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6．3 二项式定理
6．3.1 二项式定理
课标要求
素养要求
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.
通过学习二项式定理的有关内容，提升逻辑推理素养及数学运算素养.
新知探究
牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个又一个重要的发现，有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住了姑娘的手，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛的姑娘大叫，离他而去．
问题 什么是二项式定理？
二项式定理及其相关概念
注意二项式系数与系数的概念
拓展深化
[微判断]
1．(a＋b)n的展开式中共有n项．
(
)
提示 (a＋b)n的展开式中共有n＋1项．
2．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．
(
)
提示 交换a，b的顺序各项都发生变化.
×
√
×
×
答案 D
A．80
B．－80
C．40
D．－40
3．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于__________．
解析 S＝[(x－1)＋1]3＝x3.
答案 x3
[微思考]
1．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？
2．二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？
题型一
二项式定理的正用、逆用
答案 44
规律方法 (1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
【训练1】 化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.
解 (1)由已知得二项展开式的通项为
(2)设展开式中的第k＋1项为含x3的项，则
令9－2k＝3，得k＝3，
即展开式中第4项含x3，
【迁移1】 (变设问)本例问题(1)条件不变，问题改为“求第4项的二项式系数和第4项的系数”．
【迁移2】 (变设问)本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解？
解 设展开式中第k＋1项为含x5的项，则
(1)求展开式的第4项的二项式系数；
(2)求展开式的第4项的系数；
(3)求展开式的第4项．
令12－3k＝0，解得k＝4.
答案 D
规律方法 求展开式中特定项的方法
求展开式中特定项的关键是抓住其通项公式，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，
根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．
答案 (1)1 (2)160
解析 逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
答案 C
A．33
B．29
C．23
D．19
3．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．－5
B．5
C．－10
D．10
答案 2406．3 二项式定理
6．3.1 二项式定理
课标要求
素养要求
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.
通过学习二项式定理的有关内容，提升逻辑推理素养及数学运算素养.
新知探究
牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个又一个重要的发现，有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住了姑娘的手，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛的姑娘大叫，离他而去．
问题 什么是二项式定理？
提示 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn即为二项式定理．
二项式定理及其相关概念
注意二项式系数与系数的概念
二项式定理
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，称为二项式定理
二项式系数
C(k＝0，1，…，n)
通项
Tk＋1＝Can－kbk
二项式定理的特例
(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn
拓展深化
[微判断]
1．(a＋b)n的展开式中共有n项．(×)
提示 (a＋b)n的展开式中共有n＋1项．
2．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(×)
提示 交换a，b的顺序各项都发生变化.
3.Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(×)
提示 Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．
4．(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．(√)
[微训练]
1.的展开式中含x3项的二项式系数为( )
A．－10
B．10
C．－5
D．5
解析 展开式的通项为Tk＋1＝Cx5－k＝(－1)kCx5－2k，令5－2k＝3，得k＝1，∴含x3项的二项式系数为C＝5.
答案 D
2.展开式中的常数项为( )
A．80
B．－80
C．40
D．－40
解析 展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)5－k＝(－2)kCx10－5k，令10－5k＝0，得k＝2，∴常数项为(－2)2C＝40.
答案 C
3．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于__________．
解析 S＝[(x－1)＋1]3＝x3.
答案 x3
[微思考]
1．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？
提示 二项式系数与项的系数是两个不同的概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．
2．二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？
提示 不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为Can－kbk，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为Cbn－kak.
题型一
二项式定理的正用、逆用
【例1】 (1)求的展开式．
(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.
解 (1)法一 ＝(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·＋C(3)·＋C＝81x2＋108x＋54＋＋.
法二 ＝
＝(1＋3x)4＝·eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋C·3x＋C（3x）2＋C（3x）3＋C（3x）4))＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.
(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
【迁移】 (变条件，变设问)若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝__________．
解析 ∵(1＋)4＝1＋C×()1＋C×()2＋C×()3＋C×()4＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16，∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.
答案 44
规律方法 (1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
【训练1】 化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.
解 原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
题型二 二项展开式通项的应用
【例2】 (1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)求的展开式中x3的系数．
解 (1)由已知得二项展开式的通项为
Tk＋1＝C(2)6－k·＝26－kC·(－1)k·x3－，
∴T6＝26－5C·(－1)5·x3－×5＝－12x－.
∴第6项的二项式系数为C＝6，
第6项的系数为－12.
(2)设展开式中的第k＋1项为含x3的项，则
Tk＋1＝Cx9－k·＝(－1)k·C·x9－2k，
令9－2k＝3，得k＝3，
即展开式中第4项含x3，
其系数为(－1)3·C＝－84.
【迁移1】 (变设问)本例问题(1)条件不变，问题改为“求第4项的二项式系数和第4项的系数”．
解 由通项Tk＋1＝(－1)k·C·26－k·x3－k，
知第4项的二项式系数为C＝20，
第4项的系数为(－1)3·C·23＝－160.
【迁移2】 (变设问)本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解？
解 设展开式中第k＋1项为含x5的项，则
Tk＋1＝(－1)k·C·x9－2k，
令9－2k＝5，得k＝2，
即展开式中的第3项含x5，且系数为(－1)2·C＝36.
规律方法 (1)求二项展开式的特定项的常见题型
①求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．
(2)求二项展开式的特定项的常用方法
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
【训练2】 已知二项式.
(1)求展开式的第4项的二项式系数；
(2)求展开式的第4项的系数；
(3)求展开式的第4项．
解 的展开式的通项是
Tk＋1＝C(3)10－k＝C310－k·x(k＝0，1，2，…，10)．
(1)展开式的第4项(k＝3)的二项式系数为C＝120.
(2)展开式的第4项的系数为C37＝－77
760.
(3)展开式的第4项为T4＝T3＋1＝－77
760.
题型三 与展开式中的特定项有关的问题
角度1 求展开式中的特定项
【例3】 的展开式中，常数项是( )
A．－
B.
C．－
D.
解析 展开式的通项
Tk＋1＝C(x2)6－k＝Cx12－3k，
令12－3k＝0，解得k＝4.
所以常数项为C＝.
答案 D
角度2 由二项展开式某项的系数求参数问题
【例4】 若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a等于( )
A.
B.
C．1
D．2
解析 的展开式的通项是
Tk＋1＝C·x10－k·＝C·x10－2k，
的展开式中含x4(当k＝3时)、x6(当k＝2时)项的系数分别为C，C.
因为(x2－a)的展开式中含x6的项由x2与展开式中含x4的项的乘积以及－a与展开式中含x6的项的乘积两部分构成，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2.
答案 D
规律方法 求展开式中特定项的方法
求展开式中特定项的关键是抓住其通项公式，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，
根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．
【训练3】 (1)若的展开式中x3的系数是－84，则a＝__________．
(2)已知n为等差数列－4，－2，0，…的第六项，则的二项展开式的常数项是__________．
解析 (1)展开式的通项为Tk＋1＝Cx9－k(－a)k
＝C·(－a)kx9－2k(0≤k≤9，k∈N)．
当9－2k＝3时，解得k＝3，代入得x3的系数为C(－a)3＝－84，解得a＝1.
(2)由题意得n＝6，∴Tk＋1＝2kCx6－2k，
令6－2k＝0得k＝3，∴常数项为23C＝160.
答案 (1)1 (2)160
一、素养落地
1．通过本节的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养．
2．注意区分项的二项式系数与系数的概念．要牢记Can－kbk是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项．
3．求解特定项时必须合并通项中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．
二、素养训练
1．1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC等于( )
A．1
B．－1
C．(－1)n
D．3n
解析 逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
答案 C
2．若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b等于( )
A．33
B．29
C．23
D．19
解析 ∵(1＋)4＝1＋4＋12＋8＋4＝17＋12＝a＋b，又∵a，b为有理数，∴a＝17，b＝12.∴a＋b＝29.
答案 B
3．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．－5
B．5
C．－10
D．10
解析 (1－x)5中x3的系数－C＝－10，－(1－x)6中x3的系数为－C·(－1)3＝20，故(1－x)5－(1－x)6的展开式中x3的系数为10.
答案 D
4．二项式的展开式中，常数项是__________．
解析 二项式的第k＋1项为Tk＋1＝C(2x)6－k·＝C·26－k·x6－3k，令6－3k＝0，解得k＝2，所以常数项是C·24＝240.
答案 240
5.的展开式中x7的系数为__________(用数字作答)．
解析 二项展开式的通项Tk＋1＝C(x2)8－k＝(－1)kCx16－3k，令16－3k＝7，得k＝3，故x7的系数为－C＝－56.
答案 －56
基础达标
一、选择题
1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于( )
A．9
B．10
C．11
D．8
解析 ∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11.
答案 C
2．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为( )
A．－210
B．210
C．－120i
D．－210i
解析 由通项得T7＝C·(－i)6＝－C＝－210.
答案 A
3.展开式中的常数项为( )
A．60
B．－60
C．250
D．－250
解析 展开式的通项为C()6－k＝(－2)kCx3－k.令3－k＝0，得k＝2.∴展开式中的常数项为(－2)2·C＝60.
答案 A
4.展开式中的第4项是( )
A．56x3
B．84x3
C．56x4
D．84x4
解析 由通项公式有T4＝Cx6＝84x3.
答案 B
5．(2x＋)4的展开式中x3的系数是( )
A．6
B．12
C．24
D．48
解析 (2x＋)4展开式的通项为
Tk＋1＝C(2x)4－k()k＝24－kCx4－.
令4－＝3，解得k＝2，
故展开式中x3的系数是4·C＝24.
答案 C
二、填空题
6．若(x＋a)10的展开式中x7的系数为15，则a＝________．
解析 二项展开式的通项为Tk＋1＝Cx10－kak，当10－k＝7时，k＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，故a＝.
答案
7．若展开式中的常数项为－40，则a＝__________．
解析 展开式的第k＋1项为
Tk＋1＝C(2x)5－k·＝C25－kx5－2k.
因为的展开式中的常数项为－40，所以axC22x－1＋C23x＝－40，
所以40a＋80＝－40，解得a＝－3.
答案 －3
8.(x＞0)的展开式中的常数项为__________．
解析 (x＞0)可化为，因而Tk＋1＝C··＝(－2)kC·x6－k.
令6－k＝0，得k＝6，故展开式中的常数项为·C＝59
136.
答案 59
136
三、解答题
9．若二项式(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B＝4A，求a的值．
解 ∵Tk＋1＝Cx6－k＝(－a)kCx6－，
令6－＝3，则k＝2，得A＝C·a2＝15a2；
令6－＝0，则k＝4，得B＝C·a4＝15a4.
由B＝4A可得a2＝4，又a＞0，
所以a＝2.
10．已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．
(1)求n的值；
(2)写出它展开式中的所有有理项．
解 (1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C.
依题意得＋＝2·，
化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，
即n2－37n＋322＝0，
解得n＝14或n＝23，
因为n<15，所以n＝14.
(2)展开式的通项Tk＋1＝Cx·x＝C·x，
展开式中的有理项当且仅当k是6的倍数，又0≤k≤14，
所以展开式中的有理项共3项，分别是：
k＝0，T1＝Cx7＝x7；
k＝6，T7＝Cx6＝3
003x6；
k＝12，T13＝Cx5＝91x5.
能力提升
11．若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋nx＋1(n∈N
)，且a∶b＝3∶1，那么n＝__________．
解析 a＝C，b＝C.∵a∶b＝3∶1，
∴eq
\f(C,C)＝eq
\f(C,C)＝，即＝3，
解得n＝11.
答案 11
12．已知在的展开式中，第9项为常数项，求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数．
解 已知二项展开式的通项为Tk＋1＝C·＝(－1)kCx2n－k.
(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－k＝0，
解得n＝10.
(2)令2×10－k＝5，得k＝(20－5)＝6.
所以x5的系数为(－1)6C＝.
(3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．
创新猜想
13．(多选题)对于二项式(＋x3)n(n∈N
)，以下判断正确的是( )
A．存在n∈N
，使展开式中有常数项
B．对任意n∈N
，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N
，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N
，使展开式中有x的一次项
解析 二项式的展开式的通项为Tk＋1＝Cx4k－n，可知，当n＝4k(k∈N
)和n＝4k－1(k∈N
)时，展开式中分别存在常数项和x的一次项．
答案 AD
14．(多空题)在二项式的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则n＝________，此时二项式展开式中有理项的项数为______．
解析 二项展开式的前三项的系数分别为1，C·，C·，由其成等差数列，可得2C·＝1＋C·，即n＝1＋，所以n＝8(n＝1舍去)．所以展开式的通项Tk＋1＝Cx4－.若为有理项，则有4－∈Z，又0≤k≤8，k∈N，所以k可取0，4，8，所以展开式中有理项的项数为3.
答案 8 3
