7.4.2 超几何分布
课标要求
素养要求
1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值.2.能用超几何分布解决简单的实际问题.
通过本节课的学习，提升数学抽象及数据分析素养.
新知探究
2020年春节前一场新型冠状病毒肺炎像场风一样，席卷了全国，中国湖北成为重灾区，为了更好地支援湖北抗击疫情，某医院派出16名护士，4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去黄冈支援，设X表示其中内科医生的人数．
问题 X的可能取值有哪些，你能求出当X＝2时对应的概率吗？这里的X的概率分布有怎样的规律？
提示 X的可能取值为0，1，2，3，其中P(X＝2)＝
eq
\f(CC,C)，X的概率分布符合超几何分布，这就是这节课我们要重点研究的问题．
1．超几何分布
超几何分布模型是一种不放回抽样
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P(X＝k)＝eq
\f(CC,C)，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N
，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
2．超几何分布的期望
E(X)＝＝np(p为N件产品的次品率)．
拓展深化
[微判断]
1．超几何分布的总体里只有两类物品．(√)
2．超几何分布的模型是不放回抽样．(√)
3．超几何分布与二项分布的期望值都为np.(√)
[微训练]
1．设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )
A.eq
\f(CC,C)
B.eq
\f(CC,C)
C.eq
\f(CC,C)
D.eq
\f(CC,C)
解析 取出的红球个数服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布．由超几何分布的概率公式，知从中取出的10个球中恰有6个红球的概率为eq
\f(CC,C).
答案 D
2．在含有5名男生的100名学生中，任选3人，求恰有2名男生的概率表达式为______．
解析 由超几何分布的概率公式得所求概率表达式为eq
\f(CC,C).
答案 eq
\f(CC,C)
[微思考]
超几何分布模型在形式上有怎样的特点？
提示 在形式上适合超几何分布的模型常由较明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”等．
题型一 利用超几何分布的公式求概率
【例1】 在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率(结果保留两位小数)．
解 设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝30，M＝10，n＝5，于是中奖的概率为
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)
＝eq
\f(CC,C)＋eq
\f(CC,C)＋eq
\f(CC,C)
＝eq
\f(120×190＋210×20＋252,C)＝≈0.19.
规律方法 超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成，或可转化为明显的两部分.
【训练1】 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析 由题意可得所求概率为eq
\f(CC,C)＋eq
\f(CC,C)＝.
答案 A
题型二 超几何分布的分布列
【例2】 某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
解 (1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．
代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为eq
\f(CC,CC)＝.
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为
1－＝.
(2)根据题意，知X的所有可能取值为1，2，3.
P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝3)＝eq
\f(CC,C)＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
规律方法 解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．
【训练2】 从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；
(2)求所选3人中男生人数X的分布列．
解 (1)所选3人中恰有一名男生的概率P＝eq
\f(CC,C)＝.
(2)X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝eq
\f(C,C)＝，
P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝3)＝eq
\f(C,C)＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
题型三 超几何分布的综合应用
【例3】 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及期望．
解 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝eq
\f(CC＋CC,C)＝.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.
(2)依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能值为0，1，2，3.
P(X＝k)＝eq
\f(CC,C)(k＝0，1，2，3)．
所以随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
所以随机变量X的期望值为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2(或E(X)＝＝1.2)．
规律方法 超几何分布均值的计算公式
若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，则E(X)＝.
【训练3】 一个口袋内有n(n＞3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n－3)个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是.不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数X的期望E(X)．
解 ∵从口袋中随机取出一个球是红球的概率是，
∴＝，∴n＝5，
∴5个球中有2个白球．
白球的个数X可取0，1，2.
P(X＝0)＝eq
\f(C,C)＝，
P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝eq
\f(CC,C)＝，
∴E(X)＝×0＋×1＋×2＝.
一、素养落地
1．通过本节课的学习，提升数学抽象及数据分析素养．
2．超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以根据公式：P(X＝k)＝eq
\f(CC,C)求出X取不同k值时的概率．
3．超几何分布模型是一种不放回抽样．
二、素养训练
1．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，则出现二级品的概率为( )
A.eq
\f(C,C)
B.eq
\f(C＋C＋C,C)
C．1－eq
\f(C,C)
D.eq
\f(CC＋CC,C)
解析 出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为eq
\f(C,C)，故答案为1－eq
\f(C,C).
答案 C
2．已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于eq
\f(CC,C)的是( )
A．P(X＝2)
B．P(X≤2)
C．P(X＝4)
D．P(X≤4)
解析 X服从超几何分布，∴P(X＝4)＝eq
\f(CC,C).
答案 C
3．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为__________．
解析 设所选女生数为随机变量X，X服从超几何分布，
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＋eq
\f(CC,C)＝.
答案
4．从含有5个红球和3个白球的袋中任取3球，则所取出的3个球中恰有1个红球的概率为__________．
解析 设所取出的3个球中红球的个数为X，则X服从超几何分布，所以P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝.
答案
5．交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，若摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．
解 设抽奖人所得钱数为随机变量X，则X＝2，6，10.
P(X＝2)＝eq
\f(C,C)＝，
P(X＝6)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝10)＝eq
\f(C,C)＝.
故X的分布列为
X
2
6
10
P
基础达标
一、选择题
1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为( )
A.eq
\f(CC,C)
B.eq
\f(CC,C)
C．1－eq
\f(CC,C)
D.eq
\f(CC＋CC,C)
解析 设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq
\f(CC,C)＋eq
\f(CC,C).
答案 D
2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析 记X为抽出的2张中的中奖数，则P(X＝2)＝eq
\f(CC,C)＝.
答案 C
3．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为( )
A.eq
\f(CC,C)
B.eq
\f(CC＋CC,C)
C．1－eq
\f(C,C)
D．1－eq
\f(C,C)
解析 从袋中任取4个球，其中红球的个数X服从参数为N＝12，M＝8，n＝4的超几何分布，故至多3个红球的概率为P(X≤3)＝1－P(X＝4)＝1－eq
\f(C,C).
答案 D
4．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于eq
\f(CC＋C,C)的是( )
A．P(0B．P(X≤1)
C．P(X＝1)
D．P(X＝2)
解析 本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．
答案 B
5．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为( )
A．恰有1个是坏的
B．4个全是好的
C．恰有2个是好的
D．至多有2个是坏的
解析 令“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，
则P(X＝k)＝eq
\f(CC,C)(k＝1，2，3，4)．所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故选C.
答案 C
二、填空题
6．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝__________．
解析 易知P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝.
答案
7．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为__________(用式子表示)．
解析 二级品不多于1台，即一级品有3台或4台，故所求概率为eq
\f(CC＋C,C).
答案 eq
\f(CC＋C,C)
8．袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量X，则X≥8的概率P(X≥8)＝__________．
解析 由题意知P(X≥8)＝1－P(X＝6)－P(X＝4)＝1－eq
\f(CC,C)－eq
\f(C,C)＝.
答案
三、解答题
9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量X的分布列；
(2)他能及格的概率．
解 (1)X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝3)＝eq
\f(CC,C)＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
10．某高级中学为更好地了解学生的学习和生活情况，以便给学生提供必要的帮助，在高一、高二、高三这三个年级分别邀请了10，15，25名学生代表进行调研．
(1)从参加调研的学生代表中，随机抽取2名，求这2名学生代表来自不同年级的概率；
(2)从参加调研的高一、高二年级学生代表中随机抽取2名，且X表示抽到的高一年级学生代表人数，求X的期望值．
解 (1)共50名学生代表，抽取2名的样本点总数为C＝1
225.
记“2名学生代表来自不同年级”为事件M，则事件M包含的样本点个数为CC＋CC＋CC＝775.
根据古典概型的概率计算公式，得P(M)＝＝.
(2)高一、高二年级分别有10，15名学生代表参加调研，从中抽取2名，抽到的高一年级的学生代表人数X的所有可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝eq
\f(CC,C)＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
所以X的期望值E(X)＝0×＋1×＋2×＝0.8.
能力提升
11．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)＝__________．
解析 设10个球中有白球m个，
则eq
\f(C,C)＝1－，
解得m＝5或m＝14(舍去)．
所以P(X＝2)＝eq
\f(CC,C)＝.
答案
12．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的期望．
解 (1)P＝1－eq
\f(C,C)＝1－＝，
即该顾客中奖的概率为.
(2)X的所有可能值为：0，10，20，50，60，
且P(X＝0)＝eq
\f(C,C)＝，
P(X＝10)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝20)＝eq
\f(C,C)＝，
P(X＝50)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝60)＝eq
\f(CC,C)＝.
故X的概率分布列为：
X
0
10
20
50
60
P
期望值为E(X)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16(元)．
创新猜想
13．(多选题)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是( )
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
解析 由超几何分布的定义可知B为超几何分布，其余不是超几何分布．
答案 ACD
14．(多选题)10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a的值为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析 根据题意，得＝eq
\f(CC,C)，
解得a＝2或a＝8.
答案 AD(共31张PPT)
7.4.2 超几何分布
课标要求
素养要求
1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值.
2.能用超几何分布解决简单的实际问题.
通过本节课的学习，提升数学抽象及数据分析素养.
新知探究
2020年春节前一场新型冠状病毒肺炎像场风一样，席卷了全国，中国湖北成为重灾区，为了更好地支援湖北抗击疫情，某医院派出16名护士，4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去黄冈支援，设X表示其中内科医生的人数．
问题 X的可能取值有哪些，你能求出当X＝2时对应的概率吗？这里的X的概率分布有怎样的规律？
1．
超几何分布
超几何分布模型是一种不放回抽样
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
其中n，N，M∈N
，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
2．超几何分布的期望
拓展深化
[微判断]
1．超几何分布的总体里只有两类物品．
(
)
2．超几何分布的模型是不放回抽样．
(
)
3．超几何分布与二项分布的期望值都为np.
(
)
√
√
√
[微训练]
1．设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )
2．在含有5名男生的100名学生中，任选3人，求恰有2名男生的概率表达式为______．
[微思考]
超几何分布模型在形式上有怎样的特点？
提示 在形式上适合超几何分布的模型常由较明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”等．
题型一 利用超几何分布的公式求概率
【例1】 在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率(结果保留两位小数)．
解 设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝30，M＝10，n＝5，于是中奖的概率为
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)
规律方法 超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成，或可转化为明显的两部分.
【训练1】 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为( )
题型二 超几何分布的分布列
【例2】 某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
解 (1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．
(2)根据题意，知X的所有可能取值为1，2，3.
规律方法 解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．
【训练2】 从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；
(2)求所选3人中男生人数X的分布列．
∴X的分布列为
题型三 超几何分布的综合应用
【例3】 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及期望．
所以随机变量X的分布列是
二、素养训练
1．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，则出现二级品的概率为( )
答案 C
3．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为__________．
解析 设所选女生数为随机变量X，X服从超几何分布，
4．从含有5个红球和3个白球的袋中任取3球，则所取出的3个球中恰有1个红球的概率为__________．
5．交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，若摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．
解 设抽奖人所得钱数为随机变量X，则X＝2，6，10.
故X的分布列为
