人教版九年级上册数学课件：24.1.2 垂径垂径定理（共32张ppt）

温固而知新
一、圆的定义：
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.
二、圆的相关概念
1、连接圆上任意两点间
的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心的弦叫做直径
(如直径AC).
.
O
A
B
C
弦
直径
2.圆弧:连接圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A、B为端点的弧记作 AB ，
读作：“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧（用三个点表示，如： 或 ），
叫做优弧；
小于半圆的弧叫做劣弧. 如:
C
B
A
O
ACB
BCA
BC
AB
圆的任意一条直径的两个端
点把圆分成两条弧,每一条
弧叫做半圆.
M
●O
A
B
C
注意：
直径是弦，但弦不一定是直径；
半圆是弧，但弧不一定是半圆；
半圆既不是劣弧，也不是优弧
3、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆也是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等。
4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。
5、同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆.
6、弓形：由弦及其所对的弧组成的图形
叫做弓形．
圆对称性(1)
--垂径定理
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
●O
1)圆是轴对称图形吗？如果是,你能找到多少条对称轴？它的对称轴是什么?
圆是轴对称图形，它有无数条对称轴,
它的对称轴是任意一条经过圆心的直线.
探究：
此外，圆还是中心对称图形,对称中心是圆心。
圆绕圆心旋转任意角度后都与
自身重合，所以圆具有旋转不
变性。
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
2、如图，AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
（1）右图是轴对称图形吗?
●O
A
B
C
D
M└
图中有:
你是怎样知道？
⌒
⌒
AC = BC
⌒
⌒
AD =BD
AM=BM,
如果是,其对称轴是什么?
探究：
叠合法
·
O
A
B
C
D
E
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB。
求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。
证明：垂直于弦AB的直径CD所在的直线是⊙O的对称轴。把圆沿着直径CD折叠时，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别与BC、BD重合。因此
AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD，即直
径CD平分弦AB，并且平分AB及ACB.
验证:
结论：
AC=BC
AD=BD，
∴AM=BM
垂直于弦的直径, 平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧。
B
M
O
A
C
D
(垂径定理)
垂径定理是圆中一个重要的结论,是计算线段长度的重要根据.
两个条件:直径，垂直于弦.缺一不可！
∵CD是直径,CD⊥AB于M点
应用格式：
连接OA、OB,
则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM（HL）.
∴AM=BM.
●O
A
B
C
D
M└
∵CD⊥AB
∴∠OMA=∠OMB=90°
也可利用等腰三角形三线合一性质
★试证明： AM=BM.
●O
A
B
C
D
M└
证法一：利用轴对称的性质
证法二：证明两个三角形全等
证法三：利用等腰三角形
三线合一性质
证明 AM=BM.可以有下面三种证法：
下列图形是否具备垂径定理的条件？
是
不是
是
不是
O
E
D
C
A
B
注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！
挑战自我找一找
已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
.
图中相等的劣弧有:
.
M
N
A
B
C
D
E
F
O
●
1、如图，AB是圆的弦，利用一个三角板，你能确定这条弦的中点吗？
2、如图，点C是圆的任意一个点，利用一个三角板，你能画出一条弦AB，使点C刚好是这条弦的中点吗？
●
C
A
B
O
O
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（ ）
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，垂足为M，OM=3，则CD= .
3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 .
●O
C
D
A
B
M└
C
A、AC=AD B、BC=BD
C、AM=OM D、CM=DM
⌒
⌒
⌒
⌒
8
13
注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种辅助线的添法．往往结合勾股定理计算。
垂径定理的应用：
1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离（弦心距）为3厘米，求⊙O的半径。
.O
A
B
E
解:过O作OE⊥AB于E点.
连结OA,在RtAOE中，根据勾股定理:
∴⊙O的半径为5厘米。
练习：
2.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，求O到AB的距离。
O
A
B
P
解：过O点作OP⊥AB，连OA.
在Rt⊿AOP中，根据勾股定理：
∴O到AB的距离为24mm。
3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD
.
A
C
D
B
O
E
注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，也是一种常用辅助线的添法．
解： AC＝BD，
理由是：
归纳:
1、解决有关弦的问题时，经常过圆心作弦的垂线、连结半径等辅助线，构成直角三角形。为利用垂径定理和勾股定理创造条件。
.
A
B
O
2、如果弦长为a,弦心距为d,半径为r,弓形的高为h.
⑴d + h = r
⑵
在a、d、r、h四个量中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.
⑴d + h = r
⑵
1、已知：如图，直径CD⊥AB.
⑴若半径R = 2 ，AB = , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
试一试：
在a、d、r、h四个量中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.
1、如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E．则下列结论中错误的是(??? ? ).
A.∠COE＝∠DOE B.CE＝DE
C.AE＝OE D.BC= BD
c
2、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为____最大值为____.
3
5
练习：
3、如图，矩形ABCD与圆O交于点A、B、
E、F，DE=1cm，EF=3cm，则AB=_____cm
5
M
N
4、已知：如图,AB是⊙O直径，与CD相交于点E,已知AE=1cm,BE=5cm,∠DEB=600,求弦CD的长.
.O
C
D
A
B
E
解:连结OA、OB
则OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
又∵AC=BD
△AOC≌△BOD（SAS）
5、如图，在圆O中，已知AC=BD，
试说明： OC=OD

∴OC=OD
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
垂径定理的应用：
37.4m
7.2m
A
B
O
C
E
赵州石拱桥
解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
过圆心O作弦AB的垂线OD，与 相交于点C. CD就是拱高.
根据垂径定理得：AD=BD。
由题设
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
R
D
37.4
7.2
垂径定理的应用
2、如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
●
O
C
D
E
F
┗
注意闪烁的三角形的特点.
小结:
解决有关弦的问题，经常是
过圆心作弦的垂线，
或作垂直于弦的直径，
连结半径等辅助线，
构成直角三角形,为应用垂径定理创造条件。
.
A
B
O
垂径定理
挑 战自我
1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想来解决问题.
3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r
⑵
通过这节课的学习，
你有哪些收获？
能与大家一起分享吗？
丰 收 园
结束寄语
读书要从薄到厚,再从厚到薄.
下课了!