人教版八年级数学上册 第十三章轴对称 1 第1课时 等腰三角形的性质（共29张ppt）

(共29张PPT)
13.3
等腰三角形
第1课时
等腰三角形的性质
学习目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质.
2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用
等腰三角形的性质解决有关问题.
导入新课
等腰三角形
定义及相关概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
讲授新课
等腰三角形的性质
一
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
折一折：△ABC
是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段
重合的角
　
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B
与∠C.
∠BAD
与∠CAD
∠ADB
与∠ADC
猜一猜：
由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
A
B
C
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B=?C.
思考：如何构造两个全等的三角形？
猜想:等腰三角形的两个底角相等
已知：
如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：
∠B=
∠C.
A
B
C
D
证明：
作底边的中线AD，
则BD=CD.
AB=AC
(
已知
)，
BD=CD
(
已作
)，
AD=AD
(公共边)，
∴
△BAD≌
△CAD
(SSS).
∴
∠B=
∠C
(全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
方法一：作底边上的中线
还有其他的证法吗？
已知：
如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：
∠B=
∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
AB=AC
(
已知
),
∠BAD=∠CAD
(
已作
),
AD=AD
(公共边),
∴
△BAD
≌
△CAD
(SAS).
∴
∠B=
∠C
(全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中
想一想：由△BAD≌
△CAD，除了可以得到∠B=
∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
解：∵△BAD≌
△CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵
∠ADB+∠ADC=180°，
∴
∠ADB=∠ADC=
90°
，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线
.
A
B
C
D
性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
证明后的结论,以后可以直接运用.
总结归纳
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
A
C
B
D
1
2
∵AB=AC,
∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD,AD⊥BC
∵AB=AC,
BD=CD
(已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC
∵AB=AC,
AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD,
∠1=∠2
综上可得：如图,在△ABC中,
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
不重合！
三线合一
为什么不一样?
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.
2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以.
3.钝角三角形不可能是等腰三角形.
4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（X）
（X）
（X）
（X）
（√）
明辨是非
（√）
A
B
C
D
例1
如图，在△ABC中
，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
典例精析
分析：（1）找出图中所有相等的角；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
△ABC,
△ABD,
△BCD.
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC=
∠A+
∠ABD=2
∠A=2
∠ABD,
∠ABC=
∠BDC=2
∠A,
∠C=
∠BDC=2
∠A.
（4）设∠A=x°,请把△
ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵
∠A+
∠ABC+
∠C=180
°，∴
x+2x+2x=180
°,
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC=
∠A+
∠ABD=2x,
从而∠ABC=
∠C=
∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180
°
，
解得x=36
°
，在△ABC中，
∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
解：∵AB=AD=DC
∴
∠B=
∠ADB，∠C=
∠DAC
设
∠C=x，则
∠DAC=x，
∠B=
∠ADB=
∠C+
∠DAC=2x，
在△ABC中，
根据三角形内角和定理，得
2x+x+26°+x=180°，
解得x=38.5°.
∴
∠C=
x=38.5°，
∠B=2x=77°.
针对训练：
例2
等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)
A．65°或50°
B．80°或40°
C．65°或80°
D．50°或80°
A
例3
已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
典例精析
图②
图①
证明：(1)如图①，过A作
AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
图②
图①
G
当堂练习
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　）
A．40°
B．30°
C．70°
D．50°
A
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（　）
A．30°，60°
B．45°，45°
C．45°，90°
D．20°，70°
B
4.在△ABC中，
AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．
A
B
C
A
B
C
70°或20°
5.如图，在△ABC中，AB
=
AC，D是BC边上的中点，
∠B
=
30°，求
∠BAD
和
∠ADC的度数.
A
B
C
D
解：∵AB=AC，D是BC边上的中点，
∴
∠C=
∠
B=30°，
∠BAD
=
∠
DAC，∠ADC
=
90°.
∴∠
BAC
=180°
-
30°-30°
=
120°.
∴
=
60°.
6.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
∴∠DBC＝∠ECB.
∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.
证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE为底角的平分线，
∴
7.A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．
A
B
分别以A、B、C为顶角
顶点来分类讨论！
8个
这样分类就不会漏啦！
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
拓展提升：
课堂小结
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.