人教A版（2019）必修第一册第三章函数的概念与性质 3.4.2用二分法求方程的近似解-课件（共27张PPT）

用二分法求方程的近似解
引入问题，探讨方法.
函数零点
存在定理
函数
单调性
函数零点个数
方程实数解的个数
利用函数研究方程的近似解.
上节课
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?
?
?
本节课
问题1：我们已经知道函数 f?x?=?lnx+2x?6在(2，3) 内存在一个零点，如何求出这个零点？
?
引入问题，探讨方法.
追问1：你能求出函数?f?x?=?lnx+2x?6零点的精确值吗？
?
只需求出满足一定精确度的近似解.
例如：当精确度为????时，只需|近似值?精确值| ?
问题1：我们已经知道函数?f?x?=?lnx+2x?6在(2，3)内存在一个零点，如何求出这个零点？
?
引入问题，探讨方法.
追问2：当精确度为0.5时，你能得到一个符合要求的零点的近似值吗？
|近似值?精确值| <0.5.
?
x0
2.5
0.5
0.5
1
2.5到零点
x0的距离
＜0.5
?
2.5
为区间?(a，b)?的中点.
?
a+b2
?
|2.5? x0| <0.5.
?
问题1：我们已经知道函数?f?x?=?lnx+2x?6在(2，3)内存在一个零点，如何求出这个零点？
?
引入问题，探讨方法.
追问3：当精确度为0.5时，3可以看作零点的一个近似值吗？为什么？
零点x0在(2，2.5)内还是(2.5，3) 内？如何确定？
?
f?2?f?(2.5)
?
f?2.5?f?(3)
?
可以
x0
2.5
0.5
0.5
1
f?2<0
?
f?3>0
?
f?2.5
?
≈?0.084
?
零点x0∈(2.5，3).
?
|3? x0| <0.5.
?
<0
?
问题1：我们已经知道函数?f?x?=?lnx+2x?6在(2，3)内存在一个零点，如何求出这个零点？
?
引入问题，探讨方法.
追问4：当精确度缩小到0.01时，为了得到函数零点的近似值，至少需要将零点所
在区间缩小到什么程度？
我们可以采取怎样的办法来
逐步缩小零点所在区间？
x0
2.5
0.5
0.5
1
区间长度<0.01.
?
重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号.
x
d < 0.01
a
b
x0
小于0.01
问题2：当精确度为0.01时，求
函数?f?x?=?lnx+2x?6零点的近似值.
?
解决问题，实施方法.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}零点所
在区间
中点
的值
中点函数
近似值
(2，3)
2.5
?0.084
?
f?2.5?f?(3)<0
?
(2.5，3)
2.75
0.512
f?2.5?f?(2.75)<0
?
(2.5，2.75)
问题2：当精确度为0.01时，求
函数?f?x?=?lnx+2x?6零点的近似值.
?
解决问题，实施方法.
零点存在定理
问题2：当精确度为0.01时，求
函数?f?x?=?lnx+2x?6零点的近似值.
?
解决问题，实施方法.
区间长度<0.01
?
该区间内任意一个数都可以作为零点的近似值.
问题2：当精确度为0.01时，求
函数?f?x?=?lnx+2x?6零点的近似值.
?
解决问题，实施方法.
区间长度<0.01
?
为了方便，可以把区间端点作为零点的近似值.
近似值x =?2.53125或2.5390625.
?
方程?lnx+2x?6?=?0的近似解.
?
问题3：在问题2中，我们用怎样
的方法求函数?f?x?=?lnx+2x?6零点
的近似值？这种方法适用于哪些函数？
?
总结提炼，归纳方法.
不断将零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点.
理论基础：零点存在定理.
适用条件：某区间上图象连续不断，区间端点函
数值的乘积符号为负.
问题3：在问题2中，我们用怎样
的方法求函数?f?x?=?lnx+2x?6零点
的近似值？这种方法适用于哪些函数？
?
总结提炼，归纳方法.
归纳出二分法的定义：
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f?a?f?(b)<0
的函数?y?=?f?x?，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而
得到零点近似值的方法叫做二分法.
?
问题4：根据求函数?f?x?=?lnx+2x?6?零点的近似值的过程，你能提炼出给定精确度????，用二分法求函数?y?=?f?x?零点????0的近似值的一般步骤吗？
?
总结提炼，归纳方法.
回顾求函数?f?x?=?lnx+2x?6
零点x0的近似值的过程：
?
总结提炼，归纳方法.
1. 确定初始区间.
f?2?f?(3)<0?x0?∈ (2，3) .
?
回顾求函数?f?x?=?lnx+2x?6
零点x0的近似值的过程：
?
总结提炼，归纳方法.
2. 不断缩小区间
通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半地缩小.
(1)计算区间中点；
(2)计算中点函数值；
(3)计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号；
(4)确定零点所在区间.
区间长度<精确度时结束重复操作.
?
回顾求函数?f?x?=?lnx+2x?6
零点x0的近似值的过程：
?
总结提炼，归纳方法.
1. 确定初始区间.
2. 不断缩小区间.
3. 得到近似值.
f?2?f?(3)<0?x0?∈ (2，3) .
?
通过重复计算区间重点中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半地缩小.
当零点所在区间的长度小于精确度时，把区间的一
个端点作为零点的近似值.
总结提炼，归纳方法.
小结：给定精确度????，用二分法求函数?y?=?f?x?零点 x0 的近似值的一般步骤.
?
1. 确定零点 x0 的初始区间[a，b]，验证 f?a?f?(b)<0.
?
2. 求区间 (a，b) 的中点c.
3. 计算 f (c)，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若 f (c)?= 0 (此时 x0?=????)，则????就是函数的零点；
(2)若f?a?f?(c)<0 (此时 x0?∈?(a，c) )，则令b?= c；
(3)若f?c?f?(b)<0 (此时 x0?∈?(c，b) )，则令a?= c.
?
4. 判断是否达到精确度????：若| a???b | 近似值a (或 b )；否则重复步骤2~4.
?
例题实践，熟悉方法.
问题5：借助信息技术，用二分法求方程
2x+3x?7=0的近似解(精确度为0.1).
?
分析：转化为研究函数 f (x)?=2x+3x?7
零点的近似值(精确度为0.1).
?
f?1?f?(2)<0，
?
说明该函数在区间 (1，2) 内存在零点 x0.
第1步：确定零点 x0 所在的初始区间.
例题实践，熟悉方法.
问题5：借助信息技术，用二分法求方程
2x+3x?7=0的近似解(精确度为0.1).
?
分析：转化为研究函数 f (x)?=2x+3x?7
零点的近似解(精确度为0.1).
?
(1，2).
第1步：确定零点 x0 所在的初始区间.
第2步：求区间中点.
取 (1，2) 的中点 x1 =1.5.
?
例题实践，熟悉方法.
问题5：借助信息技术，用二分法求方程
2x+3x?7=0的近似解(精确度为0.1).
?
分析：转化为研究函数 f (x)?=2x+3x?7
零点的近似解(精确度为0.1).
?
(1，2).
第1步：确定零点 x0 所在的初始区间.
第2步：求区间中点.
取 (1，2) 的中点 x1 =1.5.
?
第3步：计算中点函数值，进一步确定零点
所在区间.
f?1.5≈0.33，
?
所以 f?1?f?(1.5)<0，所以 x0 ∈(1，1.5).
?
f?1<0，
?
例题实践，熟悉方法.
问题5：借助信息技术，用二分法求方程
2x+3x?7=0的近似解(精确度为0.1).
?
分析：转化为研究函数 f (x)?=2x+3x?7
零点的近似解(精确度为0.1).
?
(1，2).
第1步：确定零点 x0 所在的初始区间.
第2步：求区间中点.
取 (1，2) 的中点 x1 =1.5.
?
第3步：计算中点函数值，进一步确定零点
所在区间.
f?1?f?(1.5)<0?x0 ∈(1，1.5).
?
第4步：判断是否达到精确度0.1.
|1.5?1|=0.5>0.1
?
没有达到.
重复步骤2~4.
例题实践，熟悉方法.
问题5：借助信息技术，用二分法求方程
2x+3x?7=0的近似解(精确度为0.1).
?
分析：转化为研究函数 f (x)?=2x+3x?7
零点的近似解(精确度为0.1).
?
……
第2步：求区间中点.
取 (1，1.5) 的中点 x2 =1.25.
?
第3步：计算中点函数值，进一步确定零点所在区间.
f?1.25≈?0.87，
?
因为 f?1.25?f?(1.5)<0，
所以 x0 ∈(1.25，1.5).
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例题实践，熟悉方法.
问题5：借助信息技术，用二分法求方程
2x+3x?7=0的近似解(精确度为0.1).
?
分析：转化为研究函数 f (x)?=2x+3x?7
零点的近似解(精确度为0.1).
?
……
第2步：求区间中点.
取 (1，1.5) 的中点 x2 =1.25.
?
第3步：计算中点函数值，进一步确定零点所在区间.
f?1.25?f?(1.5)<0?x0 ∈(1.25，1.5).
?
第4步：判断是否达到精确度0.1.
没有达到.
重复步骤2~4.
例题实践，熟悉方法.
问题5：借助信息技术，用二分法求方程
2x+3x?7=0的近似解(精确度为0.1).
?
分析：转化为研究函数 f (x)?=2x+3x?7
零点的近似解(精确度为0.1).
?
……
第2步：求区间中点.
取 (1，1.5) 的中点 x2 =1.25.
?
第3步：计算中点函数值，进一步确定零点所在区间.
f?1.25?f?(1.5)<0?x0 ∈(1.25，1.5).
?
第4步：判断是否达到精确度0.1.
没有达到.
同理可得，x0 ∈(1.375，1.5) ，x0 ∈(1.375，1.4375).
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例题实践，熟悉方法.
问题5：借助信息技术，用二分法求方程
2x+3x?7=0的近似解(精确度为0.1).
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分析：转化为研究函数 f (x)?=2x+3x?7
零点的近似解(精确度为0.1).
?
……
同理可得，x0 ∈(1.375，1.5) ，x0 ∈(1.375，1.4375).
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由于|1.375 ? 1.4375| = 0.0625 < 0.1，所以原方程的近似解可取为1.375(或1.4375).
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执行“二分法”的实施步骤.
课堂小结
用二分法求方程的近似解
函数零点
方程的解
?
?
不断缩小零点所在区间
函数思想
极限思想
算法思想
总结实施步骤
从特殊到一般
活动经验
谢谢观看，再见.