沪科版九年级数学下册课件：24.3 第1课时 圆周角定理及其推论（共24张ppt）

第24章 圆
24.3 第1课时 圆周角定理及其推论
情景导入
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC,仅从射门角度大小考虑，谁相对于球门的角度更好呢？
知识回顾
问题1 什么是圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角，如∠BOC.
问题2 圆心角的度数与它所对弧的度数是什么关系？
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
.
O
B
C
获取新知
知识点一：圆周角及其定理
像∠A这样，顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角.
一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有着特殊的位置关系.
O
A
B
C
（1）在圆上任取BC ，画出圆心角∠BOC ，圆心O与圆周角有几种位置关系？
︵
圆心在∠BAC的一边上
圆心在∠BAC的内部
O
A
B
C
圆心在∠BAC的外部.
C
O
A
B
(1) 圆心O在∠BAC的一边上
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
(2) 圆心O在∠BAC的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
提示:能否转化为1的情况?
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
D
O
A
B
D
(3) 圆心O在∠BAC的外部
提示:能否转化为1的情况?
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
圆周角定理
∠ABC= ∠AOC
例题讲解
例1 如图，在⊙O中，∠AOC＝150°，求∠ABC，∠ADC的度数，并判断∠ABC和∠ADC，∠EBC和∠ADC之间的度数关系．
解：∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝ ∠AOC＝75°.
∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°，
∴∠ADC＝ ∠α＝105°.
∵∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°，
∴∠EBC＝∠ADC，即∠EBC与∠ADC相等．
又∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，
∴∠ABC和∠ADC互补．
获取新知
知识点二：圆周角定理的推论
圆周角定理推论1
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.
O
A1
A2
A3
A
C
B
D
A
B
O
C
E
F
圆心角相等
弧
相等
弦
相等
弦心距相等
圆周角相等
半圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.
圆周角定理推论2
理由：
1.直径所对的半圆所对的圆心角是180°；
2.圆心角是180°所对应的弦是直径；
3.圆周角等于所对弧上的圆心角的一半
例题讲解
例2 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，
∠ACD = 60°，∠ADC =70°，求∠APC的度数.
分析：∠APC等于圆周角∠BAD与∠ADC之和.
解：连接BC，如图，则∠ACB=90°，
∠DCB =∠ACB－∠ACD
=90°－60°=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°，
∴∠APC =∠BAD +∠ADC
=30°+70°=100°.
. O
A
D
C
P
B
由直径联想到直角时常见思路
例3 小明想用直角尺检査某些工件是否恰好为半圆形.
下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么?
解：题图(2)是半圆形．
∵90°的圆周角所对的弦是直径．
随堂演练
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC =70°，则∠AOC的度数等于（ ）
A.140° B.130°
C.120° D.110°
A
O
C
B
A
2.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
A
3. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是(　　)
A．75°　　　
B．60°　　　
C. 45°　　　
D．30°
D
4. 如图，半径为5的⊙A经过点C和点O，点B是y轴右侧⊙A的优弧上一点，∠OBC＝30°，则点C的坐标为（　　）
A
5.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35?.
(1)∠BOC= ?，理由
是 ;
(2)∠BDC= ?，理由是 .
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半
6. 如图，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为1 的 ⊙O 的圆心 O 在格点上，则 ∠AED 的正切值等于 .
7.如图所示,已知四边形ABCD的四个顶点均在☉O上,AB=BC,BD交AC于点E.求证:DB平分∠ADC.
证明:∵AB=BC,
∴AB=BC,
∴∠ADB=∠BDC,
即DB平分∠ADC.
︵
︵
8.如图，点A，B，D，E在⊙O上，弦AE，BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．试判断AB，AC之间的大小关系，并给出证明.
解：(1)AB＝AC.
证明如下：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC.
∵BD＝DC，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC.
课堂小结
圆
周
角
定义
定理
推论
1.顶点在圆上；
2.两边都与圆相交的角
二者必须同时具备
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
半圆或直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径.
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.
圆心角
相等
弦
相等
弧
相等
弦心距
相等
圆心角
相等