北师大版九年级数学上册《2.2 用配方法求解一元二次方程》 同步练习（word版含答案）

2.2 用配方法求解一元二次方程
一．选择题
1．用配方法解方程2x2﹣x﹣1＝0，变形结果正确的是（　　）
A．（x﹣）2＝ B．（x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝
2．不论x取何值，x﹣x2﹣1的值都（　　）
A．大于等于﹣ B．小于等于﹣
C．有最小值﹣ D．恒大于零
3．若x2+mx+19＝（x﹣5）2﹣n，则m+n的值是（　　）
A．﹣16 B．16 C．﹣4 D．4
4．若a2+6a+b2﹣4b+13＝0，则ab的值是（　　）
A．8 B．﹣8 C．9 D．﹣9
5．若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0
6．若A＝10a2+2b2﹣7a+6，B＝a2+2b2+5a﹣1，则A﹣B的值是（　　）
A．正数 B．负数 C．0 D．可正可负
7．若a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．不能确定
8．已知代数式﹣m2+4m﹣4，无论m取任何值，它的值一定是（　　）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
9．《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（　　）
A．6 B．3﹣3 C．3﹣2 D．3﹣
二．填空题
10．将一元二次方程x2﹣6x+5＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则ab＝　 　．
11．已知关于x的方程（2x﹣1）2＝3﹣k没有实数根，那么k的取值范围是　 　．
12．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3＝0，则y﹣x的最大值为　 　．
13．设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为　 　．
14．如果（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝63，那么a2+b2的值为　 　．
三．解答题
15．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．
16．解方程：4x2﹣8x+1＝0．
17．用配方法解方程：3x2+6x﹣1＝0．
18．如果x2﹣10x+y2﹣16y+89＝0，求的值．
19．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，请你根据此条件判断这个三角形的形状，并说明理由．
20．用配方法证明x2﹣4x+5的值不小于1．
21．对于二次三项式x2﹣10x+36，小聪同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11．你是否同意他的说法？说明你的理由．
22．[阅读材料]
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）
②求x2+6x+11的最小值．
解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝（x+3）2+2；
由于（x+3）2≥0，
所以（x+3）2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　；
（2）用配方法因式分解：a2﹣12a+35；
（3）用配方法因式分解：x4+4；
（4）求4x2+4x+3的最小值．
23．先阅读下面的内容，再解答问题．
【阅读】例题：求多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值．
解：m2+2mn+2n2﹣6n+13＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）+4＝（m+n）2+（n﹣3）2+4，
∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2+4≥4
∴多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值是4．
【解答问题】
（1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是　 　；
（2）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求第三边c的取值范围；
（3）求多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7的最大值．
参考答案
一．选择题
1．解：∵2x2﹣x﹣1＝0
∴2x2﹣x＝1
∴x2﹣x＝
∴x2﹣x+＝+
∴（x﹣）2＝
故选：D．
2．解：x﹣x2﹣1＝﹣（x2﹣x）﹣1＝﹣（x2﹣x+﹣）﹣1＝﹣[（x﹣）2﹣]﹣1＝﹣（x﹣）2+﹣1＝﹣（x﹣）2﹣
∵（x﹣）2≥0
∴﹣（x﹣）2≤0
∴﹣（x﹣）2﹣≤﹣
故选：B．
3．解：（x﹣5）2﹣n＝x2﹣10x+25﹣n，
∴x2+mx+19＝x2﹣10x+25﹣n，
∴m＝﹣10，25﹣n＝19，
解得，m＝﹣10，n＝6，
∴m+n＝﹣10+6＝﹣4，
故选：C．
4．解：已知等式变形得：（a2+6a+9）+（b2﹣4b+4）＝0，
即（a+3）2+（b﹣2）2＝0，
可得a+3＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝﹣3，b＝2，
则原式＝（﹣3）2＝9．
故选：C．
5．解：∵x2﹣m＝0，
∴x2＝m，
由x2﹣m＝0知m≥0，
故选：D．
6．解：A﹣B＝10a2+2b2﹣7a+6﹣a2﹣2b2﹣5a+1
＝9a2﹣12a+7
＝9[a2﹣a+]+7﹣9×
＝9（a﹣）2+3，
∵9（a﹣）2≥0，
∴9（a﹣）2+3＞0，即A﹣B＞0．
∴A﹣B的值是正数．
故选：A．
7．解：已知等式整理得：2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，
即（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）＝0，
变形得：（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，
∴a＝b＝c，
则△ABC为等边三角形，
故选：C．
8．解：∵﹣m2+4m﹣4＝﹣（m﹣2）2，
（m﹣2）2≥0，
∴﹣（m﹣2）2≤0，
故选：C．
9．解：x2+6x+m＝0，
x2+6x＝﹣m，
∵阴影部分的面积为36，
∴x2+6x＝36，
4x＝6，
x＝，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4＝36+9＝45，则该方程的正数解为﹣3＝3﹣3．
故选：B．
二．填空题
10．解：x2﹣6x+5＝0，
x2﹣6x＝﹣5，
x2﹣6x+9＝﹣5+9，
（x﹣3）2＝4，
所以a＝3，b＝4，
ab＝12，
故答案为：12．
11．解：∵关于x的方程（2x﹣1）2＝3﹣k没有实数根，
∴3﹣k＜0，
解得：k＞3，
故答案为：k＞3．
12．解：由x2+3x+y﹣3＝0得
y＝﹣x2﹣3x+3，把y代入y﹣x得：
y﹣x＝x2﹣3x+3﹣x＝﹣x2﹣4x+3＝﹣（x+2）2+3+4≤7，
∴y﹣x的最大值为7．
故答案为：7．
13．解：原式＝（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）+3＝4（x﹣y）2+（x+1）2+3，
∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，
即原式＝0+0+3＝3，
∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3．
故答案为：3．
14．解：设a2+b2＝x，
则（x+1）（x﹣1）＝63
整理得：x2＝64，
x＝±8，
即a2+b2＝8或a2+b2＝﹣8（不合题意，舍去）．
故答案为：8．
三．解答题
15．解：∵2x2﹣4x﹣1＝0，
∴2x2﹣4x＝1，
则x2﹣2x＝，
∴x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，
则x﹣1＝±，
∴x1＝，x2＝．
16．解：4x2﹣8x+1＝0，
移项得：4x2﹣8x＝﹣1，
方程两边都除以4得：x2﹣2x＝﹣，
配方得：x2﹣2x+12＝﹣+12，
即（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝±，
即x1＝，x2＝．
17．解：把方程x2+2x﹣＝0的常数项移到等号的右边，得
x2+2x＝，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2+2x+1＝+1
配方得（x+1）2＝，
开方得x+1＝±，
解得x＝±﹣1．
18．解：由已知x2﹣10x+y2﹣16y+89＝0，
得（x﹣5）2+（y﹣8）2＝0，
∴x＝5，y＝8，
∴＝．
19．解：△ABC为等边三角形．
理由：∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，
a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac＝0，
即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b＝c，△ABC为等边三角形．
20．证明：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，
∵无论x取何值，（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2+1≥1，
即x2﹣4x+5的值不小于1．
21．答：不同意．
方法一：当x2﹣10x+36＝11时；
x2﹣10x+25＝0；
（x﹣5）2＝0，
x1＝x2＝5．
方法二：不同意．
∵x2﹣10x+36＝（x﹣5）2+11；
当x＝5时，x2﹣10x+36＝（x﹣5）2+11＝11．
22．解：（1）a2+4a+4＝（a+2）2，
故答案为：4；
（2）a2﹣12a+35
＝a2﹣12a+36﹣1
＝（a﹣6）2﹣1
＝（a﹣6+1）（a﹣6﹣1）
＝（a﹣5）（a﹣7）；
（3）x4+4
＝x4+4+4x2﹣4x2
＝（x2+2）2﹣4x2
＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）；
（4）4x2+4x+3
＝4x2+4x+1+2
＝（2x+1）2+2，
∵（2x+1）2≥0，
∴（2x+1）2+2≥2，
∴4x2+4x+3的最小值为2．
23．解：（1）例题解答过程中因式分解运用的公式是完全平方公式，
故答案为：完全平方公式；
（2）a2+b2＝10a+8b﹣41，
a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，
（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0．
∵（a﹣5）2≥0，（b﹣4）2≥0，
∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，
∴a＝5，b＝4，
∴5﹣4＜c＜5+4，即1＜c＜9；
（3）原式＝﹣2x2+4xy﹣2y2﹣y2﹣6y﹣9+16
＝﹣2（x﹣y）2﹣（y+3）2+16，
∵﹣2（x﹣y）2≤0，﹣（y+3）2≤0，
∴多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7的最大值是16．