沪教版（上海）初中数学八年级第一学期 19.2 证明举例 两条直线互相垂直的证明 教案

19.2（4）证明举例
——两条直线互相垂直的证明
1、
内容和内容解析
《证明举例——两条直线互相垂直的证明》是沪教版八年级第一学期第十九章第二节第四课时的内容，本节是以学过的平行线判定与性质、全等三角形判定与性质、等腰三角形判定与性质等知识运用为载体，着重学习基本的逻辑术语、演绎推理的思考方法以及证明的步骤、格式与规范。这之前，学生已经积累了一定的几何说理的能力，本节是论证几何的初步，通过本节课教学，获取证明两条直线互相垂直的方法，这是继续学习直角三角形的判定和性质、直角三角形的锐角三角比的重要基础，起着承上启下的作用。
2、
目标与目标解析
本节课主要学习两条直线的互相垂直的证明。
1.
会利用等腰三角形“三线合一”的性质、垂直的定义证明两条直线垂直；
2.
初步学会演绎推理的方法和规范表达，体会理性思维的精神，发展逻辑思维能力.
3、
教学问题诊断分析
1、
学生运用等腰三角形“三线合一”的性质证明两条直线互相垂直，对于性质学生已有基础，但在具体问题中，学生对于问题的分析缺少经验，如：在等腰的前提下，还需要什么样的条件能证明两直线垂直；或若要证明垂直，已具备中线或角平分线的条件，需要增加什么条件？或已具备平分的条件，若要证明垂直，缺少等腰三角形，需要添加辅助线构造等腰三角形，这些都是本节课的增长点。
2、
在题目中没有等腰三角形的条件或不能构造等腰三角形，那么要证明两条直线互相垂直，可以试图证明两条直线的夹角为90°，而在证明两直线夹角为90°时，往往需要把夹角放在三角形中，运用三角形内角和或外角，证明夹角等于一个直角，亦或把夹角放在一个三角形中，证明两个锐角互余，总之，是通过解决三角形的问题来解决，这同样是本节课的增长点。
在教学过程中，教师要引导学生总结归纳解题的方法。
4、
学生的行为分析
为了学生达到学习目标，掌握两种证明两条直线互相垂直的方法，具体问题设计如下：
1、
已学生填空的形式，回顾运用等腰三角形“三线合一”的性质证明两条直线互相垂直的条件：等腰+“一线”（顶角的平分线或底边上的高）。
2、
在对例题7的解决之后，对题型进行变式训练，通过动点，对图形或部分条件进行变化，让学生感悟变中不变的是AD是角平分线不变，为证明AD⊥BC，只需证明AB=AC.而在变化过程中全等三角形不变，从而得到等腰。
3、
在练习1的设计，对教材的练习进行了改编，已知CD被OM平分，为证明OM⊥CD，缺少等腰三角形形，只需通过添置辅助线，构造等腰三角形，从而解决问题。
4、
在例题八的处理上，学生很容易通过对已知条件的分析，学生很容易能到两个全等的三角形，为了证明BF⊥AD，不能用等腰三角形“三线合一”性质解决。那么这个时候试图用垂直定义来解决，既只需证明两条直线的夹角为90°，从而解决问题。
五、教学支持条件分析
PPT、几何画板、学生工作单
六、教学环节设计
【环节一】复习提问
导入语言：同一平面内，两条直线的位置关系有平行和相交，而有一种特殊的相交-垂直，在前几节课，我们已经学习了证明两条直线平行的方法，本节课我们一起探究如何证明两条直线垂直。
问题1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，要证明AD⊥BC，还需添加什么条件？
问题2.
已知：如图，在△ABC中，BD=CD或∠1=∠2，要证明AD⊥BC，还需添加什么条件？
过渡语：运用等腰三角形“三线合一”的性质可以证明两条直线互相垂直。
问题3、运用等腰三角形“三线合一“的性质要具备哪些条件呢？
等腰+一线（顶角的平分线或底边上的中线）。
设计意图：
1、
问题1的设计，通过对两条直线的两种特殊的为止关系的提问，让学生感知，研究数学知识的套路，起到承前启后的作用。
2、
问题2和问题3的设计，通过填空，让学生进一步回顾运用等腰三角形“三线合一”的性质证明两条直线互相垂直需要哪些条件。为例题7做好铺垫。
【环节二】证明举例
一、利用等腰三角形“三线合一”的性质证明两条直线垂直
例题7：已知：如图（1），∠1=∠2，且DB⊥AB，DC⊥AC.求证：AD⊥BC.
学生自己审题后找同学分析.
生1：由已知条件可推出△ABD≌△ACD，从而得到AB=AC,因为∠1=∠2，可推出AD⊥BC.
师：全等对于证明AD⊥BC提供了什么条件？
生：AD已经是角平分线，只要证明等腰即可，而全等可以得到AB=AC。
变式练习：
（1）已知：如图（2），∠1=∠2，且∠ABD=∠ACD.
求证：AD⊥BC.
（2）已知：如图（3），∠1=∠2,
且∠BDH=∠CDH.
求证：AD⊥BC.
生1：变式1中，仍旧可以得到两个三角形全等，进而得到AB=AC，因为∠1=∠2，可推出AD⊥BC.
生2：变式2中，由∠BDH=∠CDH，根据等角的补角相等，可以得到∠BDA=∠CDA,同样可以得到△ABD≌△ACD，也可以得到AD⊥BC.
生3：运用外角，可以得到∠ABD=∠ACD,
也可以得到AD⊥BC.
师：图形在变，部分条件在变，但始终保持不变的条件是什么？
生：AD是角平分线不变，两个三角形全等不变。因此只要证明AB=AC即可。
设计意图：通过变式训练，让学生感悟动点问题，感悟分类讨论思想，感悟已经具备角平分线的条件下，要证明垂直，只需证明等腰即可。
巩固练习1、已知：如图，OA=OB，AC=BD，且OA⊥AC，OB⊥BD,点M在CD上，CM=DM.
求证：OM⊥CD.
设计意图：此题原型为教材课后练习1，但略有改编，把教材中“已知∠AOM=∠BOM”改成“已知CM=CD”，目的：例题7已有已知角平分线的条件，缺等腰，原题略有重复，因此改成已知平分线，证明等腰。而本题已知OM平分CD，缺少等腰三角形，为此，需要联结OC、OD，来构造等腰三角形。
适时小结：
（1）利用等腰三角形“三线合一”的性质可以证明两条直线互相垂直；
（2）利用等腰三角形“三线合一”应具备的条件是：等腰+“一线”（顶角的平分线或底边的中线）
通过适时小结，学生感悟可以运用等腰三角形三线合一的性质可以证明两条直线互相垂直，且运用性质证明垂直需要的条件。这样的适时小结对学生来说具有可操作性。
过渡语言：除了利用等腰三角形“三线合一”的性质证明两条直线垂直以外，还可以用垂直的定义来证明两直线垂直。请看例题8.
二、利用垂直的定义证明两条直线垂直
例题8
已知:如图，在中,AC⊥BD,垂足为点C,AC=BC.点E在AC上,且CE=CD.联结BE并延长交AD于点F.
求证:BF⊥AD.
学生分析自己审题，独立思考，交流发言。
生1：由已知条件，可以推出△BCE≌△ACD。
师：全等对证明BF⊥AC有什么用呢？
生2：全等可以证明∠1=∠2，在△BCE和△AEF中，根据三角形内角和180°，可以得到∠AFE=∠BCE=90°，从而BF⊥AC。
师：根据生2抓住的两个三角形，运用几何画板分离出基本图形“X”形。并总结，要证明BF⊥AD，可根据三角形内角和180°，得出夹角等于一个直角，进而得到垂直。
生3：在△BDF和△ACD中，根据全等可得到∠1=∠2，又因为∠2+∠D=90°，所以∠1+∠D=90°，所以∠BFD=90°，进而得到垂直。
师：根据生3抓住的两个三角形，运用几何画板分离出基本图形“筝”形。并总结，要证明BF⊥AC，可以证明一个三角形两个锐角互余，可根据三角形内角和180°，得出夹角等于90°，进而得到垂直。
生4：根据生3所利用的图形，利用外角的性质∠AEB=∠B+
∠ACB=∠A+∠AFE，同样能得到两直线夹角为90°，进而得到垂直。
师：综上所述，要证明BF⊥AD，上边几种方法的共同之处都是运用垂直的定义，证明两直线的夹角为90°，在具体问题中，时常把要证明的垂直关系归结到一个三角形中，证明这个三角形的两个锐角之和等于90°或证明一个角等于一个直角.
【环节三】课堂小结
一、证明两条直线垂直的方法
:
1、利用垂直的定义；
2、利用等腰三角形“三线合一”的性质.
课堂的适时小结，为学生证明两条直线垂直，明确方法。
【环节四】课堂练习（练习3、4供学有余力的学生做）
2、问题：你能用尺规画两条互相垂直的直线吗？小明用如下两种方法画出了互相垂直的两条直线，你能证明这两种画法的正确性吗？
画法1
（1）
画∠AOB；
（2）
以点O为圆心、任意长为半径画弧，分别交OA于点C，交OB于点D；
（3）
再分别以点C和点D为圆心、以大于CD的同样长为半径画弧，两弧相交于∠AOB内部一点P；
（4）
4）分别画射线OP、线段CD.
则CD与OP互相垂直；
画法2
（1）
画线段AB，再分别以点A和点B为圆心、大于AB的同样长为半径画弧，两弧相交于点C；
（2）
分别联结AC、BC，延长AC到点D，使CD=CA；
（3）
联结DB.
则DB与AB互相垂直.
3、已知：如图,在△ABC中，CA=CB,且∠ACB=90°,BD平分∠ABC,
且∠1=∠2.
求证:AD=
BE.
4、已知：如图，已知AD平分∠BAC，点E是AC的中点，DE∥AB.
求证：AD⊥DC.
设计意图，通过画图让学生感悟证明两条直线互相垂直方法的运用，鉴于学生目前审题不仔细的问题，及对画图题目中，通过画图的过程，可以获取哪些信息？对于两道题的处理采用不同的方法，第(3)题，我是引导学生审题，逐步分析。第4题让学生独立思考，自我解决。
【环节五】布置作业
必做题：练习册，19.2（4）
选做题：
1、如图，AB=AC，∠1=∠2，BE=CF,M是EH的中点，求证：FM⊥EH.
2、如图，BE、CF是△ABC
的高，且BP=AC，CQ=AB，求证：AP⊥AQ.
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