习题课 随机变量的均值与方差
课标要求
素养要求
1.进一步理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.
通过进一步研究离散型随机变量的均值与方差，提升数学运算及数据分析素养.
新知探究
根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60
000元，遇到小洪水时要损失10
000元，为保护设备，有如下三种方案：
方案一：运走设备，搬运费为3
800元；
方案二：建保护围墙，建设费为2
000元，但围墙只能防小洪水；
方案三：不采取任何措施，希望不发生洪水．
问题 试比较哪种方案好？
提示 用X1，X2，X3分别表示三种方案的损失．易知E(X1)＝3
800，E(X2)＝2
000＋60
000×0.01＝2
600，E(X3)＝60
000×0.01＋10
000×0.25＝3
100.所以方案二平均损失最小，所以选择方案二．
1．离散型随机变量的均值与方差
在进行决策时，一般先根据期望的大小来决定，当期望值相同或相差不大时，再利用方差进行决策
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝__(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
拓展深化
[微判断]
1．期望值就是算术平均数，与概率无关．(×)
提示 由数学期望公式可知不正确．
2．随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．(√)
3．均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事．(×)
提示 均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事．
[微训练]
1．已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的数学期望E(X)＝( )
A.
B．2
C.
D．3
解析 由数学期望公式可得E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
答案 A
2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝2，4，6，8，10)，则D(X)等于( )
A．5
B．8
C．10
D．16
解析 因为E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
所以D(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.
答案 B
[微思考]
随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区别？
提示 随机变量的均值是常数，而样本的均值，随样本的不同而变化，对于简单的随机抽样，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体均值.
题型一 放回与不放回问题的均值
【例1】 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
(1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值；
(2)放回抽样时，抽取次品数Y的期望与方差．
解 (1)法一 由题知X的可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝eq
\f(C,C)＝；
P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝；
P(X＝2)＝eq
\f(CC,C)＝.
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
法二 由题意知P(X＝k)＝eq
\f(CC,C)(k＝0，1，2)，
∴随机变量X服从超几何分布，n＝3，M＝2，N＝10，
∴E(X)＝＝＝.
(2)由题意知抽取1次取到次品的概率为＝，
随机变量Y服从二项分布Y～B，
∴E(Y)＝3×＝.
D(Y)＝3××＝.
规律方法 不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算．
【训练1】 甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.
(1)若m＝10，求甲袋中红球的个数；
(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求P2的值；
(3)设P2＝，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设X表示摸出红球的总次数，求X的分布列和均值．
解 (1)设甲袋中红球的个数为x，
依题意得x＝10×＝4.
(2)由已知，得＝，解得P2＝.
(3)X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋×C××＝，
P(X＝2)＝×C××＋×＝，
P(X＝3)＝×＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
题型二 与排列、组合有关的分布列的均值
【例2】 如图所示，从A1(1，0，0)，A2(2，0，0)，B1(0，1，0)，B2(0，2，0)，C1(0，0，1)，C2(0，0，2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．
(1)求V＝0的概率；
(2)求均值E(V)．
解 (1)从6个点中随机选取3个点总共有C＝20(种)取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有CC＝12(种)，
因此V＝0的概率为P(V＝0)＝＝.
(2)V的所有可能取值为0，，，，，
则P(V＝0)＝，P＝eq
\f(C,C)＝，
P＝eq
\f(C,C)＝，
P＝eq
\f(C,C)＝，
P＝eq
\f(C,C)＝.
因此V的分布列为
V
0
P
所以E(V)＝0×＋×＋×＋×＋×＝.
规律方法 解此类题的关键是搞清离散型随机变量X取每个值时所对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X取每个值时的概率，利用均值的公式便可得到期望．
【训练2】 某位同学记住了10个数学公式中的m(m≤10)个，从这10个公式中随机抽取3个，若他记住2个的概率为.
(1)求m的值；
(2)分别求他记住的数学公式的个数X与没记住的数学公式的个数Y的均值E(X)与E(Y)，比较E(X)与E(Y)的关系，并加以说明．
解 (1)由题意，得eq
\f(CC,C)＝，
即m(m－1)(10－m)＝120，且m≥2.
所以m的值为6.
(2)由(1)知，这位同学记住的数学公式有6个，故X的可能取值为0，1，2，3，且P(X＝0)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝3)＝eq
\f(CC,C)＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
没记住的数学公式有10－6＝4个，故Y的可能取值为0，1，2，3.
P(Y＝0)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(Y＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(Y＝2)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(Y＝3)＝eq
\f(CC,C)＝，
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P
E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
由E(X)＝，E(Y)＝得出
①E(X)>E(Y)，说明记住公式个数的均值大于没记住公式个数的均值．
②E(X)＋E(Y)＝3，说明记住和没记住的均值之和等于随机抽取公式的个数．
题型三 与互斥、独立事件有关的分布列的均值与方差
【例3】 某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核，每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰)．若该学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，假设每一次考核是否合格互不影响，该生不放弃每一次考核的机会．用X表示其参加补考的次数，求随机变量X的均值与方差．
解 X的可能取值为0，1，2.
设该学生第一次、第二次身体体能考核合格分别为事件A1，A2，第一次、第二次外语考核合格分别为事件B1，B2，
则P(X＝0)＝P(A1B1)＝×＝，
P(X＝2)＝P(1A21B2)＋P(1A2)＝×××＋×××＝.
根据分布列的性质，可知P(X＝1)＝1－P(X＝0)－
P(X＝2)＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝(次)．
D(X)＝×＋×＋×＝.
规律方法 若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率．
【训练3】 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
若商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求Y的均值E(Y)与方差D(Y)．
解 (1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．
P()＝(1－0.4)3＝0.216，
P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784.
(2)Y的可能取值为200，250，300.
P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4，
P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，
因此Y的分布列为
Y
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2
E(Y)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．
D(Y)＝(200－240)2×0.4＋(250－240)2×0.4＋(300－240)2×0.2＝1
400.
题型四 均值与方差问题的实际应用
【例4】 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选哪个？
解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，且X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，从而
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04，
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16，
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24，
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24，
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2，
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08，
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
当n＝19时，
E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4
040(元)．
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4
080(元)．
可知当n＝19时所需费用的均值小于当n＝20时所需费用的均值，故应选n＝19.
规律方法 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
【训练4】 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
解 (1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝5”，
∵P(X＝5)＝×＝，∴P(A)＝1－P(X＝5)＝，
所以这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)法一 设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．
由已知：X1～B，X2～B，
所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝，
因此E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝.
因为E(2X1)>E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
法二 设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y1，都选择方案乙所获得的累计得分为Y2，则Y1，Y2的分布列为：
Y1
0
2
4
P
Y2
0
3
6
P
∴E(Y1)＝0×＋2×＋4×＝，
E(Y2)＝0×＋3×＋6×＝，
因为E(Y1)＞E(Y2)，
所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的数学期望较大.
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升数学运算及数据分析素养．
2．实际问题中的均值、方差问题
均值在实际中有着广泛的应用，如体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
3．概率模型的解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
二、素养训练
1．若随机变量X的分布列如下表所示，则E(X)等于( )
X
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
A.
B.
C.
D.
解析 因为2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝18x＝1，所以x＝，因此E(X)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝40×＝.
答案 C
2.某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会都是p，则供电网络中一天平均用电的单位个数是( )
A．np(1－p)
B．np
C．n
D．p(1－p)
解析 用电单位的个数X～B(n，p)，∴E(X)＝np.
答案 B
3．已知离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
m
则D(X)的值为( )
A.
B.
C.
D．1
解析 由分布列的性质，知＋m＋＝1，∴m＝.
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，
D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(1－2)2×＝.
答案 B
4．已知小明投10次篮，每次投篮的命中率均为0.7，记10次投篮中命中的次数为X，则D(X)＝__________．
解析 由题意，知X～B(10，0.7)，则D(X)＝10×0.7×(1－0.7)＝2.1.
答案 2.1
5．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和均值．
解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A)＝××＝.
(2)依题意，得X所有可能的取值是1，2，3，又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝(次).
基础达标
一、选择题
1．已知X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6，则n与p的值分别是( )
A．100和0.08
B．20和0.4
C．10和0.2
D．10和0.8
解析 因随机变量X～B(n，p)，
则E(X)＝np＝8，
D(X)＝np(1－p)＝1.6，
所以n＝10，p＝0.8.
答案 D
2．甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件，X表示甲车床生产1
000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1
000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别是：
X
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1
Y
0
1
2
3
P
0.5
0.3
0.2
0
据此判定( )
A．甲比乙质量好
B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量一样
D．无法判定
解析 E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
显然E(X)
答案 A
3．一射手向靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，射击完成后剩余子弹的数目X的均值为( )
A．2.44
B．3.376
C．2.376
D．2.4
解析 X的可能取值为3，2，1，0，P(X＝3)＝0.6，P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24，P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096，P(X＝0)＝0.43＝0.064，所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＝2.376.
答案 C
4．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，则D(3X＋5)等于( )
A．6
B．9
C．3
D．4
解析 E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，
∴D(X)＝×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝，
∴D(3X＋5)＝9D(X)＝9×＝6.
答案 A
5．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于( )
A.
B.
C.
D．1
解析 由题意知X＝0，1，2，则
P(X＝0)＝eq
\f(C,C)＝，
P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝eq
\f(C,C)＝，
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
答案 A
二、填空题
6．邮局邮寄普通信件的收费标准是：20克以内收费1.2元，达到20克不足40克收费2.4元，达到40克不足60克收费3.6元．假设邮局每天收到的这三类信件的数量比例为8∶1∶1，那么一天内该邮局收寄的此类普通信件的均价是__________元．
解析 设收寄信件的价格为X元，则X的分布列为
X
1.2
2.4
3.6
P
0.8
0.1
0.1
E(X)＝1.2×0.8＋2.4×0.1＋3.6×0.1＝1.56(元)，即一天内该邮局收寄的此类普通信件的均价为1.56元．
答案 1.56
7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则均值E(X)＝__________(结果用最简分数表示)．
解析 由题意知X的所有可能取值为0，1，2，
因此P(X＝0)＝eq
\f(C,C)＝，P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝eq
\f(C,C)＝，
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
答案
8．已知某随机变量X的分布列如下，其中x>0，y>0，随机变量X的方差D(X)＝，则x＋y＝__________．
X
1
2
3
P
x
y
x
解析 由题意，得2x＋y＝1.
E(X)＝x＋2y＋3x＝4x＋2y＝4x＋2(1－2x)＝2，
D(X)＝＝(1－2)2x＋(2－2)2(1－2x)＋(3－2)2x，
即2x＝，解得x＝.
∴y＝1－2×＝.
∴x＋y＝＋＝.
答案
三、解答题
9．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C·，k＝0，1，2，…，n，且E(X)＝16，求随机变量X的标准差．
解 由题意可知X～B，
∴E(X)＝n＝16，∴n＝64.
∴D(X)＝64××＝12.
∴＝2，故随机变量X的标准差为2.
10．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和均值．
解 (1)P(A)＝eq
\f(CC＋C,C)＝.
(2)随机变量X可能的取值为0，1，2，
P(X＝0)＝eq
\f(C＋C＋C,C)＝，
P(X＝1)＝eq
\f(CC＋CC,C)＝，
P(X＝2)＝eq
\f(CC,C)＝.
则X的分布列为
X
0
1
2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
能力提升
11．掷骰子游戏：规定掷出1点，甲盒中放一球，掷出2点或3点，乙盒中放一球，掷出4，5或6，丙盒中放一球，共掷6次，用x，y，z分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数．令X＝x＋y，则E(X)＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析 将每一次掷骰子看作一次试验，试验的结果分丙盒中投入球为成功和丙盒中不投入球为失败且相互独立，则丙盒中投入球成功的概率为，用z表示6次试验中成功的次数，则z～B，
∴E(z)＝3，又x＋y＋z＝6，
∴X＝x＋y＝6－z，
∴E(X)＝E(6－z)＝6－E(z)＝6－3＝3.
答案 B
12．本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列及均值E(X)．
解 (1)由题意，得甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则
P(A)＝×＋×＋×＝.
故甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
(2)X可能的取值有0，2，4，6，8.
P(X＝0)＝×＝，
P(X＝2)＝×＋×＝，
P(X＝4)＝×＋×＋×＝，
P(X＝6)＝×＋×＝，
P(X＝8)＝×＝.
∴甲、乙两人所付的租车费用之和X的分布列为
X
0
2
4
6
8
P
∴E(X)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝(元)．
创新猜想
13．(多选题)设0X
0
1
2
P
则当p在(0，1)内增大时，下列判断正确的是( )
A．E(X)减小
B．E(X)增大
C．D(X)先减小后增大
D．D(X)先增大后减小
解析 由题可得E(X)＝＋p，D(X)＝－p2＋p＋＝－＋，所以当p在(0，1)内增大时，E(X)增大，D(X)先增大后减小．故选BD.
答案 BD
14．(多空题)已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为__________，__________，__________．
解析 由题意知，－p1＋p3＝0.1，
1．21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89.
又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5.
答案 0.4 0.1 0.5(共51张PPT)
习题课 随机变量的均值与方差
课标要求
素养要求
1.进一步理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.
通过进一步研究离散型随机变量的均值与方差，提升数学运算及数据分析素养.
新知探究
根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60
000元，遇到小洪水时要损失10
000元，为保护设备，有如下三种方案：
方案一：运走设备，搬运费为3
800元；
方案二：建保护围墙，建设费为2
000元，但围墙只能防小洪水；
方案三：不采取任何措施，希望不发生洪水．
问题 试比较哪种方案好？
提示 用X1，X2，X3分别表示三种方案的损失．易知E(X1)＝3
800，E(X2)＝2
000＋60
000×0.01＝2
600，E(X3)＝60
000×0.01＋10
000×0.25＝3
100.所以方案二平均损失最小，所以选择方案二．
1．
离散型随机变量的均值与方差
在进行决策时，一般先根据期望的大小来决定，当期望值相同或相差不大时，再利用方差进行决策
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝___________________________为随机变量X的均值或__________，它反映了离散型随机变量取值的__________．
(2)方差
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
数学期望
平均水平
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝________________．
(2)D(aX＋b)＝______________
(a，b为常数)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝______________．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝________________．
aE(X)＋b
a2D(X)
p(1－p)
np(1－p)
拓展深化
[微判断]
1．期望值就是算术平均数，与概率无关．
(
)
提示 由数学期望公式可知不正确．
2．随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．
(
)
3．均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事．
(
)
提示 均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事．
×
√
×
[微训练]
1．已知离散型随机变量X的分布列为
答案 B
[微思考]
随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区别？
提示 随机变量的均值是常数，而样本的均值，随样本的不同而变化，对于简单的随机抽样，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体均值.
题型一 放回与不放回问题的均值
【例1】 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
(1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值；
(2)放回抽样时，抽取次品数Y的期望与方差．
解 (1)法一 由题知X的可能取值为0，1，2.
∴随机变量X的分布列为
∴随机变量X服从超几何分布，n＝3，M＝2，N＝10，
规律方法 不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算．
解 (1)设甲袋中红球的个数为x，
所以X的分布列为
题型二 与排列、组合有关的分布列的均值
【例2】 如图所示，从A1(1，0，0)，A2(2，0，0)，B1(0，1，0)，B2(0，2，0)，C1(0，0，1)，C2(0，0，2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．
(1)求V＝0的概率；
(2)求均值E(V)．
因此V的分布列为
规律方法 解此类题的关键是搞清离散型随机变量X取每个值时所对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X取每个值时的概率，利用均值的公式便可得到期望．
即m(m－1)(10－m)＝120，且m≥2.
所以m的值为6.
没记住的数学公式有10－6＝4个，故Y的可能取值为0，1，2，3.
所以Y的分布列为
①E(X)>E(Y)，说明记住公式个数的均值大于没记住公式个数的均值．
②E(X)＋E(Y)＝3，说明记住和没记住的均值之和等于随机抽取公式的个数．
解 X的可能取值为0，1，2.
设该学生第一次、第二次身体体能考核合格分别为事件A1，A2，第一次、第二次外语考核合格分别为事件B1，B2，
所以X的分布列为
规律方法 若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率．
【训练3】 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
若商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求Y的均值E(Y)与方差D(Y)．
P(A)＝1－P(
)＝1－0.216＝0.784.
(2)Y的可能取值为200，250，300.
P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4，
P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，
因此Y的分布列为
Y
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2
E(Y)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．
D(Y)＝(200－240)2×0.4＋(250－240)2×0.4＋(300－240)2×0.2＝1
400.
题型四 均值与方差问题的实际应用
【例4】 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选哪个？
解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，且X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，从而
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04，
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16，
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24，
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24，
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2，
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08，
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.
所以X的分布列为
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
当n＝19时，
E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4
040(元)．
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4
080(元)．
可知当n＝19时所需费用的均值小于当n＝20时所需费用的均值，故应选n＝19.
规律方法 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
(2)法一 设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．
因为E(2X1)>E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
法二 设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y1，都选择方案乙所获得的累计得分为Y2，则Y1，Y2的分布列为：
因为E(Y1)＞E(Y2)，
所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的数学期望较大.
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升数学运算及数据分析素养．
2．实际问题中的均值、方差问题
均值在实际中有着广泛的应用，如体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
3．概率模型的解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
二、素养训练
1．若随机变量X的分布列如下表所示，则E(X)等于( )
X
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
答案 C
2.某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会都是p，则供电网络中一天平均用电的单位个数是( )
A．np(1－p)
B．np
C．n
D．p(1－p)
解析 用电单位的个数X～B(n，p)，∴E(X)＝np.
答案 B
3．已知离散型随机变量X的分布列为
答案 B
4．已知小明投10次篮，每次投篮的命中率均为0.7，记10次投篮中命中的次数为X，则D(X)＝__________．
解析 由题意，知X～B(10，0.7)，则D(X)＝10×0.7×(1－0.7)＝2.1.
答案 2.1
5．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和均值．
所以X的分布列为