数学建模：建立统计模型进行预测
案例赏析
案例背景
某外资公司在中国的惠州和廊坊有两家制造厂，每月的产品需求量变化很大使该外资公司很难排定劳动力计划表．最近该外资公司开始雇用由人力资源中介公司提供的临时工，人力资源中介公司提供签署3种不同合同的临时工，合同规定的雇用时间长短及费用各不相同．三种选择如下：
选择
雇佣时间
费用(人民币)
1
1个月
2
000
2
2个月
4
800
3
3个月
7
500
合同期越长费用越高．这是因为找到愿意长时间工作的临时工对人力资源中介公司更为困难．在下6个月中该外资公司计划需要的额外员工数如下：
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
需要人数
10
23
19
26
20
14
每个月该外资公司可根据需要雇用能签署每种合同的员工．例如若该外资公司1月份雇用了5名符合第二项选择的员工，人力资源中介公司将为该外资公司提供5名员工均在1、2月份工作．在这种情况下该外资公司将支付5×480
0＝24
000
RMB.由于进行中的某些合同谈判，该外资公司不希望任何临时工的合同签到6月份以后.
该外资公司有一个质量控制项目并需要每名临时工在受雇的同时接受培训，即使以前在该外资公司工作过，该临时工也要接受培训．该外资公司估计每雇用一名临时工培训费用为875
RMB，因此若一名临时工被雇用一个月，该外资公司将支付875
RMB的培训费，但若该员工签了2个月或3个月，则不需要支付更多的培训费用．
需解决问题
构造一个模型确定该外资公司每月应雇用的签署各种合同的员工数使达到计划目标的总花费最少．确定你的报告中包括并且分析了以下几项内容：
1．一份计划表，其中描述了该外资公司每月应雇签各种合同的临时工总数.
2．一份总结表，其中描述了该外资公司应雇签各种合同的临时工数、与每种选择相关的合同费用以及相关培训费，给出合计数包括所雇用临时工总数、合同费用以及培训总费用.
3．若每个临时工的每月培训费降至700
RMB，雇用计划将受何影响，请加以解释．讨论减少培训费用的方法，与基于875
RMB培训费的雇用计划相比培训费将减少多少？
4．假设该外资公司1月份雇用了10名全职员工以满足接下来6个月的部分劳工需求．如果该公司可支付全职员工每人每小时16.5
RMB，其中包括附加福利，与雇用临时工相比这对总工资和培训费用有何影响？估计全职员工和临时员工大约每月工作160小时，你对雇用额外的全职员工有何建议？
问题分析
该外资公司劳动力分配问题属于典型的线性规划问题
解决方案
确定目标函数采用线性模型求解
模型与使用工具
成本最小化模型/Excel中线性规划求解功能求解
目标函数
MinY＝2
000
Xi1＋4
800
Xi2＋7
500
Xi3＋875(Xi1＋Xi2＋Xi3)
Xi1:
雇用一个月临时工数目
Xi2:
雇用二个月临时工数目
Xi3:
雇用三个月临时工数目
Y:
总花费
决策变量为Xij
Xij:
表示i月份雇用j个月临时工数
例如X12表示一月份雇用两个月临时工数目
约束条件
1)
X11＋X12＋X13＝10
X12＋X13＋X21＋X22＋X23＝23
X13＋X22＋X23＋X31＋X32＋X33＝19
X23＋X32＋X33＋X41＋X42＋X43＝26
X33＋X42＋X43＋X51＋X52＝20
X43＋X52＋X61＝14
2)
Xi1＝X11＋X21＋X31＋X41＋X51＋X61
Xj2＝
X12＋X22＋X32＋X42＋X52
Xj3＝X13＋X23＋X33＋X43
3)
Xij≥0且为整数
当培训费用为RMB
875/人时运算结果如下：
雇佣人数分配表
项目/月份
雇佣一个月人数
雇佣二个月人数
雇佣三个月人数
总雇佣人数
1月份
0
2
8
10
2月份
7
0
6
13
3月份
0
0
5
5
4月份
0
1
14
15
5月份
0
0
0
0
6月份
0
0
0
0
合计
7
3
33
43
费用统计表
项目
1个月工资/人
2个月工资/人
3个月工资/人
培训费用
费用
2
000
4
800
7
500
875
人数
7
3
33
43
合计
14
000
14
400
247
500
37
625
总费用
313
525
结论：总费用Ymin
＝313
525
RMB
雇用一个月人数为7人，雇用二个月的人数为3人，雇用三个月人数为33人．
当培训降低至700
RMB/人时运算结果如下：
雇佣人数分配表
项目/月份
雇佣一个月人数
雇佣二个月人数
雇佣三个月人数
总雇佣人数
1月份
10
0
0
10
2月份
23
0
0
23
3月份
19
0
5
19
4月份
26
0
0
26
5月份
20
0
0
20
6月份
14
0
0
14
合计
112
0
0
112
费用统计表
项目
1个月工资/人
2个月工资/人
3个月工资/人
培训费用
费用
2
000
4
800
7
500
700
人数
112
0
0
112
合计
224
000
0
0
78
400
总费用
302
400
总结
1．总费用为302
400
RMB比培训费用为875
RMB/人，
减少11
125
RMB.
2．雇用的工种由原来雇用三个月工期临时工为主变为全部雇用一个月工期临时工．因为当培训费用降低时雇用两个或三个月所增加的工资比培训费还多，故改为雇用一个月的临时工费用较低．
3．减少培训费用的方法有：
A．将工作细分，每个员工培训的内容也按具体工作需求进行，无需全面培训
B．雇用已具备所需工作技能的员工，从而减少培训项目
若雇用10名全职员工工资及培训费用运算结果如下：
雇佣人数分配表
项目/月份
雇佣一个月人数
雇佣二个月人数
雇佣三个月人数
全职人员数
总雇佣人数
1月份
0
0
0
0
0
2月份
4
0
9
0
13
3月份
0
0
0
5
5
4月份
0
3
4
0
7
5月份
3
0
0
5
8
6月份
0
0
0
0
0
合计
7
3
13
10
33
费用统计表
项目
1个月工资/人
2个月工资/人
3个月工资/人
全职工资
培训费用
费用
2
000
4
800
7
500
15
840
875
人数
7
3
13
10
33
合计
14
000
14
400
97
500
158
400
28
875
总费用
313
175
从计算结果可以看出，总费用会比全部雇用临时工少350
RMB，因为培训费用虽然可以减少
8
750
RMB，但是工资却增加
8
400
RMB，所以在培训费用较高的情况下，多雇用全职员工可减少总费用；在培训费用较低的情况下，就尽量少雇用全职员工．例如：当培训费用减少至700
RMB时，若雇用10名全职工，总费用将增加
5
000
RMB.
计划表
计划表
雇签期限/月份
雇佣一个月
雇佣二个月
雇佣三个月
1月份
0
2
8
2月份
7
0
6
3月份
0
0
5
4月份
0
1
14
5月份
0
0
0
6月份
0
0
0
合计
7
3
33
总结表
总结表
项目
1个月
2个月
3个月
合计
临时工数
7
3
33
43
合同费用
14
000
14
400
247
500
275
900
培训费用
6
125
2
625
28
875
37
625
总费用
313
525(共20张PPT)
数学建模：建立统计模型进行预测
案例赏析
案例背景
某外资公司在中国的惠州和廊坊有两家制造厂，每月的产品需求量变化很大使该外资公司很难排定劳动力计划表．最近该外资公司开始雇用由人力资源中介公司提供的临时工，人力资源中介公司提供签署3种不同合同的临时工，合同规定的雇用时间长短及费用各不相同．三种选择如下：
选择
雇佣时间
费用(人民币)
1
1个月
2
000
2
2个月
4
800
3
3个月
7
500
合同期越长费用越高．这是因为找到愿意长时间工作的临时工对人力资源中介公司更为困难．在下6个月中该外资公司计划需要的额外员工数如下：
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
需要人数
10
23
19
26
20
14
每个月该外资公司可根据需要雇用能签署每种合同的员工．例如若该外资公司1月份雇用了5名符合第二项选择的员工，人力资源中介公司将为该外资公司提供5名员工均在1、2月份工作．在这种情况下该外资公司将支付5×480
0＝24
000
RMB.由于进行中的某些合同谈判，该外资公司不希望任何临时工的合同签到6月份以后.
该外资公司有一个质量控制项目并需要每名临时工在受雇的同时接受培训，即使以前在该外资公司工作过，该临时工也要接受培训．该外资公司估计每雇用一名临时工培训费用为875
RMB，因此若一名临时工被雇用一个月，该外资公司将支付875
RMB的培训费，但若该员工签了2个月或3个月，则不需要支付更多的培训费用．
需解决问题
构造一个模型确定该外资公司每月应雇用的签署各种合同的员工数使达到计划目标的总花费最少．确定你的报告中包括并且分析了以下几项内容：
1．一份计划表，其中描述了该外资公司每月应雇签各种合同的临时工总数.
2．一份总结表，其中描述了该外资公司应雇签各种合同的临时工数、与每种选择相关的合同费用以及相关培训费，给出合计数包括所雇用临时工总数、合同费用以及培训总费用.
3．若每个临时工的每月培训费降至700
RMB，雇用计划将受何影响，请加以解释．讨论减少培训费用的方法，与基于875
RMB培训费的雇用计划相比培训费将减少多少？
4．假设该外资公司1月份雇用了10名全职员工以满足接下来6个月的部分劳工需求．如果该公司可支付全职员工每人每小时16.5
RMB，其中包括附加福利，与雇用临时工相比这对总工资和培训费用有何影响？估计全职员工和临时员工大约每月工作160小时，你对雇用额外的全职员工有何建议？
问题分析
该外资公司劳动力分配问题属于典型的线性规划问题
解决方案
确定目标函数采用线性模型求解
模型与使用工具
成本最小化模型/Excel中线性规划求解功能求解
目标函数
MinY＝2
000
Xi1＋4
800
Xi2＋7
500
Xi3＋875(Xi1＋Xi2＋Xi3)
Xi1:
雇用一个月临时工数目
Xi2:
雇用二个月临时工数目
Xi3:
雇用三个月临时工数目
Y:
总花费
决策变量为Xij
Xij:
表示i月份雇用j个月临时工数
例如X12表示一月份雇用两个月临时工数目
约束条件
1)
X11＋X12＋X13＝10
X12＋X13＋X21＋X22＋X23＝23
X13＋X22＋X23＋X31＋X32＋X33＝19
X23＋X32＋X33＋X41＋X42＋X43＝26
X33＋X42＋X43＋X51＋X52＝20
X43＋X52＋X61＝14
2)
Xi1＝X11＋X21＋X31＋X41＋X51＋X61
Xj2＝
X12＋X22＋X32＋X42＋X52
Xj3＝X13＋X23＋X33＋X43
3)
Xij≥0且为整数
当培训费用为RMB
875/人时运算结果如下：
雇佣人数分配表
项目/月份
雇佣一个月人数
雇佣二个月人数
雇佣三个月人数
总雇佣人数
1月份
0
2
8
10
2月份
7
0
6
13
3月份
0
0
5
5
4月份
0
1
14
15
5月份
0
0
0
0
6月份
0
0
0
0
合计
7
3
33
43
费用统计表
项目
1个月工资/人
2个月工资/人
3个月工资/人
培训费用
费用
2
000
4
800
7
500
875
人数
7
3
33
43
合计
14
000
14
400
247
500
37
625
总费用
313
525
?
?
?
结论：总费用Ymin
＝313
525
RMB
雇用一个月人数为7人，雇用二个月的人数为3人，雇用三个月人数为33人．
当培训降低至700
RMB/人时运算结果如下：
雇佣人数分配表
项目/月份
雇佣一个月人数
雇佣二个月人数
雇佣三个月人数
总雇佣人数
1月份
10
0
0
10
2月份
23
0
0
23
3月份
19
0
5
19
4月份
26
0
0
26
5月份
20
0
0
20
6月份
14
0
0
14
合计
112
0
0
112
费用统计表
项目
1个月工资/人
2个月工资/人
3个月工资/人
培训费用
费用
2
000
4
800
7
500
700
人数
112
0
0
112
合计
224
000
0
0
78
400
总费用
302
400
?
?
?
总结
1．总费用为302
400
RMB比培训费用为875
RMB/人，
减少11
125
RMB.
2．雇用的工种由原来雇用三个月工期临时工为主变为全部雇用一个月工期临时工．因为当培训费用降低时雇用两个或三个月所增加的工资比培训费还多，故改为雇用一个月的临时工费用较低．
3．减少培训费用的方法有：
A．将工作细分，每个员工培训的内容也按具体工作需求进行，无需全面培训
B．雇用已具备所需工作技能的员工，从而减少培训项目
若雇用10名全职员工工资及培训费用运算结果如下：
雇佣人数分配表
项目/月份
雇佣一个月人数
雇佣二个月人数
雇佣三个月人数
全职人员数
总雇佣人数
1月份
0
0
0
0
0
2月份
4
0
9
0
13
3月份
0
0
0
5
5
4月份
0
3
4
0
7
5月份
3
0
0
5
8
6月份
0
0
0
0
0
合计
7
3
13
10
33
费用统计表
项目
1个月工资/人
2个月工资/人
3个月工资/人
全职工资
培训费用
费用
2
000
4
800
7
500
15
840
875
人数
7
3
13
10
33
合计
14
000
14
400
97
500
158
400
28
875
总费用
313
175
?
?
?
?
从计算结果可以看出，总费用会比全部雇用临时工少350
RMB，因为培训费用虽然可以减少
8
750
RMB，但是工资却增加
8
400
RMB，所以在培训费用较高的情况下，多雇用全职员工可减少总费用；在培训费用较低的情况下，就尽量少雇用全职员工．例如：当培训费用减少至700
RMB时，若雇用10名全职工，总费用将增加
5
000
RMB.
计划表
计划表
雇签期限/月份
雇佣一个月
雇佣二个月
雇佣三个月
1月份
0
2
8
2月份
7
0
6
3月份
0
0
5
4月份
0
1
14
5月份
0
0
0
6月份
0
0
0
合计
7
3
33
总结表
总结表
项目
1个月
2个月
3个月
合计
临时工数
7
3
33
43
合同费用
14
000
14
400
247
500
275
900
培训费用
6
125
2
625
28
875
37
625
总费用
313
525
?
?
?
