理得出，∠DAE=∠AEB－∠ADB=100°－30°=70°。
6.
90°
解析：“看见翻折想到翻折前后全等”，本题翻折条件其实已经明确给出：△ABC≌△A’BC，△BED≌△BE’D，所以，∠ABC=∠A’BC，∠DBE=∠DBE’，又因为∠ABC+∠A’BC+∠DBE+∠DBE’=180°，所以∠A’BC+∠DBE’=×180°=90°。
7.
6
解析：由AB∥CD，AE∥CF可知，∠B=∠D，∠AEB=∠CFD，再加上条件AE=CF，由AAS可证出△AEB≌△CFD，可推出BE=DF，所以BD－BE=BD－DF，即DE=BF=2，所以EF=BD－DE－BF=10－2－2=6。
8.
解：为等边三角形
，
在△ABM与△BCN中
∴△ABM≌△BCN（SAS）
。
9.
证明：，
在与中
∴△ACE≌△CBF（AAS）
。