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习题课 二项式定理
课标要求
素养要求
1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.
2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题.
通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.
新知探究
数学课上，陈老师给同学们出了一道数学题，规定最先给出正确答案者获胜，题目是这样的：“今天是星期一，那么82
008天后是星期几？”问题给出后，大家七嘴八舌，猜什么答案的都有．
问题 你怎样准确快速地得到答案？
1．二项式定理及其相关概念
2.二项式系数的性质
2．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．
(
)
提示 二项式展开式中项的系数与二项式系数不是同一概念．
×
×
[微训练]
1．(x＋2)8的展开式中x6的系数是( )
A．28
B．56
C．112
D．224
2．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于__________．
解析 依题意可得a0＋a2＋a4＝－(a1＋a3＋a5)＝25－1＝16，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.
答案 －256
[微思考]
求二项展开式中系数问题的关键是什么？
提示 关键是分清二项式系数与项的系数，注意n的奇偶，正确运用二项展开式的通项.
题型一
两个二项式积的问题
则10＋5a＝5，解得a＝－1.
答案 (1)B (2)－1
规律方法 两个二项式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．
(3)分别求解再相乘，求和即得．
解析 (1)令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1，
令5－2k＝－1，得k＝3，
令5－k1－2k2＝0，即k1＋2k2＝5.
规律方法 三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性．
【训练2】 (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________．
题型三 整除和余数问题
【例3】 (1)今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期( )
A．一
B．二
C．三
D．四
解析 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数．
(2)设a∈Z，且0≤a<13，若512
017＋a能被13整除，则a＝__________．
规律方法 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了．
(2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．
【训练3】 9192被100除所得的余数为( )
A．1
B．81
C．－81
D．992
前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8
281，显然8
281除以100所得余数为81.
故9192被100除所得的余数为81.
答案 B
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养．
2．两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题，应分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点，然后找到构成展开式中特定项的组成部分，最后分别求解再相乘，求和即得．
3．三项或三项以上的式子的展开问题，通常转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)．
4．用二项式定理处理整除或求余数问题，通常构造一个与题目条件有关的二项式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了．
二、素养训练
1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．30
B．20
C．15
D．10
答案 B
答案 D
解析 当x＝1时，可得M＝1.二项式系数之和N＝2n.
由题意，得M·N＝64，∴2n＝64，∴n＝6.习题课 二项式定理
课标要求
素养要求
1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题.
通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.
新知探究
数学课上，陈老师给同学们出了一道数学题，规定最先给出正确答案者获胜，题目是这样的：“今天是星期一，那么82
008天后是星期几？”问题给出后，大家七嘴八舌，猜什么答案的都有．
问题 你怎样准确快速地得到答案？
提示 82
008＝(7＋1)2
008＝C72
008＋C72
007＋…＋C·7＋1，可知82
008除以7余1，故82
008天后是星期二．
1．二项式定理及其相关概念
二项式定理
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，称为二项式定理
二项式系数
C(k＝0，1，…，n)
通项
Tk＋1＝Can－kbk(k＝0，1，…n)
二项式定理的特例
(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn
2.二项式系数的性质
(1)对称性：C＝C；
(2)性质：C＝C＋C；
(3)二项式系数的最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即
最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即最大；
(4)二项式系数之和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n，所用方法是赋值法；
(5)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．
拓展深化
[微判断]
1．二项式展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.(×)
提示 二项式展开式的二项式系数和为C＋C＋C＋…＋C.
2．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．(×)
提示 二项式展开式中项的系数与二项式系数不是同一概念．
[微训练]
1．(x＋2)8的展开式中x6的系数是( )
A．28
B．56
C．112
D．224
解析 由T2＋1＝Cx8－2·22＝112x6，知(x＋2)8的展开式中x6的系数是112.
答案 C
2．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于__________．
解析 依题意可得a0＋a2＋a4＝－(a1＋a3＋a5)＝25－1＝16，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.
答案 －256
[微思考]
求二项展开式中系数问题的关键是什么？
提示 关键是分清二项式系数与项的系数，注意n的奇偶，正确运用二项展开式的通项.
题型一
两个二项式积的问题
【例1】 (1)(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是( )
A．－4
B．－3
C．3
D．4
(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝__________．
解析 (1)法一 (1－)6的展开式的通项为C·(－)m＝C(－1)mx，(1＋)4的展开式的通项为C()n＝Cx，其中m＝0，1，2，…，6，n＝0，1，2，3，4.
令＋＝1，得m＋n＝2，所以m＝0，n＝2或m＝n＝1或m＝2，n＝0，于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数等于C·(－1)0·C＋C·(－1)1·C＋C·(－1)2·C＝－3.
法二 (1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x)，于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为C·1＋C·(－1)1·1＝－3.
(2)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5.
∴x2的系数为C＋aC，
则10＋5a＝5，解得a＝－1.
答案 (1)B (2)－1
规律方法 两个二项式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．
(3)分别求解再相乘，求和即得．
【训练1】 (1)(多空题)的展开式中各项系数的和为2，则a＝______，该展开式的常数项为______．
(2)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝________．
解析 (1)令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1，
故的展开式中常数项即为的展开式中与x的系数之和．
的展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kC25－kx5－2k，
令5－2k＝1，得k＝2，
∴展开式中x的系数为C×25－2×(－1)2＝80.
令5－2k＝－1，得k＝3，
∴展开式中的系数为C×25－3×(－1)3＝－40，
∴的展开式中常数项为80－40＝40.
(2)f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.
答案 (1)1 40 (2)120
题型二 三项展开式问题
【例2】 的展开式中的常数项是________．
解析 法一 原式＝，
∴展开式的通项为Tk1＋1＝C
k1(k1＝0，1，2，…，5)．
当k1＝5时，T6＝()5＝4，
当0≤k1<5时，的展开式的通项为
T
′k2＋1＝C5－k1－k2k2＝C5－k1－k2·x5－k1－2k2(k2＝0，1，2，…，5－k1)．
令5－k1－2k2＝0，即k1＋2k2＝5.
∵0≤k1<5且k1∈Z，∴或
∴常数项为4＋CC＋CC×()3
＝4＋＋20＝.
法二 原式＝＝·[(x＋)2]5
＝·(x＋)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5项的系数，即C·()5.
∴所求的常数项为eq
\f(C·（\r(2)）5,32)＝.
答案
规律方法 三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性．
【训练2】 (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________．
解析 法一 (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2，
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.
法二 (x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可得含x5y2的项，所以x5y2的系数为CCC＝30.
答案 30
题型三 整除和余数问题
【例3】 (1)今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期( )
A．一
B．二
C．三
D．四
解析 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数．
因为810＝(7＋1)10＝710＋C×79＋…＋C×7＋1＝7M＋1(M∈N
)，所以第810天相当于第1天，故为星期一．
答案 A
(2)设a∈Z，且0≤a<13，若512
017＋a能被13整除，则a＝__________．
解析 ∵512
017＋a＝(52－1)2
017＋a＝C522
017－C522
016＋C522
015－…＋C521－1＋a能被13整除，故－1＋a能被13整除，又0≤a<13，故a＝1.
答案 1
规律方法 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了．
(2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．
【训练3】 9192被100除所得的余数为( )
A．1
B．81
C．－81
D．992
解析 (90＋1)92＝C9092＋C9091＋…＋C902＋C90＋C.
前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8
281，显然8
281除以100所得余数为81.
故9192被100除所得的余数为81.
答案 B
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养．
2．两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题，应分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点，然后找到构成展开式中特定项的组成部分，最后分别求解再相乘，求和即得．
3．三项或三项以上的式子的展开问题，通常转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)．
4．用二项式定理处理整除或求余数问题，通常构造一个与题目条件有关的二项式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了．
二、素养训练
1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．30
B．20
C．15
D．10
解析 因为(1＋x)6的展开式的第(k＋1)项为Tk＋1＝Cxk，所以x(1＋x)6的展开式中含x3的项为Cx3＝15x3，所以含x3项的系数为15.
答案 C
2．已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中系数最大的项为( )
A．270x－1
B．270x
C．405x3
D．243x5
解析 令x＝1，则(a－1)5＝32，解得a＝3，即的展开式中共有6项，其中奇数项为正数，偶数项为负数，所以比较奇数项的系数，分别为C(3x)5＝243x5，C(3x)3＝270x，C(3x)＝，所以系数最大的项为270x，故选B.
答案 B
3．已知x>0，则(1＋x)10的展开式中的常数项为( )
A．1
B．(C)2
C．C
D．C
解析 (1＋x)10＝＝＝，其展开式的通项Tk＋1＝Cx10－k，故当k＝10时，为常数项，为C，故选D.
答案 D
4.当n为正奇数时，7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是( )
A．0
B．2
C．7
D．8
解析 原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－1)n－1＋(－1)n－1，除最后两项外，其余各项都是9的倍数．因为n为正奇数，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7.
答案 C
5．设(2－1)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M，8，N三数成等比数列，则展开式中第四项为__________．
解析 当x＝1时，可得M＝1.二项式系数之和N＝2n.
由题意，得M·N＝64，∴2n＝64，∴n＝6.
∴第四项T4＝C·(2)3·(－1)3＝－160x.
答案 －160x
基础达标
一、选择题
1．二项式的展开式中的常数项是( )
A．第7项
B．第8项
C．第9项
D．第10项
解析 二项展开式中的通项为Tk＋1＝C·x12－k·＝C·2k·x12－k，令12－k＝0，得k＝8.
∴常数项为第9项．
答案 C
2．(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )
A．56
B．84
C．112
D．168
解析 因为(1＋x)8的通项为Cxk，(1＋y)4的通项为Cyt，故(1＋x)8(1＋y)4的通项为CCxkyt.
令k＝2，t＝2，得x2y2的系数为CC＝168.
答案 D
3．若(x＋3y)n的展开式中所有项的系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为( )
A．15
B．10
C．8
D．5
解析 由于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，得其展开式中所有项的系数的和为4n，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.
答案 D
4．若二项式的展开式中的系数是84，则实数a等于( )
A．2
B.
C．1
D.
解析 二项式的展开式的通项为Tk＋1＝
C(2x)7－k·＝C27－kakx7－2k，
令7－2k＝－3，得k＝5.
故展开式中的系数是C22a5，即C22a5＝84，解得a＝1.
答案 C
5．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于( )
A．5
B．6
C．7
D．8
解析 ∵(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C，∴a＝C.同理，b＝C.
∵13a＝7b，∴13·C＝7·C，
∴13·＝7·，
∴m＝6.
答案 B
二、填空题
6．若的展开式中，常数项为，则二项式系数最大的项为__________．
解析 的展开式的通项为Tk＋1＝C·(x2)6－k·＝Ca－kx12－3k，令12－3k＝0，得k＝4，
∴Ca－4＝，解得a＝±2，
当a＝2时，二项式系数最大的项为C(x2)3＝x3.
当a＝－2时，二项式系数最大的项为C(x2)3＝－x3.
答案 x3或－x3
7.的展开式中常数项为__________．
解析 ＝展开式的通项为Tk＋1＝C(－1)kx6－2k.令6－2k＝0，解得k＝3.故展开式中的常数项为－C＝－20.
答案 －20
8．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是__________．
解析 1.056＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037
5＋0.002
5＋…≈1.34.
答案 1.34
三、解答题
9．已知的展开式中二项式系数之和比(2x＋xlg
x)2n的展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1
120，求x.
解 依题意得2n－22n－1＝－112，
整理得(2n－16)(2n＋14)＝0，解得n＝4，
所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项．
依题意得C(2x)4(xlg
x)4＝1
120，化简得x4(1＋lg
x)＝1，
所以x＝1或4(1＋lg
x)＝0，故所求x的值为1或.
10．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项．
解 (1)二项式的展开式中，前三项的系数分别为1，，.
根据前三项的系数成等差数列，可得n＝1＋，求得n＝8或n＝1(舍去)．
故二项式的展开式的通项为Tk＋1＝C·2－k·x4－k.令4－k＝0，求得k＝4，可得展开式中的常数项为T5＝C·＝.
(2)设第k＋1项的系数最大，则由
eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(k)≥C·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(k＋1)，,C·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(k)≥C·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(k－1)，))
求得2≤k≤3.因为k∈Z，所以k＝2或k＝3，故系数最大的项为T3＝7x2或T4＝7x.
能力提升
11．已知的展开式中含x的项为第6项，设(1－x＋2x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a1＋a2＋…＋a2n＝__________．
解析 因为的展开式的通项是Tk＋1＝C(－1)k·x2n－3k(k＝0，1，2，…，n)，因为含x的项为第6项，所以当k＝5时，2n－3k＝1，即n＝8.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝28＝256.又a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a2n＝255.
答案 255
12．已知二项式.
(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．
解 (1)由已知得2C＝C＋C，
即n2－21n＋98＝0，得n＝7或n＝14.
当n＝7时展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项，
∵T4＝C(2x)3＝x3，T5＝C(2x)4＝70x4，∴第4项的系数是，第5项的系数是70.
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第8项，它的系数为C×27＝3
432.
(2)由C＋C＋C＝79，即n2＋n－156＝0，得n＝－13(舍去)或n＝12.
设Tk＋1项的系数最大，
∵＝(1＋4x)12，
∴由eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C·4k≥C·4k－1，,C·4k≥C·4k＋1，))解得9.4≤k≤10.4.
∵0≤k≤n，k∈N，∴k＝10.
∴展开式中系数最大的项是第11项，
且T11＝·C·410·x10＝16
896x10.
创新猜想
13．(多选题)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值可以为( )
A．－5
B．－3
C．1
D．5
解析 在(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9中，
令x＝－2，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝m9，
即[(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)]＝m9.
令x＝0，可得(a0＋a2＋…＋a8)＋(a1＋a3＋…＋a9)＝(2＋m)9.
∵(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，
∴[(a0＋a2＋…＋a8)＋(a1＋a3＋…＋a9)][(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)]＝39，
∴(2＋m)9m9＝(2m＋m2)9＝39，
可得2m＋m2＝3，
解得m＝1或－3.
答案 BC
14．(多空题)已知(1＋m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112，则m＝__________，n＝______________．
解析 由题意可得2n＝256，解得n＝8，
∴展开式的通项为Tk＋1＝Cmkx，
∴含x项的系数为Cm2＝112，
解得m＝2或m＝－2(舍去)．
故m，n的值分别为2，8.
答案 2 8
