人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 同步练习（Word版 含解析）

24.1.2
垂直于弦的直径
一．选择题
1．下列语句中不正确的有（　　）
①长度相等的弧是等弧；
②垂直于弦的直径平分弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
④平分弦的直径也必平分弦所对的两条弧；
⑤弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的动点，则线段OP长的最小值是（　　）
A．10
B．16
C．6
D．8
3．如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果半径为4，那么⊙O的弦AB长度为（　　）
A．2
B．4
C．2
D．4
4．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（　　）
A．8cm
B．10cm
C．16cm
D．20cm
5．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（　　）
A．5
B．4
C．
D．2
6．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　）
A．
B．3
C．3
D．4
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为（　　）
A．
B．
C．6
D．
8．如图，在⊙O中，弦AB＝8，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值是（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
9．如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则
S△PAB的最大值为（　　）
A．1
B．
C．
D．
二．填空题
10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的半径为　
　cm．
11．如图，射线PB，PD分别交圆O于点A，B和点C，D，且AB＝CD＝8．已知圆O半径等于5，OA∥PC，则OP的长度为　
　．
12．如图，⊙O与矩形ABCD的边AB、CD分别相交于点E、F、G、H，若AE+CH＝6，则BG+DF为　
　．
三．解答题
13．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．
（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；
（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．
14．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝1cm，⊙O的半径为3cm，∠DEB＝60°，求CD的长．
15．已知：如图，AB为⊙O的直径，OD∥AC．求证：点D平分．
16．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB＝6，求CD的长．
参考答案
一．选择题
1．解：①∵能够完全重合的弧是等弧，
∴①不正确；
②∵垂直于弦的直径平分弦，
∴②正确；
③∵圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，
∴③不正确；
④∵平分弦（不是直径）的直径也必平分弦所对的两条弧，
∴④不正确
⑤∵弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心，
∴⑤正确；
不正确的个数有3个，
故选：C．
2．解：过点O作OC⊥AB于C，连接OA，
∴AC＝AB＝×16＝8，
∵⊙O的半径r＝10，
∴OA＝10，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，
由垂线段最短得：当P与C重合时，OP最短＝OC＝6，
故选：C．
3．解：如图；过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA；
则AD＝BD，
由折叠的性质得：OD＝CD，
在Rt△OAD中，OD＝CD＝OC＝2，OA＝4；
根据勾股定理得：AD＝＝＝2，
∴AB＝2AD＝4；
故选：D．
4．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
故选：C．
5．解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，
∴AD＝AB＝5，
根据垂径定理，得
DE＝BE，
∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，
根据勾股定理，得
AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，
∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，
解得DE＝，
∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2＝．
故选：C．
6．解：连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC＝＝＝4，
故选：D．
7．解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，
∵DE∥BC，
∴MN⊥BC，DG⊥DE，
∴DG＝MN，
∵OM⊥DE，ON⊥BC，
∴DM＝EM＝DE，BN＝CN，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．
∴CH＝DH＝CD＝3，
∴OH＝＝＝4，
∴BH＝9，
∴BC＝＝3，
∴BN＝BC＝，
∴ON＝＝，
∵sin∠BCH＝＝，即＝，
∴DG＝，
∴MN＝DG＝，
∴OM＝MN﹣ON＝，
∴DM＝＝，
∴DE＝2DM＝．
故选：A．
8．解：作OH⊥AB于H，连接OA、OD，如图，
∴AH＝BH＝AB＝×8＝4，
∵CD⊥OC，
∴CD＝，
而OD为定值，OC最小时，CD最大，
∴当OC＝OH时，CD的值最大，
∴CD的最大值为4．
故选：B．
9．解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AD＝BD，
∵OD＝DC，
∴OD＝OA＝，
∴AD＝＝，AB＝2AD＝．
当点P为AB所对的优弧的中点时，△APB的面积最大，此时PD＝PO+OD＝1+＝．
∴△APB的面积的最大值为＝＝＝．
故选：C．
二．填空题
10．解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝12，
设OF＝xcm，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝12﹣x，MF＝6，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（12﹣x）2+62＝x2
解得：x＝7.5，
故答案为：7.5．
11．解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OP，如图，
∵AB＝CD，
∴OE＝OF，
而OE⊥AB，OF⊥CD，
∴PO平分∠BPD，
∴∠APO＝∠OPC，
∵OA∥PC，
∴∠AOP＝∠OPC，
∴∠APO＝∠AOP，
∴PA＝AO＝5，
∵OE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝4，
在Rt△AOE中，OE＝＝3，
在Rt△POE中，PO＝＝3．
故答案为3．
12．解：作OM⊥GH于M，OM交EF于N，如图，
∵EF∥GH，
∴OM⊥EF，
∴EN＝FN，GM＝HM，
易得四边形ABMN和四边形MNDC为矩形，
∴AN＝BM，DN＝CM，
∴BG+DF＝BM﹣GM+DN﹣NF
＝AN﹣HM+CM﹣EN
＝AN﹣EN+CM﹣HM
＝AE+CH
＝6．
故答案为6．
三．解答题
13．解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴∠CEF＝∠BFO＝90°
∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，
根据勾股定理可得：，
解得（舍弃）或，
∴BF＝4，AB＝2BF＝8．
（2）如图2中，作CH⊥AB于H．
∵OB⊥OC，
∴∠A＝∠BOC＝45°，
∵AH⊥CH，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∵AC＝CH，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，
∴四边形EFHC是矩形，
∴CH＝EF，
在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，
OE＝＝＝2，
∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，
∴∠FOB＝∠ECO，
∵OB＝OC，
∴△OFB≌△CEO（AAS），
∴OF＝EC＝，
∴CH＝EF＝3，
∴AC＝EF＝6．
14．解：作OP⊥CD于P，连接OD，如图所示：
则CP＝PD＝CD，
∵AE＝1cm，⊙O的半径为3cm，
∴OE＝OA﹣AE＝2cm，
在Rt△OPE中，∠DEB＝60°，
∴∠POE＝30°，
∴PE＝OE＝1cm，OP＝PE＝cm，
∴PD＝＝＝（cm），
∴CD＝2PD＝2cm．
15．证明：连接CB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB＝90°，
即OD⊥BC，
∵OD过O，
∴点D平分．
16．（1）证明：连接AC，如图所示：
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴，
∴AC＝AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF＝DF，
即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．
即△ACD是等边三角形，
∴∠FCD＝30°，
在Rt△COE中，OE＝OC，
∴OE＝OB，
∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB＝6，
∴OC＝AB＝3，
又∵BE＝OE，
∴OE＝，
∴CE＝＝＝，
∴CD＝2CE＝3．