湘教版（2012）初中数学八年级上册2.3 等腰三角形 课件（共32张ppt）

等腰三角形
本课内容
本节内容
2.3
我们前面已经学习了三角形的一些性质，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些特殊的性质呢？
探究
任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，如图.
作△ABC 关于顶角平分线AD所在直线的轴反射，
由于∠1=∠2，AB=AC，因此：
D
1
2
射线AB的像是射线AC，
射线AC的像是射线 ；
线段AB的像是线段AC，
线段AC的像是线段 ；
点B的像是点C，
点C的像是点 ；
线段BC的像是线段CB.
从而等腰三角形ABC关于直线 对称.
AB
AB
B
AD
由于点D的像是点D，
因此线段DB的像是线段 ，
从而AD是底边BC上的 .
由于射线DB的像是射线DC，
射线DA的像是射线 ，
因此∠BDA ∠CDA= °，
从而AD是底边BC上的 .
由于射线BA的像是射线CA，
射线BC的像是射线 ，
因此∠B ∠C.
DC
中线
DA
=
90
高
CB
=
结论
由此得到等腰三角形的性质定理：
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
等腰三角形的两底角相等( 简称“等边对等角”).
结论
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”).
动脑筋
因为△ABC是等边三角形，
所以AB=BC=AC，
从而∠C=∠A=∠B.
由三角形内角和定理可得：
∠A=∠B=∠C=60°.
如图，△ABC是等边三角形，那么∠A，∠B，∠C 的大小之间有什么关系呢？
由此得到等边三角形的如下性质：
等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.
结论
由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E
在边BC上，且AD=AE.
求证：BD=CE.
举
例
证明 作AF⊥BC，垂足为点F，
则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线.
∴ BF=CF，
∴ BF-DF=CF-EF，
DF=EF，
即 BD=CE.
F
如图的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅锤线上.
（1）AD与BC是否垂直，试说明理由.
（2）这时BC处于水平位置，为什么？
议一议
练习
1. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上
的高，∠BAC=49°，BC= 4，求∠BAD的度
数及DC的长.
答：∠BAD=24.5°，
DC=2.
2. 如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一
点，且∠APD= 80°，AD=AP，求∠DPC
的度数.
答：∠DPC =20°.
我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
探究
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？
我测量后发现AB与AC相等.
3cm
3cm
事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C.
沿过点A的直线把∠BAC对折，
得∠BAC的平分线AD交BC于点D，
则∠1=∠2.
又∠B=∠C，
由三角形内角和的性质得
∠ADB=∠ADC.
D
1
2
沿AD所在直线折叠，
由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，
所以射线DB与射线DC重合，
射线AB与射线AC重合.
从而点B与点C重合，
于是AB=AC.
结论
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).
结论
三个角都是60°的三角形是等边三角形.
由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角形的判定定理：
例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E
分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.
求证：△ADE为等腰三角形.
举
例
证明 ∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C.
又∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴ ∠ADE=∠AED.
于是△ADE为等腰三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？
动脑筋
如图，在等腰三角形ABC中，
AB=AC.
由三角形内角和定理得
∠A+∠B+∠C= 180°.
如果顶角∠A=60°，
则∠B+∠C= 180°-60°=120°.
又 AB=AC，
∴ ∠B=∠C.
∴ ∠B=∠C=∠A=60°.
∴ △ABC是等边三角形.
由此得到另一条等边三角形的判定定理：
结论
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
例3 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E
分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.
求证：△ADE是等边三角形.
举
例
证明 ∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠C= 60°.
∵∠EAD=∠BAC= 60°，
又 AD =AE，
∴△ADE是等边三角形
（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
练习
1. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和
∠ACB的平分线相交于点O.
求证：△OBC为等腰三角形.
A
B
C
D
E
O
证明
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ ∠ABD =∠DBC= ，

∠ACE =∠ECB= ，
∴ ∠DBC =∠ECB，
∴ △OBC是等腰三角形.
又∵ △ABC是等腰三角形，
∴ ∠ABC =∠ACB，
A
B
C
D
E
O
2. 已知：如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE
交BC的延长线于点E，且∠ACE= 60°.
求证：△ACE是等边三角形.
证明
∵CD平分∠ACB，
∴ 在△ACE中，∠CAE= 180°- ∠E -∠ACE =60 °
又∵∠ACE=60°，
∴ ∠BCD=∠E=60°，
∴ ∠ACD =∠DCB，
∴ ∠ACD=∠DCB=60°，
又 ∵ AE∥DC，
∴ ∠CAE = ∠ACE=∠E=60°
∴△ACE是等边三角形.
3. 已知：如图，AB=BC ，∠CDE= 120°，
DF∥BA，且DF平分∠CDE.
求证：△ABC是等边三角形.
证明
∵ AB=BC，
∴△ABC是等边三角形.
又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.
∴ ∠FDC=∠ABC=60°，
∴ △ABC是等腰三角形，
∴ ∠EDF=∠FDC=60°，
又∵DF∥BA，
中考 试题
例1
等腰三角形两边长分别是2cm和5cm，则这个三角形周长为（ ）
A.9cm B.12cm
C.9cm或12cm D.14cm
B
解析
另一边长为2cm或5cm，2，2，5不符合三角形三边关系定理，故选5.
∴周长为5+5+2=12cm.
中考 试题
例2
若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A. 50° B. 80°
C. 65°或50° D. 50°或80°
解析
因为50°可作为等腰三角形的一顶角或一底角，故选D.
D
结 束