北师大版九年级数学上册《2.5 一元二次方程的根与系数的关系》 同步练习（Word版 含解析）

2.5 一元二次方程的根与系数的关系
一．选择题
1．某同学在解关于x的方程ax2+bx+c＝0时，只抄对了a＝1，b＝﹣8，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c是原方程的c的相反数，则原方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个根是x＝1 D．不存在实数根
2．一元二次方程x2+x﹣4＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
3．如果关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k＞1 D．k≤1且k≠0
4．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2﹣8＝0 B．2x2﹣4x+3＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．5x+2＝3x2
5．关于x的方程（m﹣3）x2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m＞1 C．m≥1且m≠3 D．m＞1且m≠3
6．关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．不确定
7．已知x1，x2是x2﹣4x+1＝0的两个根，则x1+x2是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
8．关于x的一元二次方程x2﹣5x+2p＝0的一个根为1，则另一根为（　　）
A．﹣6 B．2 C．4 D．1
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，设两根为x1，x2，则x1?x2的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
10．设一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x1x2+x2等于（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．3
二．解答题
11．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果x＝0是方程的一个根，求m的值及方程另一个根．
12．已知关于x的方程x2﹣4x+3﹣m＝0．
（1）若方程都有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
（2）若此方程的一个根为1，求m的值．
13．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围：
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值及该方程的根．
14．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个相等的实数根．
（1）求m的值；
（2）求此时方程的根．
15．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
16．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）
（1）求证：方程一定有两个实数根；
（2）若此方程的两根为不相等的整数，求整数m的值．
17．已知：关于x的一元二次方程x2+mx＝3（m为常数）．
（1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
18．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求﹣的值．
参考答案
一．选择题
1．解：x＝﹣1为方程x2﹣8x﹣c＝0的根，
1+8﹣c＝0，解得c＝9，
所以原方程为x2﹣8x+9＝0，
因为△＝（﹣8）2﹣4×9＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．解：△＝12﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
所以方程有两个不相等的两个实数根．
故选：B．
3．解：根据题意得：4﹣4k＞0且k≠0，
解得：k＜1且k≠0．
故选：B．
4．解：A、△＝02﹣4×（﹣8）＝32＞0，所以方程有两个不相等的实数解；
B、△＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，所以方程没有实数解；
C、△＝（﹣2）2﹣4×1＝0，所以方程有两个相等的实数解；
D、3x2﹣5x﹣2＝0，△＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）＞0，所以方程有两个不相等的实数解．
故选：C．
5．解：∵关于x的方程（m﹣3）x2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＞1且m≠3．
故选：D．
6．解：方程化为x2﹣5x+6﹣p2＝0，
∵△＝（﹣5）2﹣4（6﹣p2）
＝1+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．解：x1+x2＝4．
故选：D．
8．解：设方程的另外一个根为x2，
根据题意，得：1+x2＝5，
解得x2＝4，
∴方程的另外一根为4，
故选：C．
9．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，即△＝（﹣2）2﹣4m＝0，解得m＝1，
∴x1?x2＝1．
故选：A．
10．解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2，
x1?x2＝﹣3，
则x1+x1x2+x2
＝2﹣3
＝﹣1．
故选：B．
二．解答题
11．解：（1）根据题意得△＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0，
解得m＜2；
（2）把x＝0代入原方程得m﹣1＝0，
解得m＝1，
∴原方程变为x2﹣2x＝0
解方程得x1＝0，x2＝2，
∴方程的另一个根为x＝2．
12．解：（1）由题意可知：△＝16﹣4（3﹣m）＞0，
解得：m＞﹣1；
（2）将x＝1代入方程可得：1﹣4+3﹣m＝0，
解得：m＝0．
13．解：（1）依题意得△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，
解得：k＜：
（2）因为k＜且k为正整数，
所以k＝1或2，
当k＝1时，方程化为x2+2x﹣2＝0，△＝12，此方程无整数根；
当k＝2时，方程化为x2+2x＝0 解得x1＝0，x2＝﹣2，
所以k＝2，方程的有整数根为x1＝0，x2＝﹣2．
14．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）＝0，
解得m＝﹣；
（2）当m＝﹣时，方程整理为x2﹣x+＝0，
所以x＝，
所以x1＝x2＝．
15．（1）证明：∵△＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出，
由x1+x2+3x1x2＝1得﹣（2m+1）+3（m﹣2）＝1，
解得m＝8．
16．解：（1）由题意可知：m≠0时，
△＝（m+2）2﹣8m
＝m2+4m+4﹣8m
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
∴△≥0，
故不论m为何值时，方程总有两个实数根；
（2）由题意可知：△＞0，
∴m≠2，
∵mx2﹣（m+2）x+2＝0，
∴（x﹣1）（mx﹣2）＝0，
∴x＝1或x＝，
∵方程有两个不相等的整数根，
∴m＝±1或m＝﹣2，
∴整数m的值为1或﹣1或﹣2．
17．（1）证明：x2+mx﹣3＝0，
∵a＝1，b＝m，c＝﹣3
∴△＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（﹣3）＝m2+12，
∵m2≥0，
∴m2+12＞0，
∴△＞0，
∴无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为x1，
则 2?x1＝＝＝﹣3，
∴x1＝﹣
∴方程的另一个根为﹣．
18．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，
解得k＞﹣1．
∴k的取值范围为k＞﹣1；
（2）由根与系数关系得a+b＝﹣2，a?b＝﹣k，
﹣＝＝＝1．