沪教版（上海）初中数学八年级第一学期 19.2 证明举例 教案
文档属性
| 名称 | 沪教版（上海）初中数学八年级第一学期 19.2 证明举例 教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 114.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-17 20:50:19 | ||
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文档简介
教学设计表
学
科
数学
年
级
八上
日
期
课
题
19．2（5）证明举例
执教者
教材内容分析
本节课例9和例10的安排，一是为了补证“边边边”定理，二是丰富同学几何证明的经验。例9是补证“边边边”定理，证明的思路是通过图形的运动把一些分散的元素集中在一个图形中，然后利用已有的“边角边”定理，证明两个三角形全等。例题9这种利用图形运动添辅助线的方法，同学以前从未遇到，难度较大，但在后面的学习中还会用到这一方法，这就要求老师加强分析和指导，引导同学们在本节课的学习中不断实践、探索、从中体会通过图形的运动把分散的已知条件集中在一个图形中的思考方法，体会构造基本图形以及补全图形的重要性，获得添辅助线的启示。例10的证明需要添置两条辅助线，证两次三角形全等，证题的方法比较多样，是丰富同学们几何证明经验的好例子。
通过这节课的学习，同学们可以体会到几何研究从直观经验，操作实验到演绎推理的演进过程，学习和掌握演绎推理的思想和方法。
学情分析
大多数同学通过本章前面证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般步骤，初步掌握几何表达的规范格式；并且同学们在七年级第二学期学习过三角形全等的四种判定方法，本节课例题9是对“边边边”定理的补证，难度虽有些大，但在老师的引导下，同学们通过自己不断的实践、探索、最终能够领悟图形的运动对添辅助线的启示，获得构造基本图形以及补全图形是今后常用的添辅助线方法。例10的证明同学们根据已有的学习经验，能够想到一至两种添辅助线的方法。
教学目标
1、让同学经历证明的分析过程，学会应用所学知识解决综合问题。提高分析问题、解决问题的能力。2、体会利用图形的运动把一些分散的元素集中在一个图形中的方法，添置恰当的辅助线，进一步发展逻辑思维能力和演绎推理能力。
教学重点
通过添辅助线和综合分析，解决较复杂的几何证明问题。
教学难点
利用图形的运动把一些分散的元素集中在一个图形中的添辅助线方法。
教学流程
教学环节
教师活动
同学活动
设计意图
环节一、作图铺垫，做好证明准备
作图：已知BC=4cm
，做,使AB=3cm，AC=2cm。问题链：1.能做几个三角形？这两个三角形的三条边有什么关系？这两个三角形全等吗？根据是什么？2.证明三角形全等有哪几种方法？老师：前面几个判定定理都通过说理的方法证明过，唯独“边边边”定理未给出证明，今天我们就来证明这个定理。例题9
已知:如图,在△ABC与△A’B’C’中,
AB=A’B’,BC=
B’C’,CA=C’A’.求证:
△ABC≌△A’B’C’.
1.同学在练习本上画图，大部分同学只在线段BC一侧画了一个三角形△ABC
。2.投影同学的作图，由其他同学补充：在线段BC另一侧再添加一个三角形△A’BC。
老师通过让同学作图，感受到两个全等的三角形可以以这种对称的形式组合，为例9辅助线的添加埋下伏笔，同时也帮助同学复习了三角形全等的判定方法，为完成例9证明做好知识准备。
环节二、寻求证明方法：从特殊到一般
问题链：1、结合已知条件与图形，能直接进行求证吗？2、根据已知条件，你联想到什么？3、那么等边对等角的条件是什么？
刚才在特殊的情况下我们证明了两三角形全等，下面我们来证明一般的情况。4、为什么要把两个三角形拼在一起？老师小结：在这两个分散的三角形中，已知条件的作用受到限制，用图形的运动把一些分散的元素集中在一个图形中，使得我们将未知问题转化成已知问题。教师
同学1：不能，缺少角的条件。同学2：根据已知条件，可联想到等边对等角。同学3：等边对等角要在一个三角形中。同学4：可连接,构造等腰三角形，找到角相等的条件，利用边角边证明三角形全等。
同学证明起来有困难，教师提示同学不妨先证明所画图的那种特殊情况。在会证特殊的情况下两三角形全等，再证明一般的情况。老师以问题链帮助同学分析问题关键所在，进一步理清证明的思路。
环节三：完成证明，规范证明过程
让同学们根据分析的思路，完整的书写出证明过程。老师巡视指导后，点评。证明：设边BC最长.如图，把△ABC与△A’B’C’拼在一起，使边BC与B’C’重合，并使点A、A’在B’C’的两侧；再联结A’A.∵AB=A’B’,AC=A’C’(已知),∴∠1=∠2,
∠3=∠4(等边对等角).∴∠1+∠3=∠2+∠4(等式性质).即∠B’A’C’=∠BAC.在△ABC与△A’B’
C’中,AB=A’B’(已知)∠B’A’C’=∠BAC(已证)AC=A’C’(已知),∴△ABC≌△A’B’C’(S.A.S).
让同学们根据分析的思路，完整的书写出证明过程。
帮助同学们规范证明过程的表述。
环节四：小组合作拼图，完善证明
问题链：1、刚才拼图时我们使BC与重合，还有别的拼法吗？老师准备了两个全等的锐角三角形纸片让同学们试一试。老师再给出两个全等的直角三角形、两个全等的钝角三角形纸片让同学们以小组为单位进行拼合。通过“拼图”引导同学反思：2、拼图时是否一定要使两个三角形的最长边重合？使其他一组等边重合是否可行？老师小结：实际上，可任选一组等边使它们重合进行拼图，证明的思路是一样的。但要注意，拼成的四边形中有可能出现一个大于（或等于）180°的角，这时的证明过程要分类讨论。
同学1：还可以使AB与A’B’重合同学2：还可以使AC与A’C’重合
老师设计了“拼图”活动，老师准备了两个全等的锐角三角形纸片，两个全等的直角三角形、两个全等的钝角三角形纸片让同学小组合作完成“拼图”。通过这一环节老师帮助同学理解：为什么要在最长边将两个三角形“拼”在一起
。
环节五：归纳总结，提升思维水平
问题：你能归纳一些本题的证明思路吗？教师指出当已知条件不够用时，就要想到添加辅助线，今天我们又多了一种添加辅助线的思路。
同学归纳添辅助线的方法：通过图形的运动把分散的已知条件集中在一个图形中，使得我们将未知问题转化成已知问题解决。
老师引导同学及时回顾和总结证明思路。在反思中，同学对例题的再认识、再理解、再提高，既培养了同学归纳、概括的能力，又训练了同学思维的深刻性。
环节六：一题多一题多解，丰富证明经验
例题10
已知：如图17-14,四边形ABCD中,AB=DC,
∠B=∠C.求证:
∠A=∠D.教师投影同学的证明过程，帮助其规范证明格式。证明:分别联结AC、DB(如右图)
在△ABC与△DCB中,AB=DC(已知)∠ABC=∠DCB(已证)BC=CB(已知),
∴△ABC≌△DCB(S.A.S)∴
AC=DB(全等三角形的对应边相等).在△ABD与△DCA中,DB=AC(已知)AB=DC(已知)AD=DA(公共边),
∴△ABD≌△DCA(S.S.S)∴∠BAD=∠CDA(全等三角形的对应角相等).
同学证法二、延长BA、CD,通过构造等腰三角形来进行证明。同学证法三、取BC中点，联结BC中点，通过构造全等三角形来进行证明。
例题10是通过添加恰当的辅助线把不熟悉的图形转化为我们熟悉的三角形进行证明。对本例同学们还补充了证法二和证法三，
通过一题多解，丰富同学几何证明经验。
环节七：课堂练习，巩固提高
课本P97页，练习19.2(5)
教学反思
本节课一是在同学们在七年级第二学期学习了三角形全等的判定方法的基础上对“边边边”定理的补证。例题9利用图形的运动添辅助线的方法是本节课的难点，若是直接进行证明，大部分同学都将毫无头绪，因此结合本班的实际情况，先通过“作图”进行铺垫，再“从特殊到一般”进行证明。同学们在老师问题链的启发引导下，步步深入探究，突破难点，很好的完成了学习任务。体会到通过图形的运动把分散的已知条件集中在一个图形中的思考方法，体会构造基本图形以及补全图形的重要性，获得添辅助线的启示。例题10是通过添加恰当的辅助线把不熟悉的图形转化为我们熟悉的三角形进行证明。同学们证明的方法多，气氛比较活跃。通过一题多解丰富了同学们几何证明的经验。
学
科
数学
年
级
八上
日
期
课
题
19．2（5）证明举例
执教者
教材内容分析
本节课例9和例10的安排，一是为了补证“边边边”定理，二是丰富同学几何证明的经验。例9是补证“边边边”定理，证明的思路是通过图形的运动把一些分散的元素集中在一个图形中，然后利用已有的“边角边”定理，证明两个三角形全等。例题9这种利用图形运动添辅助线的方法，同学以前从未遇到，难度较大，但在后面的学习中还会用到这一方法，这就要求老师加强分析和指导，引导同学们在本节课的学习中不断实践、探索、从中体会通过图形的运动把分散的已知条件集中在一个图形中的思考方法，体会构造基本图形以及补全图形的重要性，获得添辅助线的启示。例10的证明需要添置两条辅助线，证两次三角形全等，证题的方法比较多样，是丰富同学们几何证明经验的好例子。
通过这节课的学习，同学们可以体会到几何研究从直观经验，操作实验到演绎推理的演进过程，学习和掌握演绎推理的思想和方法。
学情分析
大多数同学通过本章前面证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般步骤，初步掌握几何表达的规范格式；并且同学们在七年级第二学期学习过三角形全等的四种判定方法，本节课例题9是对“边边边”定理的补证，难度虽有些大，但在老师的引导下，同学们通过自己不断的实践、探索、最终能够领悟图形的运动对添辅助线的启示，获得构造基本图形以及补全图形是今后常用的添辅助线方法。例10的证明同学们根据已有的学习经验，能够想到一至两种添辅助线的方法。
教学目标
1、让同学经历证明的分析过程，学会应用所学知识解决综合问题。提高分析问题、解决问题的能力。2、体会利用图形的运动把一些分散的元素集中在一个图形中的方法，添置恰当的辅助线，进一步发展逻辑思维能力和演绎推理能力。
教学重点
通过添辅助线和综合分析，解决较复杂的几何证明问题。
教学难点
利用图形的运动把一些分散的元素集中在一个图形中的添辅助线方法。
教学流程
教学环节
教师活动
同学活动
设计意图
环节一、作图铺垫，做好证明准备
作图：已知BC=4cm
，做,使AB=3cm，AC=2cm。问题链：1.能做几个三角形？这两个三角形的三条边有什么关系？这两个三角形全等吗？根据是什么？2.证明三角形全等有哪几种方法？老师：前面几个判定定理都通过说理的方法证明过，唯独“边边边”定理未给出证明，今天我们就来证明这个定理。例题9
已知:如图,在△ABC与△A’B’C’中,
AB=A’B’,BC=
B’C’,CA=C’A’.求证:
△ABC≌△A’B’C’.
1.同学在练习本上画图，大部分同学只在线段BC一侧画了一个三角形△ABC
。2.投影同学的作图，由其他同学补充：在线段BC另一侧再添加一个三角形△A’BC。
老师通过让同学作图，感受到两个全等的三角形可以以这种对称的形式组合，为例9辅助线的添加埋下伏笔，同时也帮助同学复习了三角形全等的判定方法，为完成例9证明做好知识准备。
环节二、寻求证明方法：从特殊到一般
问题链：1、结合已知条件与图形，能直接进行求证吗？2、根据已知条件，你联想到什么？3、那么等边对等角的条件是什么？
刚才在特殊的情况下我们证明了两三角形全等，下面我们来证明一般的情况。4、为什么要把两个三角形拼在一起？老师小结：在这两个分散的三角形中，已知条件的作用受到限制，用图形的运动把一些分散的元素集中在一个图形中，使得我们将未知问题转化成已知问题。教师
同学1：不能，缺少角的条件。同学2：根据已知条件，可联想到等边对等角。同学3：等边对等角要在一个三角形中。同学4：可连接,构造等腰三角形，找到角相等的条件，利用边角边证明三角形全等。
同学证明起来有困难，教师提示同学不妨先证明所画图的那种特殊情况。在会证特殊的情况下两三角形全等，再证明一般的情况。老师以问题链帮助同学分析问题关键所在，进一步理清证明的思路。
环节三：完成证明，规范证明过程
让同学们根据分析的思路，完整的书写出证明过程。老师巡视指导后，点评。证明：设边BC最长.如图，把△ABC与△A’B’C’拼在一起，使边BC与B’C’重合，并使点A、A’在B’C’的两侧；再联结A’A.∵AB=A’B’,AC=A’C’(已知),∴∠1=∠2,
∠3=∠4(等边对等角).∴∠1+∠3=∠2+∠4(等式性质).即∠B’A’C’=∠BAC.在△ABC与△A’B’
C’中,AB=A’B’(已知)∠B’A’C’=∠BAC(已证)AC=A’C’(已知),∴△ABC≌△A’B’C’(S.A.S).
让同学们根据分析的思路，完整的书写出证明过程。
帮助同学们规范证明过程的表述。
环节四：小组合作拼图，完善证明
问题链：1、刚才拼图时我们使BC与重合，还有别的拼法吗？老师准备了两个全等的锐角三角形纸片让同学们试一试。老师再给出两个全等的直角三角形、两个全等的钝角三角形纸片让同学们以小组为单位进行拼合。通过“拼图”引导同学反思：2、拼图时是否一定要使两个三角形的最长边重合？使其他一组等边重合是否可行？老师小结：实际上，可任选一组等边使它们重合进行拼图，证明的思路是一样的。但要注意，拼成的四边形中有可能出现一个大于（或等于）180°的角，这时的证明过程要分类讨论。
同学1：还可以使AB与A’B’重合同学2：还可以使AC与A’C’重合
老师设计了“拼图”活动，老师准备了两个全等的锐角三角形纸片，两个全等的直角三角形、两个全等的钝角三角形纸片让同学小组合作完成“拼图”。通过这一环节老师帮助同学理解：为什么要在最长边将两个三角形“拼”在一起
。
环节五：归纳总结，提升思维水平
问题：你能归纳一些本题的证明思路吗？教师指出当已知条件不够用时，就要想到添加辅助线，今天我们又多了一种添加辅助线的思路。
同学归纳添辅助线的方法：通过图形的运动把分散的已知条件集中在一个图形中，使得我们将未知问题转化成已知问题解决。
老师引导同学及时回顾和总结证明思路。在反思中，同学对例题的再认识、再理解、再提高，既培养了同学归纳、概括的能力，又训练了同学思维的深刻性。
环节六：一题多一题多解，丰富证明经验
例题10
已知：如图17-14,四边形ABCD中,AB=DC,
∠B=∠C.求证:
∠A=∠D.教师投影同学的证明过程，帮助其规范证明格式。证明:分别联结AC、DB(如右图)
在△ABC与△DCB中,AB=DC(已知)∠ABC=∠DCB(已证)BC=CB(已知),
∴△ABC≌△DCB(S.A.S)∴
AC=DB(全等三角形的对应边相等).在△ABD与△DCA中,DB=AC(已知)AB=DC(已知)AD=DA(公共边),
∴△ABD≌△DCA(S.S.S)∴∠BAD=∠CDA(全等三角形的对应角相等).
同学证法二、延长BA、CD,通过构造等腰三角形来进行证明。同学证法三、取BC中点，联结BC中点，通过构造全等三角形来进行证明。
例题10是通过添加恰当的辅助线把不熟悉的图形转化为我们熟悉的三角形进行证明。对本例同学们还补充了证法二和证法三，
通过一题多解，丰富同学几何证明经验。
环节七：课堂练习，巩固提高
课本P97页，练习19.2(5)
教学反思
本节课一是在同学们在七年级第二学期学习了三角形全等的判定方法的基础上对“边边边”定理的补证。例题9利用图形的运动添辅助线的方法是本节课的难点，若是直接进行证明，大部分同学都将毫无头绪，因此结合本班的实际情况，先通过“作图”进行铺垫，再“从特殊到一般”进行证明。同学们在老师问题链的启发引导下，步步深入探究，突破难点，很好的完成了学习任务。体会到通过图形的运动把分散的已知条件集中在一个图形中的思考方法，体会构造基本图形以及补全图形的重要性，获得添辅助线的启示。例题10是通过添加恰当的辅助线把不熟悉的图形转化为我们熟悉的三角形进行证明。同学们证明的方法多，气氛比较活跃。通过一题多解丰富了同学们几何证明的经验。