人教版数学九年级上册 第24章 圆 24.1.3 弧、弦、圆心角 课件（共32张PPT）

24.1.3 弧、弦、圆心角
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
复习回顾
什么是中心对称图形？
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
思考1．圆是中心对称图形吗？如果是，你能指出它的对称中心吗？
圆是中心对称图形，
它的对称中心是圆心．
探究新知
OA =OB，
A、B两点关于点O对称，
思考2．把　O绕圆心O旋转任意一个角度后，还能和原来的图形重合吗？
圆具有旋转不变性．
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．
所对的弧为 ．
圆心角∠AOB所对的弦为AB，
∠AOB为　O的圆心角，
思考：如图，在　O中，当圆心角∠AOB=∠A1OB1时，它们所对的 和 、弦AB和A1B1相等吗？为什么？


将∠AOB 连同 绕圆心O旋转，
使射线OA与OA1重合，
∵ ∠AOB=∠A1OB1，
∴射线OB与OB1重合．
又OA=OA1 ，OB=OB1 ，
即 ， AB=A1B1 ．
∴点A与A1重合，点B与B1重合．
因此　 与　 重合，AB与A1B1重合，
做一做：在纸上画两个等圆，点A，B在⊙O上，A1，B1在⊙O１上，使∠AOB=∠A1O1B1 ，连接AB和A1B1 ，则 与 ，弦AB与A1B1还相等吗？
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
α
α
∠AOB=∠A1OB1，
∴ = ，AB=A1B1 ．
∵ OA，OB，OA1，OB1是　O的半径，
思考：如图，两同心圆中， 　 ，问：
（1） 与 是否相等？
（2） 与 是否相等？
不相等
不相等
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧也分别相等．
圆心角等
弦 等
弧 等
知一推二
如图，AB，CD是　O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么________，______________．
∠AOB=∠COD
（2）如果 ，那么________，______________.
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_______，_________.
AB=CD
∠AOB=∠COD
AB=CD
概念巩固
例1　如图，在　O中， ，∠ACB=60°.　　　　
　　求证: ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
例题讲解
A
B
C
O
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形．　
又 ∠ACB=60°,
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA．
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC．
证明： ?　　　　，
A
B
C
O
证法一： ∵AD=BC，
∴AB=CD．
．
,
．
例2　已知：如图所示，在　O中， AD=BC ．
求证：AB=CD．
例2　已知：如图所示，在　O中， AD=BC ．
求证：AB=CD．
证法二：连接OA，OD，OB，OC．
∴AB=CD．
∵AD=BC，
∴∠AOD=∠BOC．
∴∠AOD+∠BOD=∠BOC+ ∠BOD,
∴∠AOB=∠DOC．
例3　如图，AB、CD是　O的两条直径，BE=BD，
求证：　　　．
证法一：连接AC．
∴∠AOC=∠BOD．
∴AC=BD，
又BE=BD，
∴AC=BE．
∴
．
∵AB，CD是　O的两条直径，
证法二：连接AC、OE,
∴∠AOC=∠BOD,
∵BE=BD，
∵AB、CD是⊙O的两条直径，
∴∠BOE=∠BOD,
∴∠AOC=∠BOE,
∴
例3　如图，AB、CD是　O的两条直径，BE=BD，
求证：　　　．
探究　如图，AB，CD是　O的两条弦，OE⊥AB
于E，OF⊥CD于F．
（1）如果AB=CD， OE与OF相等吗？为什么？
（2）如果OE=OF， AB与CD相等吗？为什么？
∵ OE⊥AB ， OF⊥CD ，
∴Rt△AOE≌ Rt △COF．
∴OE=OF．
证明:
∵AB=CD ，
AE= AB ， CF= CD ．
∴AE=CF．
∵OA=OC ，
OE与OF相等．
∴∠AEO=∠CFO=90°，
Rt △AOE≌ Rt △COF
OE=OF，OA=OC，∠AEO=∠CFO=90°
AB=CD
分析：
探究　如图，AB，CD是　O的两条弦，OE⊥AB
于E，OF⊥CD于F．
（2）如果OE=OF， AB与CD相等吗？为什么？
课堂小结
圆是中心对称图形，圆具有旋转不变性；
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
圆心角等
弦 等
弧 等
证明弧等的方法：
等弧的定义；
垂径定理；
弧、弦、圆心角之间的关系。
课后作业
1．如图，　O中， ，∠C=75°.
求∠A的度数．
2．如图，A，B是　O上两点，
∠AOB=120°，C是 的中点．
求证：四边形OACB是菱形．