沪教版（上海）初中数学八年级第一学期：19.7 直角三角形全等的判定 教案

19.7直角三角形全等的判定
教学目标：
1、掌握直角三角形全等的判定定理，会判定直角三角形全等；
2、经历直角三角形全等判定定理“H．L”的探索过程，体会演绎思想和化归思想；
3、熟练掌握证明命题的一般步骤，正确画出命题的图形，写出已知、求证及证明．
教学重点：直角三角形全等的判定.
教学难点：三角形全等的判定方法和“H．L”
判定方法的灵活运用.
教学过程：
教师活动
学生活动
设计意图
一、
复习引入师：1．三角形全等的判定方法有哪几种？
2．三角形按角是怎样分类的？师：直角三角形是特殊的三角形，
除了全等三角形的四种判定方法来判定两个直角三角形全等以外，还有什么更为简单的判定两个直角三角形全等的方法？3.
对一般三角形而言，利用“边、边、角”不能判定两个三角形全等，它能否成为直角三角形全等的判定定理呢？
这节课我们将要研究这个问题．二、学习新知1、探究定理问1：两个直角三角形如果“边、边、角”对应相等，其中对应相等的角一定是直角，那么对应相等的边是哪两条？问2：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？你能把这个问题用命题的形式来表述吗？问3：怎样证明一个命题是真命题？已知：如图，在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇，AC=A＇C＇，∠C=∠C＇=
90°，求证：Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇．分析：【思考】如何把分散的条件，集中到一个图形中？
(多媒体演示)如右图，因为∠ACB=∠A＇C＇B＇=90°，AC=A＇C＇，所以B、C(C＇)、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，于是利用“等边对等角”可证得∠B=∠B＇．再根据判定定理“A.A.S”可知，Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇．证明：把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起，由于AC=A＇C＇，因此可使AC和A＇C＇重合：由于∠ACB=∠A＇C＇B＇=90°，所以B、C(C＇)、B＇三点在一条直线上，于是得到△ABB＇．（接着由学生口述证明Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇的过程）得到直角三角形的判定定理：（三种语言的表述）定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为“H.
L”）
.在Rt△ABC和Rt△A＇B＇C＇中，∴Rt△ABC
≌
Rt△A＇B＇C＇（H.
L）．归纳：应用判定定理“H.
L”时，寻找“斜边和一条直角边对应相等”．并且“Rt”的符号不要漏写．2、定理运用例1：已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，点D、E为垂足，BD和CE相交于点F，BD=CE．求证：△ABC是等腰三角形．分析：问1：你能通过哪一对直角三角形的全等来证明△ABC是等腰三角形呢？问2：用哪些判定方法来证明？证明（一）：∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知），∴△EBC和△DCB都是直角三角形．在Rt△EBC与Rt△DCB中，∴Rt△EBC≌
Rt△DCB（H．L）．得∠EBC=∠DCB（全等三角形的对应角相等）．∴AB=AC（等角对等边）．即△ABC是等腰三角形．（证法二学生课后完成）例2：求证：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别是点D、E，且QD=QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．分析：问1：图中有Rt△吗？
追问：怎么办？证明：作射线OQ．∵QD⊥OA，QE⊥OB（已知），∴∠QDO=∠QEO=90°（垂直的定义）．在Rt△QDO与Rt△QEO中，∴Rt△QDO≌Rt△QEO（H.L）．得∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）．即OQ是∠AOB的平分线（角平分线的定义）．∴点Q在∠AOB的平分线上．三、课堂反馈练习课本P114练习1：已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足分别为点E、F.求证：EB=FC教师点评：强调第1题用角平分线的性质定理证明DE=DF．练习4：已知：如图，AD⊥CD，BC⊥CD，D、C分别为垂足，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，BC=DF.求证：AD=FC.第4题用线段垂直平分线的性质定理证明FA=FB．四、课堂小结通过本节课的学习你得到了哪些新知识，又有哪些收获？数学思想和方法：体现数学中所蕴涵的化归的思想.五、作业布置练习册
§19.7说明：课本中的练习课内完成不了的，可作为回家作业．
预设：生答：“S.A.S、A.S.A、A.A.S、S.S.S．”生答：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．生答：斜边和一条直角边生答：“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等
．”生答：①根据题意画出图形，并在图上标出必要的字母或符号；②根据题设和结论，结合图形，写出“已知”和“求证”；③经过分析、找出由已知推出结论的途径，写出证明过程．生答：可以把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起生答：∵AB=A＇B＇（已知），∴∠B=∠B＇（等边对等角）．在△ABC与△A＇B＇C＇中所以△ABC≌△A＇B＇C＇（A．A．S）．生答：可用“H.L”或“A.A.S”加以证明．证法一证法二预设：生答：没有？生答：添辅助线构建Rt△学生思考、分析并完成证明【练习1】证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
(已知），∴DE=DF
（在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.△BDE和△CDF都是直角三角形.在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（H.L）.∴EB=FC（全等三角形的对应边相等）.【练习4】证明：∵EF是AB的垂直平分线（已知），∴AF=BF（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）.∵AD⊥CD，BC⊥CD（已知），∴∠D=∠C=90°（垂直的定义）.在Rt△ADF与Rt△FCB中，∴Rt△ADF≌Rt△FCB（H.L）.∴AD=FC（全等三角形的对应边相等）.生答：1．直角三角形全等的特殊的判定——“H.L”定理．2．运用“H.L”定理时，必须先得出两个直角三角形，然后依据斜边和一直角边对应相等，再证明两个直角三角形全等．
通过回忆，学生对全等三角形的判定定理和三角形按角的分类进行了复习，为引出新知作铺垫．复习、体验命题证明的步骤．学生通过思考，参与定理的验证过程，这样既进一步强化学生对定理的认识，又能激发学生的学习兴趣，提高学生学习的主动性．教师在分析时要强调：①由于∠ACB=∠A＇C＇B=90°，且AC=A＇C＇才可以把这两个直角三角形叠合在一起，构造一个图形；②B、C(C＇)、B＇三点在一条直线上通过教师对直角三角形判定定理“H.
L”三种语言的表述，强调几个注意点，加深了学生对定理的认识和正确使用．从图形分解中，寻找全等的直角三角形基本图形．此例是直角三角形判定定理的运用．学生对其运用可能会感到陌生，会套用全等三角形（A.A.S）的方法，教师应先鼓励学生用多种方法来证明，再强调用直角三角形判定定理（H.L）来证明．本题是补证角的平分线性质定理的逆定理．在形式上，仍采用证明命题的方法，让学生再次体验证明命题的基本步骤．第1题是用角平分线的性质定理与直角三角形的判定定理“H.L”的综合运用；第4题是线段垂直平分线的性质定理与直角三角形的判定定理“H.L”的综合运用．所以选择这两题让学生练习，目的是培养学生综合运用知识的能力．