2020-2021学年江苏泰州高三上数学第二次月考试卷 Word版含解析

2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷
一、选择题
?
1. 已知下列各角：①?120?②?240?③180?④495?，其中是第二象限角的是(? ? ? ? )




A.①② B.①③ C.②③ D.②④
?
2. 若扇形的中心角为120?，半径为3，则此扇形的面积为(? ? ? ? )




A.3π3 B.5π4 C.23π9 D.π
?
3. 三个数1πe，e1π，ln1π的大小关系为(? ? ? ? )


A.ln1π<1πeC.ln1π?
4. 欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e?i表示的复数在复平面中位于(? ? ? ? )




A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
?
5. 已知sin(π2+α)=35，α∈(0,?π2)，则sin(π+α)=( ? )




A.35 B.?35 C.45 D.?45
?
6. 已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x?3y=0(x≤0)上，则cosα?sinα的值为(? ? ? ? )




A.?15 B.?35 C.15 D.35
?
7. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=3x+m(m为常数)，则f(?log35)的值为(? ? ? ? )




A.4 B.?4 C.6 D.?6
?
8. 已知函数fx=x3，x≥0，?x，x<0，若函数gx=fx?|kx2?2x|?k∈R恰有4个零点，则k的取值范围是(? ? ? ? )


A.?∞,?12∪22,+∞ B.?∞,?12∪0,22
C.?∞,0∪0,22 D.?∞,0∪22,+∞
二、多选题
?
9. 下列化简正确的是(? ? ? ? )


A.tan(π+1)=tan1 B.sin(?α)tan(360??α)=cos?α
C.sin(π?α)cos(π+α)=tan?α D.cos(π?α)tan(?π?α)sin(2π?α)=1
?
10. 已知sinθ=?23，且cosθ>0，则(? ? ? ? )




A.tanθ<0 B.tan2θ>49 C.sin2θ>cos2θ D.sin2θ>0
?
11. 已知函数fx=3x?9,x≥0,xex,x<0,若fx的零点为α，极值点为β，则(? ? ? ? )


A.α=0 B.α+β=1
C.fx的极小值为?e?1 D.fx有最大值
?
12. 设函数fx的定义域为R，若存在常数M>0，使|fx|≤M|x|对一切实数x均成立，则称fx为“倍约束函数”．则下列函数是“倍约束函数”的有(? ? ? ? )
A.fx=2x
B.fx=x2+1
C.fx=sinx+cosx
D.fx是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有|fx1?fx2|≤2|x1?x2|
三、填空题
?
13. 计算sin40?sin100??sin50?sin10?=________．
?
14. 已知sinα?sinβ=63，cosα?cosβ=33，则cosα?β=________．
?
15. 已知α为锐角，sin(π3?α)=33，则cosα=________．
?
16. 若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为________．
四、解答题
?
17. 计算：
(1)已知sin2π4+α=23，求sin2α的值；

(2)已知α，β都是锐角，且cosα+β=?35，sinβ=1213，求cosα．
?
18. 化简下列各式：
(1)tan2π?α?sin?2π?α?cos6π?αcosα?π?sin5π?α；

(2)1+2sin290?cos430?sin250?+cos790?．
?
19. 已知函数f(x)=loga1+x1?x(a>0，a≠1)．
(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；

(2)若f(t2?t?1)+f(t?2)<0，求实数t的取值范围．
?
20. “既要金山银山，又要绿水青山”．某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路．打算在半圆弧上任选一点C（与A，B不重合），沿AC修一条直线段小路，在路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再沿弧BC修一条弧形小路，在小路的一侧（注意是一侧）种植绿化带，小路与绿化带的宽度忽略不计.

(1)设∠BAC=θ(弧度)，将绿化带的总长度表示为θ的函数f(θ)；

(2)求绿化带的总长度f(θ)的最大值.
?
21. 已知幂函数f(x)=x(2?k)(1+k)，k∈Z，且f(x)在(0,?+∞)上单调递增．
(1)求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；

(2)若F(x)=2f(x)?4x+3在区间[2a,?a+1]上不单调，求实数a的取值范围；

(3)试判断是否存在正数q，使函数g(x)=1?qf(x)+(2q?1)x在区间[?1,?2]上的值域为[?4,178]，若存在，求出q的值；若不存在，请说明理由．
?
22. 已知函数fx=alnx+x2（a为常数）．
(1)讨论函数fx的单调性；

(2)是否存在正实数a，使得对任意x1，x2∈1,e，都有|fx1?fx2|≤|1x1?1x2|，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；

(3)当a=1时， fx≤ex?bxx2+x2对?x∈0,+∞恒成立，求整数b的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
象限角、轴线角
【解析】
利用第二象限角的集合，判断即可.
【解答】
解：∵ 第二象限角的集合为：
x|90?+360?k∴ 其中是第二象限角的是：②?240?，④495?.
故选D.
2.
【答案】
D
【考点】
扇形面积公式
【解析】
??
【解答】
解：∵ 扇形的中心角为120?，即为2π3，半径为3，
∴ 扇形的弧长l=2π3×3=23π3，
∴ 扇形的面积S=12lr=12×23π3×3=π.
故选D.
3.
【答案】
A
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
利用对数函数性质，指数函数性质得到三个数的范围，再进行半径即可求解.
【解答】
解：∵ 0<1πe<1π0=1，e1π>e0=1，ln1π∴ ?ln1π<1πe故选A.
4.
【答案】
D
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
三角函数值的符号
【解析】
??
【解答】
解：由欧拉公式eix=cosx+isinx，可得e?i=cos(?1)+isin(?1)．
∵ ?π2∴ cos?1>0，sin?1<0，
∴ e?i表示的复数在复平面中位于第四象限.
故选D．
5.
【答案】
D
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
已知等式利用诱导公式化简求出cosα的值，再由α的范围利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，原式利用诱导公式化简后将sinα的值代入计算即可求出值．
【解答】
解：∵ sin(π2+α)=cosα=35，α∈(0,?π2)，
∴ sinα=1?cos2α=45，
∴ sin(π+α)=?sinα=?45．
故选D.
6.
【答案】
C
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
??
【解答】
解：∵ 角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x?3y=0(x≤0)上，
∴ 不妨令x=?3，则y=?4，r=5，
∴ cosα=xr=?35，sinα=yr=?45，
∴ cosα?sinα=15.
故选C.
7.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的求值
【解析】
由题设条件可先由函数在R上是奇函数求出参数m的值，求函数函数的解板式，再由奇函数的性质得到f(?log35)=?f(log35)代入解析式即可求得所求的函数值，选出正确选项
【解答】
解：∵ f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=3x+m(m为常数)，
∴ f(0)=30+m=0，解得：m=?1，
∴ 当x≥0时，f(x)=3x?1.
∵ log35>0，
∴ f(?log35)=?f(log35)=?(3log35?1)=?4.
故选B.
8.
【答案】
D
【考点】
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
问题转化为|kx?2|=f(x)|x|恰有3个实根，即y=|kx?2|与h(x)=f(x)|x|有3个不同的交点，再分三种情况：当k=0，k<0，k>0时，讨论两个函数是否能有3个交点，进而得出k的取值范围.
【解答】
解：∵ g0=0，
∴ 要使gx恰有4个零点，
只需方程|kx?2|=fx|x|恰有3个实根即可，
令hx=fx|x|，
即y=|kx?2|与hx=fx|x|的图象有3个不同交点．
∵ hx=fx|x|=x2，x>0，1，x<0，
∴ ①当k=0时，此时y=2，如下图所示：?
y=2与hx=fx|x|有1个交点，不满足题意；
②当k<0时，如下图所示：
此时y=|kx?2|与hx=fx|x|恒有3个交点，满足题意；
③当k>0时，如下图所示：
需证明当x>2k时，函数y=|kx?2|与hx=fx|x|的图象有2个交点，
当x>2k时，y=kx?2，h(x)=x2，
∴ Δ>0得k2?8>0，
解得k>22，
设两交点横坐标为x1，x2，且x1解出：x1=k?k2?82=4k+k2?8，
∵ k2?8∴ x1>42k=2k.
∴ k>22.
综上，k的取值范围为?∞,0∪22,+∞.
故选D．
二、多选题
9.
【答案】
A,B
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
由题意利用诱导公式化简所给的式子，可的结果．
【解答】
解：A，tan(π+1)=tan1，故A正确；
B，sin(?α)tan(360??α)=?sinα?tanα=cosα，故B正确；
C，sin(π?α)cos(π+α)=sinα?cosα=?tanα，故C错误；
D，cos(π?α)tan(?π?α)sin(2π?α)=?cosα?(?tanα)?sinα=?1，故D错误.
故选AB.
10.
【答案】
A,B
【考点】
二倍角的正弦公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
由同角三角函数的基本关系，求出cosθ及tanθ，进而得解．
【解答】
解：∵ sinθ=?23，且cosθ>0，
∴ cosθ=1?(?23)2=53，
∴ tanθ=sinθcosθ=?255<0；tan2θ=45>49；
49=sin2θ故选AB.
11.
【答案】
B,C
【考点】
利用导数研究函数的极值
函数的零点
【解析】
本题主要考查函数的零点和极值点的求法，掌握方法即可解得.
【解答】
解：∵ 当x≥0时，3x?9=0，解得：x=2，
∴ 函数fx的零点为2；
∵ 当x<0时，xex=0无解，
∴ 当x<0时，函数fx无零点.
综上所述，α=2.
当x≥0时，fx为增函数，此时fx无极值，也无最大值；
∵ 当x<0时，f′x=ex+xex=1+xex,
当x0，
∴ 函数fx在(?∞,?1)上单调递减，在(?1,0)上单调递增，
∴ 函数fx在x=?1处取得极小值，极小值点为?1，极小值为f(?1)=?e?1，
∴ β=?1，
∴ α+β=2?1=1.
故选BC.
12.
【答案】
A,D
【考点】
函数新定义问题
函数恒成立问题
【解析】
??
【解答】
解：A，∵ 对于函数fx=2x，存在常数M=2，
使|fx|≤M|x|对一切实数x均成立，
∴ 函数fx=2x是“倍约束函数”，故A正确；
B，∵ 对于函数fx=x2+1，当x=0时，fx=1，
∴ 不存在常数M>0，使|fx|≤M|x|对一切实数x均成立，
∴ 函数fx=x2+1不是“倍约束函数”，故B错误；
C，∵ 对于函数fx=sinx+cosx，当x=0时，fx=1，
∴ 不存在常数M>0，使|fx|≤M|x|对一切实数x均成立，
∴ 函数fx=sinx+cosx不是“倍约束函数”，故C错误；
D，∵ fx是定义在实数集R上的奇函数，
∴ f0=0.
∵ 当x1=x(x∈R)，x2=0时，
由|fx1?fx2|≤2|x1?x2|可得，|f(x)|≤2|x|成立，这样的M存在，
∴ 函数fx是“倍约束函数”，故D正确.
故选AD.
三、填空题
13.
【答案】
12
【考点】
两角和与差的正弦公式
诱导公式
【解析】
利用诱导公式将角度统一，结合两角和与差的正弦公式得到答案.
【解答】
解：sin40?sin100??sin50?sin10?
=sin40?sin90?+10??sin90??40?sin10?
=sin40?cos10??cos40?sin10?
=sin40??10?
=12.
故答案为：12.
14.
【答案】
12
【考点】
两角和与差的余弦公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
??
【解答】
解：∵ sinα?sinβ=63，cosα?cosβ=33，
∴ sinα?sinβ2=sin2α+sin2β?2sinαsinβ=23?①，
cosα?cosβ2=cos2α+cos2β?2cosαcosβ=13?②，
①+②得， 2?2sinαsinβ?2cosαcosβ=1，
∴ cosα?β=12.
故答案为：12.
15.
【答案】
12+66
【考点】
两角和与差的余弦公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
先利用同角关系式求出余弦值，结合两角和差的余弦公式进行拆角转化即可．
【解答】
解：∵ α为锐角，
∴ 0<α<π2，则?π2∵ sin(π3?α)=33，
∴ cos(π3?α)=1?(33)2=69=63，
∴ cosα=cos(?α)=cos[(π3?α)?π3]
=cos(π3?α)cosπ3+sin(π3?α)sinπ3
=63×12+33×32
=12+66.
故答案为：12+66.
16.
【答案】
y=12x+12
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
圆的切线方程
点到直线的距离公式
【解析】
??
【解答】
解：设直线l的方程为y=kx+b，
直线l与曲线y=x的切点为Ax0,y0，fx=x，
则f′(x)=12x，k=12x0，
∵ 点A在直线l上，
∴ y0=12x0?x0+b.
∵ y0=x0，
∴ x0=12x0?x0+b，
∴ b=12x0，
∴ 直线l的方程为y=12x0x+12x0，
化简得12x0x?y+12x0=0.
∵ 直线l与圆x2+y2=15相切，圆x2+y2=15的圆心为(0,0)，半径为55，
∴ 圆心(0,0)到直线l的距离等于半径，
∴ |12x0|12x02+(?1)2?=55x0≥0，解得：x0=1，
∴ 直线l的方程为12x?y+12=0，即y=12x+12.
故答案为：y=12x+12.
四、解答题
17.
【答案】
解：(1)∵ sin2(π4+α)=(22cosα+22sinα)2
=12(1+sin2α)=23，
∴ sin2α=13.
(2)∵ α，β都是锐角，cos(α+β)=?35，sinβ=1213，
∴ sin(α+β)=45，cosβ=513，
∴ cosα=cosα+β?β
=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ
=(?35)×513+45×1213
=3365.
【考点】
二倍角的正弦公式
两角和与差的正弦公式
两角和与差的余弦公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
?
?
【解答】
解：(1)∵ sin2(π4+α)=(22cosα+22sinα)2
=12(1+sin2α)=23，
∴ sin2α=13.
(2)∵ α，β都是锐角，cos(α+β)=?35，sinβ=1213，
∴ sin(α+β)=45，cosβ=513，
∴ cosα=cosα+β?β
=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ
=(?35)×513+45×1213
=3365.
18.
【答案】
解：(1)原式?=sin(2π?α)cos(2π?α)?sin(?α)?cos(?α)cos(π?α)?sin(π?α)
=?sinαcosα??sinα?cosα?cosαsinα=?tanα.
(2)原式=1+2sin(360??70?)cos(360?+70?)sin(180?+70?)+cos(720?+70?)
=1?2sin70?cos70??sin70?+cos70?
=|cos70??sin70?|cos70??sin70?
=sin70??cos70?cos70??sin70?=?1．
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
??
??
【解答】
解：(1)原式?=sin(2π?α)cos(2π?α)?sin(?α)?cos(?α)cos(π?α)?sin(π?α)
=?sinαcosα??sinα?cosα?cosαsinα=?tanα.
(2)原式=1+2sin(360??70?)cos(360?+70?)sin(180?+70?)+cos(720?+70?)
=1?2sin70?cos70??sin70?+cos70?
=|cos70??sin70?|cos70??sin70?
=sin70??cos70?cos70??sin70?=?1．
19.
【答案】
解：(1)1+x1?x>0?x∈(?1,1)，定义域关于原点对称，
任意取x∈(?1,?1)，
f(?x)=loga1?x1+x=loga(1+x1?x)?1=?loga1+x1?x=?f(x)，
故函数f(x)是奇函数．
(2)∵ 当x∈(?1,?1)时，1+x1?x=?1+21?x单调递增，
∴ 当a>1时，f(x)在(?1,1)上单调递增；
当0∵ 函数f(x)是奇函数，
∴ f(t2?t?1)+f(t?2)<0?f(t2?t?1)当a>1时，?1当0【考点】
函数恒成立问题
奇偶性与单调性的综合
函数奇偶性的判断
【解析】
（1）求出函数的定义域，利用奇偶性的定义判断函数f(x)的奇偶性；
（2）判断函数的单调性，然后通过f(t2?t?1)+f(t?2)<0，求实数t的取值范围．
【解答】
解：(1)1+x1?x>0?x∈(?1,1)，定义域关于原点对称，
任意取x∈(?1,?1)，
f(?x)=loga1?x1+x=loga(1+x1?x)?1=?loga1+x1?x=?f(x)，
故函数f(x)是奇函数．
(2)∵ 当x∈(?1,?1)时，1+x1?x=?1+21?x单调递增，
∴ 当a>1时，f(x)在(?1,1)上单调递增；
当0∵ 函数f(x)是奇函数，
∴ f(t2?t?1)+f(t?2)<0?f(t2?t?1)当a>1时，?1当020.
【答案】
解：(1)设圆心为O，连结OC?，BC.
在直角△ABC中，AC=ABcosθ=100cosθ，
弧BC的长=50×2θ=100θ，
所以绿化带的总长度为f(θ)=200cosθ+100θ?，其中θ∈(0,π2).
(2)f′(θ)=?200sinθ+100,θ∈(0,π2),
令f′(θ)=0，可得sinθ=12，
所以θ=π6.
当θ∈(0,π6)时，f′(θ)>0，f(θ)单调递増；
当θ∈(π6,π2)时，f′(θ)<0,f(θ)?单调递减；
所以f(θ)max=f(π6)=200×32+100×π6=1003+50π3，
所以绿化带的总长度f(θ)的最大值为(1003+50π3)米 .
【考点】
利用导数研究函数的最值
在实际问题中建立三角函数模型
弧长公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设圆心为O，连结OC?，BC.
在直角△ABC中，AC=ABcosθ=100cosθ，
弧BC的长=50×2θ=100θ，
所以绿化带的总长度为f(θ)=200cosθ+100θ?，其中θ∈(0,π2).
(2)f′(θ)=?200sinθ+100,θ∈(0,π2),
令f′(θ)=0，可得sinθ=12，
所以θ=π6.
当θ∈(0,π6)时，f′(θ)>0，f(θ)单调递増；
当θ∈(π6,π2)时，f′(θ)<0,f(θ)?单调递减；
所以f(θ)max=f(π6)=200×32+100×π6=1003+50π3，
所以绿化带的总长度f(θ)的最大值为(1003+50π3)米 .
21.
【答案】
解：(1)由题意知，(2?k)(1+k)>0，解得：?1∵ k∈Z，
∴ k=0或k=1，分别代入原函数，得f(x)=x2．
(2)由已知得，F(x)=2x2?4x+3，
要使函数F(x)在区间[2a,a+1]上不单调，
则2a<1即实数a的取值范围是(0,12).
(3)由已知得，g(x)=?qx2+(2q?1)x+1．
假设存在这样的正数q符合题意，
则函数g(x)的图象是开口向下的抛物线，
其对称轴为x=2q?12q=1?12q<1，
∴ 函数g(x)在[?1,?2]上的最小值只能在x=?1或x=2处取得.
∵ g(2)=?1≠?4，
∴ 必有g(?1)=2?3q=?4，解得：q=2．
此时，g(x)=?2x2+3x+1，其对称轴x=34∈[?1,2]，
∴ g(x)在[?1,?2]上的最大值为g(34)=?2×(34)2+3×34+1=178，符合题意，
∴ 存在q=2，使函数g(x)=1?qf(x)+(2q?1)x在区间[?1,?2]上的值域为[?4,178]．
【考点】
二次函数的性质
幂函数的性质
函数的值域及其求法
【解析】
（1）由已知f(x)在(0,?+∞)上单调递增，结合幂函数的单调性与指数的关系可构造关于k的不等式，解不等式求出实数k的值，并得到函数f(x)的解析式；
（2）由（1）中结果，可得函数F(x)的解析式，结合二次函数的图象和性质，可构造关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值范围；
（3）由（1）中结果，可得函数g(x)的解析式，结合二次函数的图象和性质，可求出q的值．
【解答】
解：(1)由题意知，(2?k)(1+k)>0，解得：?1∵ k∈Z，
∴ k=0或k=1，分别代入原函数，得f(x)=x2．
(2)由已知得，F(x)=2x2?4x+3，
要使函数F(x)在区间[2a,a+1]上不单调，
则2a<1即实数a的取值范围是(0,12).
(3)由已知得，g(x)=?qx2+(2q?1)x+1．
假设存在这样的正数q符合题意，
则函数g(x)的图象是开口向下的抛物线，
其对称轴为x=2q?12q=1?12q<1，
∴ 函数g(x)在[?1,?2]上的最小值只能在x=?1或x=2处取得.
∵ g(2)=?1≠?4，
∴ 必有g(?1)=2?3q=?4，解得：q=2．
此时，g(x)=?2x2+3x+1，其对称轴x=34∈[?1,2]，
∴ g(x)在[?1,?2]上的最大值为g(34)=?2×(34)2+3×34+1=178，符合题意，
∴ 存在q=2，使函数g(x)=1?qf(x)+(2q?1)x在区间[?1,?2]上的值域为[?4,178]．
22.
【答案】
解：(1)∵ f′(x)=ax+2x=2x2+ax，x∈(0,+∞),
∴ ①若a≥0，则f′(x)>0恒成立?函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
②若a<0，则f′(x)=2x2+ax=2(x+?a2)(x??a2)x，
令f′(x)>0，解得：x>?a2；令f′(x)<0，解得：0∴ 函数f(x)在0,?a2上单调递减，在?a2,+∞上单调递增.
综上，当a≥0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a<0时，函数f(x)在0,?a2上单调递减，在?a2,+∞上单调递增.
(2)满足条件的正实数a不存在．理由如下：
由(1)可知，当a>0时，函数f(x)=alnx+x2在1，e上为增函数.
不妨设1≤x1≤x2≤e，
则f(x1)?f(x2)≤1x1?1x2，即f(x2)+1x2≤f(x1)+1x1，
∴ g(x)=f(x)+1x在1,e上单调递减，
∴ g′(x)=ax+2x?1x2≤0在1,e上恒成立，
即a≤1x?2x2在1,e上恒成立.
∵ y=1x?2x2在1,e上单调递减，
∴ a≤1e?2e2<0，
∴ 满足条件的正实数a不存在．
(3)当a=1时，f(x)≤ex?bxx2+x2对?x∈(0,+∞)恒成立，
即lnx≤ex?bxx2对?x∈(0,+∞)恒成立，
∴ 当x=1时，b≤e.
∵ b∈Z，
∴ b≤2.
下面证明：当b=2时，lnx≤ex?bxx2对?x∈(0,+∞)恒成立.
当b=2时，lnx≤ex?bxx2，即2x+lnx≤exx2.
设g(x)=exx2?2x?lnx(x>0)，
则g′(x)=ex?x(x?2)x3，易知，ex?x>0，
∴ 当x∈(0,2)时，g′(x)<0；当x∈(2,+∞)时，g′(x)>0，
∴ g(x)≥g(2)=e2?4?4ln24>2.72?4?4ln24>3?4ln24>0，
即当b=2时，lnx≤ex?bxx2对?x∈(0,+∞)恒成立，
∴ bmax=2.
【考点】
利用导数研究函数的最值
函数恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
??
?
? ?
【解答】
解：(1)∵ f′(x)=ax+2x=2x2+ax，x∈(0,+∞),
∴ ①若a≥0，则f′(x)>0恒成立?函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
②若a<0，则f′(x)=2x2+ax=2(x+?a2)(x??a2)x，
令f′(x)>0，解得：x>?a2；令f′(x)<0，解得：0∴ 函数f(x)在0,?a2上单调递减，在?a2,+∞上单调递增.
综上，当a≥0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a<0时，函数f(x)在0,?a2上单调递减，在?a2,+∞上单调递增.
(2)满足条件的正实数a不存在．理由如下：
由(1)可知，当a>0时，函数f(x)=alnx+x2在1，e上为增函数.
不妨设1≤x1≤x2≤e，
则f(x1)?f(x2)≤1x1?1x2，即f(x2)+1x2≤f(x1)+1x1，
∴ g(x)=f(x)+1x在1,e上单调递减，
∴ g′(x)=ax+2x?1x2≤0在1,e上恒成立，
即a≤1x?2x2在1,e上恒成立.
∵ y=1x?2x2在1,e上单调递减，
∴ a≤1e?2e2<0，
∴ 满足条件的正实数a不存在．
(3)当a=1时，f(x)≤ex?bxx2+x2对?x∈(0,+∞)恒成立，
即lnx≤ex?bxx2对?x∈(0,+∞)恒成立，
∴ 当x=1时，b≤e.
∵ b∈Z，
∴ b≤2.
下面证明：当b=2时，lnx≤ex?bxx2对?x∈(0,+∞)恒成立.
当b=2时，lnx≤ex?bxx2，即2x+lnx≤exx2.
设g(x)=exx2?2x?lnx(x>0)，
则g′(x)=ex?x(x?2)x3，易知，ex?x>0，
∴ 当x∈(0,2)时，g′(x)<0；当x∈(2,+∞)时，g′(x)>0，
∴ g(x)≥g(2)=e2?4?4ln24>2.72?4?4ln24>3?4ln24>0，
即当b=2时，lnx≤ex?bxx2对?x∈(0,+∞)恒成立，
∴ bmax=2.