5.4三角函数的图象与性质（第一课时） 同步学案

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三角函数的图像与性质学案（第一课时）
一．学习目标
三角函数作为函数章节中的重要一环，在学习的过程中重点要注意函数图像的特点，并通过函数的图像的学习为三角函数性质的理解运用打下基础；
本节课的重点在于掌握正弦函数、余弦函数以及正切函数的图象；并会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图；同时对于三角函数的性质（对称性与周期性）的应用熟练掌握。
二．基础知识梳理
1.三角函数的图像（正弦曲线、余弦曲线、正切曲线）：
要想得到的图象，只需将，的图象不断向左、向右平行移动(每次移动个单位长度)即可，此时的图象叫做正弦曲线；
要想得到的图象，只需将的图象向左平行移动个单位长度即
可，此时的图象叫做余弦曲线；
要想得到的图象，只需将，的图象不断向左、向右平
行移动(每次移动个单位长度)即可，便可得到正切函数的图像．
2.“五点法”的运用：
在函数的图像上，起到关键作用的是函数的图像与轴的交点及最高点与最低点，
他们依次是、、、、；只要这五个点确定了，函数的图像形
状基本确定了。
用五点作图法作函数图象的三个步骤是什么？
提示：列表，描点，连线(注意光滑)．
画，时的图象，应取的五个点分别是什么？
提示：，，，，．
3.周期函数：
(1)定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：
①定义：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数称为函数的最小正周期．
②正弦函数与余弦函数的最小正周期：；正切函数的最小正周期为；
③函数和(其中是常数，且)的周期
为：；函数(其中是常数，且)的周期为：；通
过三角函数的周期计算公式，三角函数的周期只与有关，与无关。
4.三角函数的奇偶性：
(1)正弦曲线关于原点对称；是奇函数；
(2)余弦曲线关于轴对称；是偶函数．
(3)正切曲线关于原点对称；是奇函数；
5.要点整合：
①为什么把，的图象向左、向右平移的整数倍个单位长度后图象形状不变，
而的图象向左、向右平移的整数倍个单位长度后图象形状不变？
提示：由公式、可得；
②如何由正弦曲线得到余弦曲线？
提示：由公式可知，要得到余弦曲线，只需把正弦曲线向左平移个单位长度。
③正切函数的图象与，有公共点吗？
提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线隔开的无穷多支曲线组成的。
④直线与的图象相邻两交点之间的距离是多少？
提示：由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为；
⑤观察正切函数曲线，写出满足下列条件的的集合：
(1)满足的集合为．
(2)满足的集合为．
(3)满足的集合为．
⑥是否所有的周期函数都有最小正周期？
提示：不是．如(为常数，)，所有的非零实数都是它的周期，不存在最小正周期．
⑦周期函数的周期是否唯一？
提示：不唯一．若，则．
⑧正切函数图象与轴有无数个交点，交点的坐标为，因此对于说法“正切函数图象的对称中心为”，这种说法对吗？
提示：不对．正切函数的图象不仅仅关于点对称，还关于点对称，因此正切函数的对称中心为。
三．典例分析与性质总结
题型1：用“五点法”作三角函数的图象
例1：用“五点法”作出函数，的图象．
方法提炼：
“五点法”是一种作图思想，它不仅仅限于做正弦函数、余弦函数的草图，同时也可以用于复合型正余弦函数的草图；对于或的函数，都可以
用“五点法”来做草图；其中五个关键点应由分别取0、、、、。
题型2：利用“图象变换”作三角函数的图象
例2：画出下列函数的图象．
(1)；(2).
思路导引：
某些函数的图象可通过图象变换，如平移变换、对称变换作出，如将的图象在轴右侧的保留，在左侧作右侧关于轴的对称图形，便得到的图象，将图象在轴上方的不动，轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，便得到的图象等。
题型3：三角函数图象的应用
例3：求下列函数的定义域．
(1)；(2)；(3)；(4)
思路导引：
1.求与三角函数有关的函数定义域要列出使各部分都有意义的不等式（组），然后求出的范围；
2.利用三角函数图象解(或，或)的三个步骤：
(1)作出直线，(或或)的图象；
(2)确定(或或)的值；
(3)确定(或或)的解集．
3.求值域要用换元的思想，把相应的三角函数值看作新变量，注意新元的取值范围。
题型4：求三角函数的周期
例4：求下列函数的周期：
(1)；(2)；(3)；(4)
思路导引：
三角函数周期的主要求法
①定义法，利用；
②公式法，对于或(是常数，且，)，
周期；函数(其中是常数，且)的周期为：；
③图象法，作出函数图象，通过观察图象得到周期。
题型5：三角函数奇偶性的有关问题
命题视角1：三角函数奇偶性的判断
例5：视角1：判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)
思路导引：
判断函数的奇偶性时，必须先检查其定义域是否关于原点对称；如果是，再验证是否等于或，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数.
命题视角2：三角函数的对称性
视角2：函数的对称轴是________，对称中心是________．
思路导引：
与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴是由解出，其对称中心的横坐标由解出，即对称中心是；同理的对称轴是由解出，其对称中心的横坐标由解出。
类型三　　函数周期性与奇偶性的应用
视角3：已知函数是定义在R上的偶函数，且的图象关于直线对称．
(1)证明：是周期函数；
(2)若当时，，求当时，的解析式．
思路导引：
证明或判断抽象函数的周期性，是一种题型，解题的关键是找出其周期，一般要在题设条件下通过尝试变形来解决.求周期函数在某个区间内的解析式，先要在该区间内选取自变量，再通过周期将其调节到已知区间，从而将它转化为已知区间内的函数解析式.
四．变式演练与提高
1.用“五点法”作出函数，的简图．
2．(1)函数，的大致图象是(　　)
(2)下列叙述：
①与的图象关于轴对称；
②与的图象关于轴对称；
③与的图象在轴右侧相同．
其中正确的序号为
。
3.设，且，求的取值范围。
4.(1)求函数的定义域．
(2)求函数，的值域．
5.下列函数中，周期为的函数为(　　)
A．
B．
C．
D．
6.若函数的最小正周期为，求的值。
7.已知函数图象的一个对称中心为点，若，求的值。
8.函数是上的偶函数，则的值是(　　)
A．0　　　　B.　　　　C.　　　　D．
9.下列四个函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是(　　)
A．
B．
C．
D．
10.定义在R上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，
，则等于(　　)
A．
B.
C．
D.
五．反思总结
1.五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一；
2.图象的平移与对称也是作三角函数图象的常用方法；
3.正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础；
4.正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且
单调递增；
5.对周期函数的正确理解
(1)关于函数周期的理解应注意以下三点：
①存在一个不等于零的常数；
②对于定义域内的每一个值，都有属于这个定义域；
③满足．
(2)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
(3)如果是函数的一个周期，则也是的周期．
6.正弦函数、余弦、正切函数的奇偶性
(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数；反映在图象上，正弦曲线、正切函数图像关于原点对称，余弦曲线关于轴对称；
(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形，正切函数是中心对称图形，不是轴对称图形；
(3)注意诱导公式在判断三角函数奇偶性时的运用；
六．课后作业
1.对于正弦函数的图象，下列说法错误的是(　　)
A．向左右无限伸展
B．与的图象形状相同，只是位置不同
C．与轴有无数个交点
D．关于轴对称
2.函数的大致图象是(　　)
3.不等式，的解集为(　　)
A.
B.
C.
D.
4.要使有意义，求的取值范围。
5.函数的最小正周期是(　　)
A．
B．
C．
D.
6.下列函数中是偶函数的是(　　)
A．
B．
C．
D．
7.函数的图象的一条对称轴是(　　)
A．
B．
C．
D．
8.若函数的周期为，求的值。
9.若函数是以为周期的奇函数，且，求的值。
10.函数的一个对称中心是(　　)
A．
B．
C．
D．
七．参考答案
例1：解析：
列表：
0
0
1
0
0
1
3
1
1
在直角坐标系中描出五点，，，，，然后用光滑曲线顺次
连接起来，就得到，的图象，如图。
例2：解析：
(1)∵，
∴
作出，和，的图象，并将图象左右平移即可．其图象如图所示．
(2)，其图象如图所示．
例3：解析：
(1)为使函数有意义，则需要满足，即.
由余弦函数图象可知满足条件的为；所以原函数定义域为．
(2)为使函数有意义，则需要满足，即.
由正弦函数图象可知满足条件的为
所以原函数定义域为．
(3)由得，，
所以函数的定义域为．
(4)由得，.
结合的图象可知，在上，满足的角应满足，所以函数的定义域为．
例4：解析：
(1)方法一(定义法)：令，∵函数的最小正周期是，就是说变量
只要且至少要增加到，函数的值才能重复取得，
而，∴自变量只要且至少要增加到，函数值才能重复取得，从而函数的周期是.
方法二(公式法)：中，，∴.
(2)方法一(定义法)：∵，
∴，故的最小正周期为.
方法二(图象法)：作出的图象如图：
由图象易知的周期为.
(3)函数的最小正周期为；
(4)
作出的简图，如图所示，易得函数的最小正周期
例5：解析：
视角1：(1)显然，，所以是奇函数．
(2)因为，
所以
所以函数是偶函数．
(3)由，得，
∴函数的定义域为，定义域关于原点对称．
当时，，．
∴既是奇函数又是偶函数．
视角2：，∴．
即对称轴所在直线方程为．
令，即．
故函数的对称中心为．
视角3：(1)证明：由已知，对任意恒成立．
；故是以4为周期的周期函数．
(2)当时，．
∴
四．变式演练与提高
1.解析：
列表：
0
1
0
0
1
3
2
1
2
3
描点连线，如图．
2.解析：
(1)设，则，所以函数的图象经过点，排除选项A，B，C.
(2)，其图象与的图象关于轴对称，不关于轴对称，①正确；②错误；画出图象可得，③不正确．
3.解析：
如图，由题意得，根据区间上函数与的图象得
4.解析：
(1)由题意得；即.
∵在内，满足上述不等式的的取值范围是.又的周期为，
∴所求的取值范围是，即为此函数的定义域。
(2)均满足在区间上单调递增，
∴函数也满足在区间上单调递增，
∴此函数在上的值域为
5.解析：
利用周期公式，可知C中函数周期，故选C.
6.解析：
由三角函数的周期计算公式，可得，所以
7.解析：
因为函数图象的对称中心为点，所以的其中一个解为，得；
又，当时，，当时，；所以或
8.解析：
由题意得，即.因，所以，故选C
9.解析：
由函数的最小正周期为可排除选项A、B；对于选项C，时，，显然不是它的
对称轴；故选D.
10.解析：
由题知，
六．课后作业
1.解析：
由正弦曲线可知，A，B，C均正确，D不正确．
2.解析：
的图象与的图象关于轴对称，故选A
3.解析：
观察的图象，易知选A
4.解析：
∵，且，∴或.
5.解析：
由三角函数的周期计算公式可得：.
6.解析：
A为奇函数，B为奇函数，D为非奇非偶函数，C为偶函数，选C
7.解析：
三角函数在对称轴处取得最值，将代入得，取得函数的最小值，因此，直线是对称轴
8.解析：
由于周期，所以，解得
9.解析：
∵的周期为，且为奇函数，
∴
而
∴
10.解析：
由，得，令得；故选C
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