课题名称
8
数学广角——数与形
教学目标
发现“有几个奇数相加，每边的小正方形就是几”的规律
重难点分析
重点分析
本课题第一次正式讲解数形结合思想，题目设计巧妙，在观察图形发现规律中，需要具有一定的观察发现能力；在动手画图上，有需要具有一定的动手画图的能力。这两方面都要求思维活跃，大胆猜想。
难点分析
学生第一次接触数形结合思想，数形结合思想接触较少，所以第一次正式运用，接受难度较大；学生的思维定势，突破定势联想方面能力较弱；需要学生具有较高的观察动手能力。
教学方法
通过简单的数字引出图形，引发学生思考数字与图形的关系；
设计简单问题引发学生观察出图形与算式的联系；
引导学生自己说出发现的规律，加以练习巩固规律。
教学环节
教学过程
导入
想象引入：让我们一起进如数学的世界，数学中数字和图形市密不可分的，看到下面的数字你能想到什么图形？
（课件出示）1?，边长为1的正方形；2?，边长为2的正方形；3?，边长为3的正方形；
师：这就是数形结合思想，数形结合不仅是一种思想，更是解决问题一种方法。
出示题目。
1+3=
1+3+5=
1+3+5+7=
1+3+5+...+19=
引导：这样的简单加法计算并不难算，只是比较耗时繁琐。这是我们不妨考虑数形结合方法。把问题变得简单。
知识讲解
（难点突破）
出示下面图形
观察图形，我们先来数一数每个图形有几个小正方形？
提问：你发现了什么？（指名回答）
师：我们不难发现，正方形的个数：1、2×2、3×3、4×4，正方形的个数=每边正方形个数的乘积。
追问：观察图形你能联想出之前的算式吗？我们不妨涂上颜色再来看一看。
出示图形
再次观察，你能发现每种颜色的正方形有什么关系？（引导学生讨论回答）
师：每个正方形的
都是奇数，每次增加都是连续的奇数。
师：这样，我们就把算式和图形联系了起来，原来这样的算式是计算小正方形的个数。观察图形和算式，填写表格。
出示表格
11+3=41+3+5=91+3+5+7=16奇数的个数1234每边正方形个数1234正方形的个数14=2?9=3?16=4?
引导发现：
（1）加数都是（连续的奇数）
（2）每边正方形的个数=（奇数的个数）
（3）连续的奇数和=（正方形的）个数=（每边正方形个数）的平方=（奇数个数）的平方
（括号中的设计为填空，检查巩固学生发现学习的情况）
小结：因为，这些奇数都是从1开始，所以我们可以得出，
从1开始，连续的奇数和=奇数个数的平方。
课堂练习
（难点巩固）
精讲实练
（1）出示题目
1＋3＋5＋7＝（
）?=（
）
1＋3＋5＋...＋19＝（
）?=（
）
1＋3＋5＋...＝（
）?
n个
出示题目
1＋3＋5＋7＋5＋3＋1=（
）
1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1=（
）
作简单点播。
（3）7＋9＋11＋13＋15=（
）
教师讲解后，出示练习题。
5＋7＋9＋11=（
）
7＋9＋11＋13=（
）
9+7+5+3=（
）
小结
5.今天你学会了什么？
本节课我们学会了通过画正方形的方法，解决了求解连续奇数和的问题。发现了从1开始连续的奇数之和等于奇数个数的平方的规律。认识了数形结合的思想。课题名称
《数与形》
教学目标
由数与形之间的转化
重难点分析
重点分析
引导学生探索在数与形之间建立联系，发现规律正确规律，运用规律进行计算具有一定的难度。
难点分析
在动手操作的过程中有意识的画图，由图转化成图，再由图转化成算式，从而计算出从1起连续几个奇数的和，这需要发挥空间想象能力。
教学方法
通过画一画，算一算，经历猜想，操作，多次验证，讨论和归纳等直观的数学活动，探索出抽象出求从1起连续几个奇数的和的计算方法。
教学环节
教学过程
导入
首先让老师来考考大家的口算能力，看看谁算的最快？老师再让大家仔细观察这些题有什么特点？都是求一个自然数的平方。自然数是一个大家族，在0除外的自然数中，奇数有哪些？偶数有哪些？2.有些数学问题借助图形来分析，更直观，更容易解答。今天，我们就一起探索数与形的关系。
知识讲解（难点突破）
探索交流，解决问题。（一）学习例11、出示例1中的三幅图，观察一下，所出示的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。1=（
）2
1+3=（
）2
1+3+5=（
）22、分小组讨论，画一画这几幅图，观察、发现规律。3、展示画图，汇报交流。4、总结出规律。5、你能用规律直接写一写吗？如果有困难，可以画图来帮助。1+3+5+7=1+3+5+7+9+11+13=
=92（二）练习：第108页的做一做1、2题。（三）小结：数与形的关系
课堂练习（难点巩固）
请根据例1的结论算一算。1＋3＋5＋7＋5＋3＋1
＝（
）1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（
）2、下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？红色小正方形的个数=蓝色小正方形的个数×2＋6红色小正方形的个数=蓝色小正方形的个数×2＋6
小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？（通过学习，学会了求从1起连续几个奇数的和的方法。）课题名称
第八单元数学广角-数与形
教学目标
发现“有几个奇数相加，每边的小正方形就是几”的规律
重难点分析
重点分析
通过算式与图形结合找出有几奇数相加，每边的小正方形就是几
难点分析
学生通过结合算式与图形找出规律后重点在于运用
教学方法
用字母、运算符号表示一般规律。创设问题情境，激发学生的求知欲，让学生主动的从事观察，实验，猜测，验证，推理与交流，并归纳总结。
教学环节
教学过程
导入
师：老师想先带着大家欣赏一些图片。师分别出示四幅图让生猜。师：看到这些图片你们都熟悉么？你有什么发现？师：我们可能通过图形得出数，也可以通过数画出很多形，数和形是相伴的。（师出示华罗庚）华罗庚说过：“数无形时少直觉，形无数时难入微。数与形是有关系的，说的就是数能帮助形，形能解开数。今天就让我们在数与形中去体会数学吧！师板书：数与形
知识讲解（难点突破）
1、由算式引出图形师课件出示：1+3=（
）师：你能很快的说出答案吗？（4）1+3+5=（
）
（9）1+3+5+7=（
）
（16）师：你们是怎样这么快就算出来的？肯定学生用之前的1+3+5的结果直接加7就可以师：观察这三道算式你们知道接下来我要写的算式是什么吗？生：1+3+5+7+9师：为什么？引导生得出：加数都是连续的奇数师在这里强调：是从1开始的连续奇数相加
板书师小结：我们发现了这些算式都是从1开始的连续的奇数，师：我们观察出了它们的加数是有规律的，那再观察它们的得数有没有什么规律？师：1、4、9、16引导生发现是两个相同的数相乘所得的结果2、结合图形找规律师：1×1=1?
、2×2=2?、3×3=3?、4×4=4?你们通过算式能想到什么图形？生：正方形师：正方形的面积等于边长乘边长，那是不是意思就是可以把这些算式转化成为图形呢？我们一起来动手试试吧师先出示
师：这是一个边长为1的正方形，它的面积怎样计算？生：1×1=1?课件显示：师：接下来的图形可以怎样拼呢？谁上来动手拼一拼？生上台拼出
师：通过数格子的方式，这个正方形的面积是几？（4）列式呢？（1+3）师：“1”在哪？“3”在哪？生指出师标出师：按照这个规律，要将它变为更大的正方形，需要添几个小正方形呢？你能模仿刚才列式么吗？生：需要再添5个小正方形，列式为1+3+5师板书：1+3+5=（3?）
师：接下来我们需要再添几个小正方形呢？生：拼出一个边长为4的正方形，面积是4×4板书：1+3+5+7=（4?）师出示图形让生列式师：根据图形列出算式并计算结果师课件出示5?、1+3+5+7+9板书：1+3+5+7+9=5?师：接下来的算式怎样列？图形怎样画？生：1+3+5+7+9+11=6?师呈现算式：1=1?1+3=2?1+3+5=3?1+3+5+7=4?1+3+5+7+9=5?1+3+5+7+9+11=6?师：结合图形与算式你们发现每组算式与结果之间的关系了吗？生：加数是几个，结果就是几的平方师：任选一个式子来验证你的想法生任选一个来验证想法师出示：1+3+5+9+……+(2n+1)的和呢？生：n?师小结：我们通过图形与列式发现，从1开始的连续奇数相加的得数是加数个数的平方。
课堂练习（难点巩固）
①你能利用规律直接写一写吗？1+3+5+7=（
）师在这个过程中强调有几个加数②1+3+5+7+9+11+13=(
)③
=9?④1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=（
）⑤请根据结论算一算1+3+5+7+5+3+1=（
）师进行引导并讲解1+3+5+7+5+3+1把它分成两部分1+3+5+7=4?5+3+1=3?就等于4?+3?=16+9=25我们可以再把这个式子变换一下3?+4?=5?师：3?+4?=5?我们可以把它看作一个直角三角形
3、4分别是它的两条直角边，5就是它的斜边。我们把这个称之为“勾股定理”。这可是咱们初中要学的知识了。
小结
同学们，数可以表示形，形可以解数，数与形是相互依存的。让我们一起来看看我们身边的数与形结束今天的课吧！
1
1?
1?
2?
1
3
1
1+3
1?
2?
3?
1
1+3
1+3+5
1
1+3
1+3+5
1+3+5+7
1+3+51+3+5+77
1?
2?
3?
4?
n个《数与形
例1》教学设计
课题
数与形
例1
所属学科
数学
学时安排
1课时
年级
六年级
所选教材
人教版六年级上册
一、学习内容分析
1．学习目标描述（知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观）
知识与技能：会借助图形探索从1开始连续奇数的和与平方数之间的关系，并会应用所发现的规律去巧妙地计算。过程与方法：借助小正方形图，让学生在操作、观察、分析、比较的基础上，通过抽象、归纳，发现一般的规律，进一步体会数与形的联系，培养学生通过数与形结合来分析思考问题的能力。情感态度与价值观：
在解决数学问题的过程中，体会数学和生活的密切联系，增强学习数学的兴趣。
2．学习内容与重重难点分析
数形结合是一种非常重要的数学思想，把数与形结合起来解决问题可使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。本节课的教学内容为例1。例1是通过数形结合，让学生探索从1开始的连续奇数之和与平方数（即正方形数）之间的关系。在学生发现规律后，让学生应用规律解决问题。练习的设计突出形与数对照，通过探索形的变化规律来理解数的变化规律。本节课的教学重点是借助“形”与“数”之间的关系，培养学生用“数形结合”的思想解决实际问题。教学难点是理解“从1开始的连续奇数相加的和等于加数个数的平方”的原理。
项目
内容
应对措施
教学重点
借助“形”与“数”之间的关系，培养学生用“数形结合”的思想解决实际问题。
在教学中，让学生动手、动口，多种感官参加学习，使操作、观察相结合以激发学生多向思维。充分利用小学生的形象思维特点，利用图形来解释、演示、帮助理解抽象的数。
教学难点
理解“从1开始的连续奇数相加的和等于加数个数的平方”的原理。
利用交互式电子白板的多种功能使探究过程直观化。
二、学情分析
六年级的学生已经有了一定的学习方法，他们愿意从动手操作中去观察、去思考，探究的兴趣浓厚。他们除了对动画感兴趣外，他们也能通过观察去分析思考要学的内容。这个阶段的学生也渴望得到教师的肯定与鼓励，课堂中教师对于他们要多加表扬与肯定。教师在教学过程中可以通过数形结合的方法，利用图形的规律，从不同角度，用自己的语言描述出数列的通用模式。
三、流程规划与活动设计
1．教学流程设计
教学环节
教学过程
媒体作用及分析
游戏导入
1.拆礼物盒拆拆看，礼物盒里有什么？（学生口算1+3=，1+3+5=，1＋3＋5＋7=）观察气球上的数字，你有什么发现？（奇数）由这些奇数组成的算式，你还能一口气说出结果吗？2.揭示课题师：这节课就进一步来探究这个有趣的问题：如何快速计算从1开始连续奇数相加的和？【板书：数与形
从1开始连续奇数的和】（设计意图：引导学生在对比式、冲突式具体情境中发现问题、提出问题，激发学生的好奇心和求知欲；以问题为驱动，引发学生积极思考、动手探究、合作交流。）
通过触发动画设计拆礼物盒的游戏，激发学生的好奇心和求知欲。
探究新知
⒈小组合作，根据算式摆小正方形。师：我们从最简单的运算入手，请这些不同颜色的小正方形来帮忙。出示算式1+3。小组合作：用4个小正方形摆出不同的图形。思考：怎么拼能更快的算出小正方形的个数？手机端投屏展示学生拼图成果。师：我们继续拼摆：1+3+5。出示已有1+3
的正方形图。师：再增加5个小正方形，还能拼成更大的正方形吗？指名学生上台展示问：现在拼成了更大的正方形，你能根据图形说出1+3+5的结果吗？（设计意图：学生自主动手用小正方形摆出算式1+3、1+3+5，经历了将数转化为形的过程，理解了数与形之间的联系，感悟到了数形结合、数形对应的数学方法）⒉根据拼图，探究算法。师：同学们，让我们回过头来看一看，我们如何计算每个大正方形中小正方形的个数？师：单独一个小正方形，如何用算式来表示它的个数？师：要想知道可以摆成几列几行，其实看什么数就行了？（设计意图：学生在计算每个大正方形所含小正方形的总个数时，是通过观察、思考，自主发现、获取了1?、2?、3?的计算方法的，而不是模仿或教师灌输的，这有利于培养学生的抽象能力和交流能力。）3.举例验证，深化理解。师：同学们，我们前面列举了三个算式，观察算式里加数的个数与它们的和，你有什么猜想？这个猜想是否成立，让我们分小组举例来验证。继续摆，应该在图形外围增加几个小正方形？增加5个够不够？（移动图形，发现不够），所以要增加7个才可以。形成的新的大正方形每边有几个小正方形？（
4个）
所以算式中是加？（7）
，结果是4的平方。接下来请在小组中继续举例验证。师：这样的式子能不能写完？可以用……
表示。观察这些算式，你有什么发现？预设：①每增加一个加数，就会得到一个更大的正方形。②算式左边的加数的个数与对应的大正方形中每行(或每列)的小正方形的个数相同；③等式左边是连续的奇数相加。师总结：同学们说的都很好，这就是我们今天的发现：从“1”开始的连续奇数相加，有几个数就可以排成几行几列的大正方形，和就是几的平方。（设计意图：运用举例验证法和不完全归纳法，让学生进一步体验数学规律的普遍意义，增强学生对数学思想方法的愉悦情感，感受数学的魅力。）
使用图形拖拽功能，帮助生直观感知。利用交互式电子白板的多种功能使探究过程直观化。（克隆、拖动、批注、动态保存、任意切换、随意更换笔的颜色）
认识形数
师：像1?、2?、3?这样的数叫平方数，也叫正方形数，想知道为什么吗？让我们通过一段小短片来了解一下吧！（设计意图：借助三角形数与正方形数这些特殊的数，让学生进一步感受数形之间有趣的联系。）
感受数字与图形之间有趣的联系
数形结合
师：本学期我们还经历过哪些数形结合的例子？阅读名人名言，体验数形结合是一种非常重要的数学思想。（设计意图：回忆数形结合思想在以往学习中的应用，感受数形结合思想的价值。）
课堂总结
出示思维导图总结本课的学习内容。
拓展延伸
运用数形结合的方法，探索从2开始连续偶数的和的规律。
开始
图片
情境导入
老师提出问题
学生计算回答
探究计算的方法
学生合作探究
学生展示汇报
电子白板
动画
老师直观演示
学生自主创作
电子白板
及时发现、及时评价
探究算式的规律
互动游戏
组织引导提升
观察发现交流
实践应用
微课
拓展提升
结束
