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习题课 两个计数原理及排列组合
课标要求
素养要求
1.进一步理解两个计数原理，掌握解决计数实际问题的基本思想.
2.理解排列、组合的概念，加深公式的理解应用；利用排列、组合解决一些简单的实际问题.
通过回顾相关的知识，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养.
新知探究
有10个年轻人在一家饭店吃饭，几个人商议想吃免费的午餐，老板说“你们每次来吃饭由我安排座位，如果我安排的座位与前面的哪一次完全重复了，就免去全部费用”．大家以为很快就能吃到免费的午餐，结果一年以后还没吃到，你认为他们可能吃到吗？
问题 上述情景中，他们能吃到免费的午餐吗，为什么？
提示 上述情景中，老板安排10人的座位共有10！＝3
628
800(种)排法，就算每天吃一餐，也要近1万年才能排完，所以这10个人不可能吃到免费的午餐．
1．分类加法计数原理计算公式：N＝m1＋m2＋…＋mn.
分步乘法计数原理计算公式：N＝m1×m2×…×mn.
3．解决受限制条件的排列、组合问题的一般策略
(1)特殊元素、特殊位置优先安排的策略；
(2)正难则反，等价转化的策略；
(3)相邻问题，捆绑处理的策略；
(4)不相邻问题，插空处理的策略；
(5)定序问题，除法处理的策略；
(6)“小集团”排列问题，先整体后局部的策略；
(7)平均分组问题，除法处理的策略；
(8)构造模型的策略．
拓展深化
[微判断]
1．从3，5，7，11中任取两个数相除属于组合问题．
(
)
提示 由于两个数相除与顺序有关，所以是排列问题．
2．由于组合数的两个公式都是分式，所以结果不一定是整数．
(
)
3．区别组合与排列的关键是看问题元素是否与顺序有关．
(
)
×
√
×
A．9
B．12
C．15
D．3
A．9
B．8
C．7
D．6
3．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有( )
A．144种
B．90种
C．260种
D．120种
[微思考]
1．在排列数中，n，m的作用是什么？
提示 n是连续相乘正整数(因式)中的最大的数，而正整数(因式)的个数取决于m.
2．定序问题是排列问题还是组合问题？
提示 定序是指某些元素的顺序是一定的，即顺序对元素不再产生影响，所以是组合问题.
题型一
两个计数原理的应用
【例1】 (1)如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有( )
A．11
B．12
C．20
D．21
解析 根据题意，设5个开关依次为1，2，3，4，5，若电路接通，则开关1，2与3，4，5中分别至少有1个接通，
对于开关1，2，共有2×2＝4(种)情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有4－1＝3(种)情况；
对于开关3，4，5，共有2×2×2＝8(种)情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有8－1＝7(种)情况，
则电路接通的情况有3×7＝21(种)．故选D.
答案 D
(2)电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有__________种不同的结果．
解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17
400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11
400(种)结果．因此共有17
400＋11
400＝28
800(种)不同结果．
答案 28
800
规律方法 “类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可．
【训练1】 (1)现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )
A．24种
B．30种
C．36种
D．48种
解析 将原图从上而下的4个区域标为1，2，3，4.因为1，2，3之间不能同色，1与4可以同色，因此，要分类讨论1，4同色与不同色这两种情况．故不同的着色方法种数为4×3×2＋4×3×2×1＝48.故选D.
(2)有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有__________种(用数字作答)．
解析 上午总测试方法有4×3×2×1＝24(种)；我们以A，B，C，D，E依次代表五个测试项目．若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B，C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种；若上午测试E的同学下午测试A，B，C之一，则上午测试A，B，C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有3×3＝9(种)测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步乘法计数原理，总的测试方法共有24×11＝264(种)．
答案 264
题型二 有限制条件的排列、组合问题
【例2】 为迎接国庆，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为( )
A．720
B．768
C．810
D．816
答案 B
规律方法 (1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽)．
(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．
(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决，即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．
【训练2】 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )
A．210种
B．420种
C．56种
D．22种
题型三 排列、组合的综合应用
【例3】 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
规律方法 解决有关排列与组合的综合应用问题尤其应注意两点：(1)审清题意，区分哪是排列，哪是组合；(2)往往综合问题会有多个限制条件，应认真分析确定分类还是分步．
【训练3】 有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养．
2．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础．
3．解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理．
4．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．
二、素养训练
1．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有( )
A．8本
B．9本
C．12本
D．18本
解析 由分步乘法计数原理得，不同编号的书共有2×3×3＝18(本)．
答案 D
2．从4男3女志愿者中选1女2男分别到A，B，C三地去执行任务，则不同的选派方法有( )
A．36种
B．108种
C．210种
D．72种
3．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )
A．24
B．48
C．72
D．96
4．8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有__________种(用数字作答)．
5．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有__________种(用数字作答)．习题课 两个计数原理及排列组合
课标要求
素养要求
1.进一步理解两个计数原理，掌握解决计数实际问题的基本思想.2.理解排列、组合的概念，加深公式的理解应用；利用排列、组合解决一些简单的实际问题.
通过回顾相关的知识，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养.
新知探究
有10个年轻人在一家饭店吃饭，几个人商议想吃免费的午餐，老板说“你们每次来吃饭由我安排座位，如果我安排的座位与前面的哪一次完全重复了，就免去全部费用”．大家以为很快就能吃到免费的午餐，结果一年以后还没吃到，你认为他们可能吃到吗？
问题 上述情景中，他们能吃到免费的午餐吗，为什么？
提示 上述情景中，老板安排10人的座位共有10！＝3
628
800(种)排法，就算每天吃一餐，也要近1万年才能排完，所以这10个人不可能吃到免费的午餐．
1．分类加法计数原理计算公式：N＝m1＋m2＋…＋mn.
分步乘法计数原理计算公式：N＝m1×m2×…×mn.
2．排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝；
组合数公式：C＝＝(n，m∈N
，m≤n)．
3．解决受限制条件的排列、组合问题的一般策略
(1)特殊元素、特殊位置优先安排的策略；
(2)正难则反，等价转化的策略；
(3)相邻问题，捆绑处理的策略；
(4)不相邻问题，插空处理的策略；
(5)定序问题，除法处理的策略；
(6)“小集团”排列问题，先整体后局部的策略；
(7)平均分组问题，除法处理的策略；
(8)构造模型的策略．
拓展深化
[微判断]
1．从3，5，7，11中任取两个数相除属于组合问题．(×)
提示 由于两个数相除与顺序有关，所以是排列问题．
2．由于组合数的两个公式都是分式，所以结果不一定是整数．(×)
提示 C是从n个不同元素中取m个不同元素的情况的种数，故C一定是正整数．
3．区别组合与排列的关键是看问题元素是否与顺序有关．(√)
[微训练]
1．A－C＝( )
A．9
B．12
C．15
D．3
解析 由题意得A－C＝4×3－＝12－3＝9.
答案 A
2．若A＝6C，则m等于( )
A．9
B．8
C．7
D．6
解析 因为A＝6C，
所以m(m－1)(m－2)＝6·，
即1＝，解得m＝7.
答案 C
3．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有( )
A．144种
B．90种
C．260种
D．120种
解析 3名女生先排好，有A种排法，让3个男生去插空，有A种方法，故共有A·A＝144(种)排法．
答案 A
[微思考]
1．在排列数中，n，m的作用是什么？
提示 n是连续相乘正整数(因式)中的最大的数，而正整数(因式)的个数取决于m.
2．定序问题是排列问题还是组合问题？
提示 定序是指某些元素的顺序是一定的，即顺序对元素不再产生影响，所以是组合问题.
题型一
两个计数原理的应用
【例1】 (1)如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有( )
A．11
B．12
C．20
D．21
解析 根据题意，设5个开关依次为1，2，3，4，5，若电路接通，则开关1，2与3，4，5中分别至少有1个接通，
对于开关1，2，共有2×2＝4(种)情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有4－1＝3(种)情况；
对于开关3，4，5，共有2×2×2＝8(种)情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有8－1＝7(种)情况，
则电路接通的情况有3×7＝21(种)．故选D.
答案 D
(2)电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有__________种不同的结果．
解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17
400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11
400(种)结果．因此共有17
400＋11
400＝28
800(种)不同结果．
答案 28
800
规律方法 “类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可．
【训练1】 (1)现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )
A．24种
B．30种
C．36种
D．48种
解析 将原图从上而下的4个区域标为1，2，3，4.因为1，2，3之间不能同色，1与4可以同色，因此，要分类讨论1，4同色与不同色这两种情况．故不同的着色方法种数为4×3×2＋4×3×2×1＝48.故选D.
答案 D
(2)有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有__________种(用数字作答)．
解析 上午总测试方法有4×3×2×1＝24(种)；我们以A，B，C，D，E依次代表五个测试项目．若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B，C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种；若上午测试E的同学下午测试A，B，C之一，则上午测试A，B，C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有3×3＝9(种)测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步乘法计数原理，总的测试方法共有24×11＝264(种)．
答案 264
题型二 有限制条件的排列、组合问题
【例2】 为迎接国庆，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为( )
A．720
B．768
C．810
D．816
解析 根据题意，在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，有A＝840(种)情况，
其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加的情况有A＝24(种)，
则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加的情况有840－24＝816(种)，
其中当甲、乙、丙都参加且甲和乙相邻的情况有CAA＝48(种)，
则满足题意的朗诵顺序有816－48＝768(种)．
故选B.
答案 B
规律方法 (1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽)．
(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．
(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决，即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．
【训练2】 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )
A．210种
B．420种
C．56种
D．22种
解析 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有CC＋CC＝210(种)．
答案 A
题型三 排列、组合的综合应用
【例3】 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
解 (1)先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有CC＋CC种，后排有A种，
共(CC＋CC)·A＝5
400种．
(2)除去该女生后，先取后排，有C·A＝840种．
(3)先选后排，但先安排该男生，有C·C·A＝3
360种．
(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其中3人全排有A种，共C·C·A＝360(种)．
规律方法 解决有关排列与组合的综合应用问题尤其应注意两点：(1)审清题意，区分哪是排列，哪是组合；(2)往往综合问题会有多个限制条件，应认真分析确定分类还是分步．
【训练3】 有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
解 法一 从0和1这个特殊情况考虑，可分三类：
第1类：取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种方法；0可在后两位，有C种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C×C×C×22个．
第2类：取1不取0，同上分析可得不同的三位数C×22×A个．
第3类：0和1都不取，有不同的三位数C×23×A个．
综上所述，不同的三位数共有C×C×C×22＋C×22×A＋C×23×A＝432(个)．
法二 任取三张卡片可以组成不同的三位数C×23×A个，其中0在百位的有C×22×A个，这是不合题意的，故不同的三位数共有C×23×A－C×22×A＝432(个).
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养．
2．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础．
3．解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理．
4．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．
二、素养训练
1．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有( )
A．8本
B．9本
C．12本
D．18本
解析 由分步乘法计数原理得，不同编号的书共有2×3×3＝18(本)．
答案 D
2．从4男3女志愿者中选1女2男分别到A，B，C三地去执行任务，则不同的选派方法有( )
A．36种
B．108种
C．210种
D．72种
解析 从4男3女志愿者中选1女2男有CC＝18(种)方法，分别到A，B，C地执行任务，有A＝6(种)方法，根据分步乘法计数原理可得不同的选派方法有18×6＝108(种)．
答案 B
3．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )
A．24
B．48
C．72
D．96
解析 根据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有AA种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有AACC种不同的摆放方法．由分类加法计数原理可得共有AA＋AACC＝48(种)摆放方法．
答案 B
4．8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有__________种(用数字作答)．
解析 将2次连续命中当作一个整体，和另一次命中插入另外5次不命中留下的6个空档里进行排列有A＝30(种)．
答案 30
5．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有__________种(用数字作答)．
解析 甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A种方法．乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A种方法．丙传第一棒，共有C·A种方法．由分类计数原理得，共有A＋A＋C·A＝96(种)方法．
答案 96
基础达标
一、选择题
1．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A，B，O，AB型四种之一．依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型．若某人的血型为O型，则其父母血型的所有可能情况有( )
A．12种
B．6种
C．10种
D．9种
解析 由题意，他的父母的血型都是A，B，O三种之一，由分步乘法计数原理知，其父母血型的所有可能情况共有3×3＝9(种)．
答案 D
2．若C＝C，则的值为( )
A．1
B．20
C．35
D．7
解析 若C＝C，
则
，可得n＝7，
所以＝＝＝35.
答案 C
3．在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是( )
A．120
B．204
C．168
D．216
解析 由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含0时，从9个数字中选三个，则这三个数字递增或递减的顺序可以确定两个三位数，共有2C＝168(个)，当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果，共有C＝36(个)，根据分类加法计数原理知共有168＋36＝204(个)，故选B.
答案 B
4．有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有( )
A．72种
B．54种
C．48种
D．8种
解析 用分步乘法计数原理：第一步：先排每对师徒有A·A·A，第二步：将每对师徒当作一个整体进行排列有A种，由分步乘法计数原理可知共有A·(A)3＝48(种)．
答案 C
5．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退烧药b1，b2，b3，b4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验，但又知a1，a2两种药必须同时使用，且a3，b4两种药不能同时使用，则不同的实验方案共有( )
A．56种
B．28种
C．21种
D．14种
解析 分3类：当取a1，a2时，再取退烧药有C种方案；取a3时，取另一种消炎药的方法有C种，再取退烧药有C种，共有CC种方案；取a4，a5时，再取退烧药有C种方案．故共有C＋CC＋C＝14(种)不同的实验方案．
答案 D
二、填空题
6．小明、小红等4位同学各自申请甲、乙两所大学的自主招生考试资格，则每所大学恰有两位同学申请，且小明、小红没有申请同一所大学的可能性有__________种．
解析 设小明、小红等4位同学分别为A，B，C，D，小明、小红没有申请同一所大学，则组合为(AC，BD)与(AD，BC)．若AC选甲学校，则BD选乙学校，若AC选乙学校，则BD选甲学校；若AD选甲学校，则BC选乙学校，若AD选乙学校，则BC选甲学校．故共有4种方法．
答案 4
7．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是__________．
解析 按从事司机工作的人数进行分类：
①有1人从事司机工作：CCA＝108(种)；
②有2人从事司机工作：C·A＝18(种)．
∴不同安排方案的种数是108＋18＝126.
答案 126
8．连接正三棱柱的6个顶点，可以组成________个四面体．
解析 从正三棱柱的6个顶点中任取4个，有C种方法，其中4个点共面的有3种情况，故可以组成C－3＝12(个)四面体．
答案 12
三、解答题
9．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求：
(1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？
(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？
(3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？
解 (1)有A＝120(种)不同的方法．
(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有AAA＝24(种)不同的方法．
(3)按人数分配方式分类：
①3，1，1，有eq
\f(CCC,A)A＝60(种)方法；
②2，2，1，有eq
\f(CCC,A)A＝90(种)方法．
故共有60＋90＝150(种)分配方法．
10．从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？
(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
(4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个？
解 (1)分步完成：
第一步，在4个偶数中取3个，有C种情况．
第二步，在5个奇数中取4个，有C种情况．
第三步，将3个偶数、4个奇数进行排列，有A种情况．
所以符合题意的七位数有C·C·A＝100
800(个)．
(2)在上述七位数中，3个偶数排在一起的有C·C·A·A＝14
400(个)．
(3)在(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C·C·A·A·A＝5
760(个)．
(4)在(1)中的七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空位(包括两端)中，共有C·C·A·A＝28
800(个)．
能力提升
11．用1，2，3，4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为__________．
解析 首先排两个奇数1，3，有A种排法，再在2，4中取一个数放在1，3之间，有C种排法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A种排法，即满足条件的四位数的个数为ACA＝8.
答案 8
12．4位同学参加辩论赛，比赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学有多少种不同的得分情况？
解 本题分两种情况讨论．
(1)如果4位同学中有2人选甲，2人选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是选甲的2人一人答对，另一人答错，选乙的2人一人答对，另一人答错．有CAA＝24(种)不同的情况．
(2)如果4位同学都选甲或者都选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是2人答对，另2人答错，有CCC＝12(种)不同的情况．
综上可知，一共有24＋12＝36(种)不同的情况．
创新猜想
13．(多空题)商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有__________种不同的选法．要买上衣、裤子各一件，共有__________种不同的选法．
解析 买上衣，有15种选法；买裤子，有18种选法．买1件上衣或1件裤子有15＋18＝33(种)选法．买一件上衣和一条裤子，有15×18＝270(种)选法．
答案 33 270
14．(多空题)将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为__________；恰有一个空盒子的方法数为__________．
解析 先把8个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧各放置一块隔板，然后在小球之间7个空隙中任选4个空隙各插一块隔板，有C＝35(种)．
若恰有一个空盒子，插板分两步进行，先将首尾两球外侧各放置一块隔板，并在7个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，有C种插法，故共有C·C＝175(种)．
答案 35 175
