2021年浙江省高三学考数学模拟测试卷（含解析）

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浙江学考数学模拟卷
一、单选题（共18小题，每小题3分，共54分）
1.已知集合
，
，则
（???
）
A.?{0}?????????????????????????????????????B.?{1}?????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
2.函数
的最小正周期是（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
3.计算：
（
??）.
A.?5????????????????????????????????????????B.?25????????????????????????????????????????C.?±5????????????????????????????????????????D.?±25
4.直线
的倾斜角为（???
）
A.?90°???????????????????????????????????????B.?30°???????????????????????????????????????C.?0°???????????????????????????????????????D.?180°
5.函数
的定义域是（???
）
A.?????????????
?B.????????????
C.?
且
????????????
?D.?
且
6.已知空间向量
，
，且
，则实数
（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.?-3?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?6
7.双曲线
的渐近线方程为（
??）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
8.若x，y满足约束条件
，则
的最大值是（??
）
A.?-5???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?4
9.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为(?
?)
A.?12
??????????????????????????????????????B.?36??????????????????????????????????????C.?27
??????????????????????????????????????D.?6
10.不等式
的解集为(?
)
A.?
B.?
C.?
D.?
11.已知两条直线m，n和平面
，那么下列命题中的真命题为（???
）
A.?若
，
，则
?????????????????????????????B.?若
，
，则
C.?若
，
，则
????????????????????????????????D.?若
，
，则
或
12.等差数列
的前n项和为
，若
，
，则当
取得最大值时，
（???
）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
13.设a>0且a≠1，则“b>a”是“logab>1”的（
??）
A.?充分不必要条件????????????B.?必要不充分条件??????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
14.已知函数
，则函数
的定义域为（???
）
A.?????????????
B.????????????
C.???????????????
D.?
15.函数
（其中
为自然对数的底数）的图象大致为（???
）
A.?????????????
B.?????????????
C.?????????????
D.?
16.若实数a，b满足
，则
的最小值为（???
）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
17.在一张矩形纸片上，画有一个圆（圆心为O）和一个定点F（F在圆外）．在圆上任取一点M，将纸片折叠使M与点F重合，得到折痕CD．设直线CD与直线OM交于点P，则点P的轨迹为（　　）
A.?双曲线?????????????????????????????????B.?椭圆?????????????????????????????????????????C.?圆?????????????????????????????????D.?抛物线
18.在底面为锐角三角形的直三棱柱
中，D是棱
的中点，记直线
与直线
所成角为
，直线
与平面
所成角为
，二面角
的平面角为
，则（???
）
??????????????
B.??????????????
C.???????????????
D.?
二、填空题（共4小题，每空3分，共15分）
19.已知函数
则
________，
________．
20.直线
经过椭圆
的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．
21.已知数列
满足：
，且
，则
________；
22.已知等腰直角三角形
中，
，
顺次为线段
的九等分点，则
的最大值为________．
三、解答题（共3小题，共31分）
23.（本小题10分）已知：在
中，三个内角
、
、
的对边分别为
，
，
，且
，
．
（1）当
时，求
的面积；
（2）当
为锐角三角形时，求
的取值范围．
24.（本小题10分）如图，直线l与抛物线
相交于
两点，与x轴交于点Q，且
，
于点
.
（1）当
时，求m的值；
（2）当
时，求
与
的面积之积
的取值范围.
25.（本小题11分）已知函数
是奇函数.
（1）求实数m的值；
（2）若函数
在区间
上是单调增函数，求实数a的取值范围；
（3）求不等式
的解集.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
C
解：由题意，集合
，
，
根据集合的交集的运算，可得
.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集的概念及运算，即可求解.
2.答案：
A
解：因为函数
，
所以最小正周期是
.
故答案为：A
【分析】根据三角函数的周期公式求解.
3.答案：
A
解：
.
故答案为：A.
【分析】直接根据指数的运算性质即可得结果.
4.答案：
B
解：因为直线方程为
，所以
，
所以直线的倾斜角
，满足
，
所以直线
的倾斜角为
故答案为：B
【分析】先求直线的斜率，再根据斜率求倾斜角.
5.答案：
D
解：由函数解析式，知：
，
解之得：
且
，
故答案为：D
【分析】根据函数解析式的性质求定义域即可.
6.答案：
A
解：因为
，
所以
，即：
，
所以
，解得
.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量共线关系直接求解即可得答案.
7.答案：
C
解：由题意双曲线标准方程为
，
，
，焦点在
轴，
渐近线方程为
.
故答案为：C．
【分析】根据双曲线方程写出
，根据焦点位置得渐近线方程．
8.答案：
D
解：画出可行域如下图所示，向上平移基准直线
到可行域边界
的位置，
由此求得目标函数的最大值为
.
故答案为：D.
【分析】先画出可行域，向上平移基准直线
到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.
9.答案：
B
解：由三视图可知：该三棱柱的底面为高为
的正三角形，
边长为
，底面面积为
?，三棱柱的高为4，
则三棱柱的体积为
?.
【分析】利用三视图还原立体几何图形为棱柱，再利用三视图中的数据对应棱柱中线段的长度结合已知条件此棱柱是一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的几何图形，再利用正三角形的结构特征和线面垂直的定义推出线线垂直，求出三棱柱底面的边长和高，从而结合三角形面积公式求出三棱柱底面的面积，最后再用棱柱的体积公式求出这个棱柱的体积.
10.答案：
D
解：原不等式等价于
或
或
或
或
或
或
或
．
D符合题意．
故答案为：D
【分析】讨论
与-2与1的大小关系，将绝对值拿掉，再解不等式即可．
11.答案：
D
解：对于A选项，若
，
，则
或
，A不符合题意；
对于B选项，若
，
，则
或
与
相交或异面，B不符合题意；
对于C选项，若
，
，则
或
，C不符合题意；
对于D选项，若
，
，则
或
，D符合题意.
故答案为：D
【分析】利用线面平行的判定与性质，即可得出结论
12.答案：
C
解：因为等差数列
中
，
，
所以可知数列
单调递减，且
，
所以
取得最大值时，
7.
故答案为：C
【分析】由等差数列中
可知数列递减，又
可知
，即可求解.
13.答案：
D
解：由,因此b>a是的既不充分也不必要.
故答案为：D
【分析】利用对数函数的单调性解对a分情况解出不等式即可得出结论。
14.答案：
D
解：令
即
，解得
，
若
有意义，则
即
.
故答案为：D.
【分析】根据
定义域以及分母不为零、偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域.
15.答案：
D
解：由题,
的定义域为
,
因为
,
所以
是偶函数,图象关于
轴对称,故排除A、C；
又因为
,
则当
时,
,
,所以
,
故答案为：D
【分析】先根据函数的奇偶性排除A、C,再由
时,
的趋向性判断选项即可.
16.答案：
B
解：因为
，
则
，
当且仅当
且
时取等号，
即
时取等号，
此时取得最小值3．
故答案为：B．
【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．
17.答案：
A
解：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线，
∴|MP|=|PF|，
∴|PO|﹣|PF|=|PO|﹣|PM|=|MO|（定值），
又显然|MO|＜|FO|，
∴根据双曲线的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的双曲线．
故选：A．
【分析】根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|=|PF|，进而可知|PO|﹣|PF|=|PO|﹣|PM|=|MO|结果为定值，进而根据双曲线的定义推断出点P的轨迹．
18.答案：
A
解：由题可知，直三棱柱
的底面为锐角三角形，D是棱
的中点，
设三棱柱
是棱长为
的正三棱柱，
以
为原点，在平面
中，过
作
的垂线为
轴，
为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
直线
与直线
所成的角为
，
，
，
直线
与平面
所成的角为
，
，
平面
的法向量
，
，
，
设平面
的法向量
，
则
，
取
，得
，
二面角
的平面角为
，
由图可知，
为锐角，即
，
，
，
由于
在区间
上单调递减，
，则
.
故答案为：A.
【分析】设三棱柱
是棱长为
的正三棱柱，D是棱
的中点，以A为原点，在平面
中，过A作
的垂线为x轴，
为y轴，
为
轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法和空间夹角公式分别求出
，
和
，即可比较出
的大小.
二、填空题
19.答案：
3；9
解：∵函数
∴
，所以
.
故答案为：3；9．
【分析】根据函数解析式，直接代入，即可得出结果.
20.答案：
解：对直线
，
令
，解得
；令
，解得
，
故椭圆的右焦点坐标为
，上顶点坐标为
，
则
，则
，
故椭圆离心率
.
故答案为：
.
【分析】求得直线在
轴上的截距，则可得
，再求得
，则离心率得解.
21.答案：
解：由
可得：
，结合
有：
，
，
，
则数列
是周期为3的数列，则
.
【分析】根据所给数列的递推式得出数列
是周期为3的数列，根据周期性得出结果.
22.答案：
解：如图建立平面直角坐标系
?等腰直角三角形
中，
，
?，
?，
，
，
?，
或
时
最大，
此时
.
故答案为：
【分析】先建立平面直角坐标系，求出点的坐标，将
用坐标表示出来，再求出最大值.
三、解答题
23.答案：
（1）解：∵
，
，
，
∴
，∴
．
当
时，由
得
．
又∵
，∴
．
由余弦定理得，
，
∴
，解得
或
．
当
时，
的面积
；
当
时，
的面积
；
（2）解：∵
为锐角三角形，
，
∴
，∴
，
依题意得
，∴
，
∴
，
，
，
的取值范围是
.
【分析】（1）根据正弦定理得
，建立
的方程，结合已知
，求出
，再由余弦定理，求出
，即可得出结论；（2）根据（1）得出
，由已知锐角三角形，求出
范围，将
代入所求式子，利用三角恒等变换，化所求为正弦型三角函数，结合正弦函数的性质，即可求解.
24.答案：
（1）解：当直线l与抛物线
相交于
两点时，斜率不为零，
设直线
方程为
，其中
由
，消去
得
，
设
，
，
则有
，
，
，
，即
，
，直线
为：
，点
，
，
，即
，
而
，解得
；
（2）解：由（1）得
，
，
，
，且
，
所以直线
与直线
斜率均存在，
又
，
，即
，
又由（1）
，
，
，
，
，
，
当
时，
去最大值
，
当
时，
去最小值
，
的取值范围为
.
【分析】（1）设直线
方程为
，与抛物线联立，
，
，利用韦达定理，代入
，可得
，再根据
，利用斜率乘积为-1，列方程求解即可；（2）由（1）可得
，再根据
，求出
，结合（1）中的
消去n，通过三角形面积公式可得
，
，相乘，转化为二次函数的最值求解即可.
25.答案：
（1）解：设
，则
，所以
，
因为
是奇函数，所以
，
所以
；
（2）解：
的图像为
因为函数
在区间
上单调递增，
所以
，
所以
，
（3）解：由
可得
，即
，
当
时
，由图像可得
，
当
时
，由图像可得
，
综上：
.
【分析】（1）利用
即可求出
；（2）画出图像，观察图像即可建立不等式求解；（3）由
可得
，然后分
和
两种情况讨论，每种情况结合图像即可得到答案.
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精品试卷·第
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