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7.2 离散型随机变量及其分布列
第一课时 离散型随机变量
课标要求
素养要求
1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念.
2.了解分布列对于刻画随机现象的重要性.
通过研究离散型随机变量的概念，提升数学抽象及逻辑推理素养.
新知探究
在奥运射击运动中，运动员射击一次，可能出现命中0环，命中1环，……，命中10环等结果，若用X来表示他一次射击所命中的环数，则X即为随机变量．
问题 上述情景中，随机变量X的取值情况如何？
提示 随机变量X的结果可由0，1，……，10共11个数来表示．
1．
随机变量
随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件．
定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有______的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
唯一
2．离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用__________字母表示随机变量，用__________字母表示随机变量的取值.
3.随机变量和函数的关系
随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集．
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大写英文
拓展深化
[微判断]
1．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限可列个．
(
)
2．离散型随机变量的取值是任意的实数．
(
)
提示 取值是有限个或可以一一列举的随机变量才是离散型随机变量．
3．离散型随机变量是指某一区间内的任意值．
(
)
提示 离散型随机变量一定是某个区间内有限个或可以一一列举的值．
×
√
×
[微训练]
1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中无放回地条件下每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )
A．1，2，…，6
B．1，2，…，7
C．1，2，…，11
D．1，2，3，…
解析 可能第一次就取到白球，也可能把6个红球都取完后，才取得白球，故X的可能取值为1，2，3，4，5，6，7.
答案 B
2．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是__________．
解析 当答对3道题时，X＝300；当答对2道题时，X＝100；当答对1道题时，X＝－100；当答对0道题时，X＝－300.
答案 300,
100,
－100,
－300
[微思考]
1．随机变量是自变量吗？
提示 不是．它是随试验结果变化而变化的，不是主动变化的．
2．离散型随机变量的取值必须是有限个吗？
提示 不一定．离散型随机变量的取值可以一一列举出来，所取值可以是有限个，也可以是无限个．
题型一 随机变量的概念
【例1】 判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由．
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数；
(2)抛两枚骰子，出现的点数之和；
(3)体积为8
cm3的正方体的棱长．
解 (1)被抽取卡片的号数可能是1，2，…，10，出现哪种结果是随机的，是随机变量．
(2)抛两枚骰子，出现的点数之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11种情况，出现哪种情况都是随机的，因此是随机变量．
(3)正方体的棱长为定值，不是随机变量.
规律方法 解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．
【训练1】 指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某人射击一次命中的环数；
(2)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；
(3)某个人的属相随年龄的变化．
解 (1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0，1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．
(2)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．
(3)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量．
题型二 离散型随机变量的判断
【例2】 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X；
(2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X；
(3)丁俊晖在2017年世锦赛中每局所得的分数．
解 (1)桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出，
是离散型随机变量．
(2)小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量．
(3)每局所得的分数X可以一一列举出来，是离散型随机变量．
规律方法 判断离散型随机变量的方法
(1)明确随机试验的所有可能结果．
(2)将随机试验的结果数量化．
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
【训练2】 下列随机变量是离散型随机变量的个数是( )
①掷一枚骰子出现的点数；
②投篮一次的结果；
③某同学在12：00至12：30到校的时间；
④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 ①中骰子出现的点数为1，2，3，4，5，6，可以一一列举出来．②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来．④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来．③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来，因此③不是离散型随机变量，故只有①②④满足．
答案 C
题型三 用随机变量表示事件的结果
【例3】 写出下列随机变量可能取的值，
并说明这些值所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10个，
白球5个，
从袋中每次任取1个球，
取后不放回，
直到取出的球是白球为止，
所需要的取球次数．
(2)从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，
所取卡片上的数字之和．
解 (1)设所需的取球次数为X,
则X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，
第i次取到白球，
这里i＝1，2，3，4，…，11.
(2)设所取卡片上的数字之和为X,
则X＝3，4，5，…，11.
X＝3,
表示“取出标有1，2的两张卡片”；
X＝4,
表示“取出标有1，3的两张卡片”；
X＝5,
表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”；
X＝6,
表示“取出标有2，4或1，5的两张卡片”；
X＝7,
表示“取出标有3，4或2，5或1，6的两张卡片”；
X＝8,
表示“取出标有2，6或3，5的两张卡片”；
X＝9,
表示“取出标有3，6或4，5的两张卡片”；
X＝10,
表示“取出标有4，6的两张卡片”；
X＝11,
表示“取出标有5，6的两张卡片”．
【迁移1】 (变条件)若本例(2)中条件不变，
所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量Y,
请问Y有哪些取值？
其中Y＝4表示什么含义？
解 Y的所有可能取值有：1，2，3，4，5.
Y＝4表示“取出标有1，5或2，6的两张卡片”．
【迁移2】 (变条件，
变问法)甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果．
解 根据题意可知X的可能取值为4，5，6，7.
X＝4表示共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局．
X＝5表示在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出．
X＝6表示在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出．
X＝7表示在前6局中，两人打平，后一局有1人胜出．
规律方法 解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点
(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．
(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．
【训练3】 (多空题)一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3个篮球，以X表示取出的篮球的最大号码，则X所有可能的取值为__________，其中X＝4表示的试验结果有__________种．
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养．
2．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．
3．写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值．
二、素养训练
1．下列叙述中，是离散型随机变量的为( )
A．将一枚均匀硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性
解析 选项A，掷硬币不是正面向上就是反面向上，次数之和为5，是常量；选项B，是随机变量，但不能一一列出，不是离散型随机变量；选项D，事件发生的可能性不是随机变量．故选C.
答案 C
2．掷均匀硬币一次，随机变量为( )
A．掷硬币的次数
B．出现正面向上的次数
C．出现正面向上的次数或反面向上的次数
D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和
解析 掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量，设为X，X的取值是0，1.A项中掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的和必是1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量．故选B.
答案 B
3．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
解析 对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．
答案 C
4.抛掷2枚骰子，所得点数之和记为X，那么“X＝4”表示的随机试验的结果是( )
A．2枚都是4点
B．1枚是1点，另1枚是3点或者1枚是3点，另1枚是1点
C．2枚都是2点
D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点，或者1枚是3点，另一枚是1点
解析 抛掷2枚骰子，设其中1枚是x点，另1枚是y点，其中x，y＝1，2，…，6.
而X＝x＋y，
5．下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________(填序号)．
①广州白云机场候机室中一天的旅客数量X；
②广州某水文站观察到一天中珠江的水位X；
③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；
④虎门大桥一天经过的车辆数X.
解析 ①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定的次序一一列出，故不是离散型随机变量，故填②.
答案 ②第二课时 离散型随机变量的分布列及两点分布
课标要求
素养要求
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列.2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.
通过研究离散型随机变量的分布列及其性质，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养.
新知探究
在迎奥运会射击比赛训练中，统计某运动员的射击结果可知，该运动员射击所中环数均在7环(含7环)以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0.1，射击一次命中7环、8环、9环、10环的概率依次成等差数列．
问题 你能知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？
提示 通过学习本节课的离散型随机变量的分布列及其性质，我们可以很快解决此类问题．
1．离散型随机变量的分布列
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和
(1)离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为
x1，x2，…，xn
，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列．
(2)可以用表格来表示X的分布列，如下表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图．
2．离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1，2，…，n；
(2)
p1＋p2＋…＋pn＝1.
3．两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示
X
0
1
P
1－p
p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
拓展深化
[微判断]
1．在离散型随机变量分布列中随机变量的每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(×)
提示 概率必须满足pi≥0才行．
2．在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．(×)
提示 在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和．
3．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.(√)
[微训练]
1．设离散型随机变量X的概率分布列如下表：
X
1
2
3
4
P
p
则p的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析 由分布列的性质，知＋＋＋p＝1，故p＝.
答案 C
2．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1，2，…，则P(2＜X≤4)＝__________．
解析 P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
答案
[微思考]
1．抛掷一枚骰子，朝上的一面所得点数X有哪些值？取每个值的概率是多少？
提示 X的取值有1，2，3，4，5，6，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝.
2．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的吗？
提示 是．离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的.
题型一 求离散型随机变量的分布列
【例1】 为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
177
180
y
75
80
77
70
81
如果产品中的微量元素x，y满足x≥177且y≥79时，该产品为优等品．
现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数X的分布列．
解 5件抽测品中有2件优等品，则X的可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝eq
\f(C,C)＝0.3，
P(X＝1)＝eq
\f(C·C,C)＝0.6，
P(X＝2)＝eq
\f(C,C)＝0.1.
∴优等品数X的分布列为
X
0
1
2
P
0.3
0.6
0.1
规律方法 求离散型随机变量分布列的步骤
(1)首先确定随机变量X的取值；
(2)求出每个取值对应的概率；
(3)列表对应，即为分布列．
【训练1】 某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列．
解 将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，则X的可能取值为1，2，3，4.
P(X＝1)＝eq
\f(C,C)＝，P(X＝2)＝eq
\f(C,C)＝，
P(X＝3)＝eq
\f(C,C)＝，P(X＝4)＝eq
\f(C,C)＝.
故其分布列为
X
1
2
3
4
P
题型二 分布列的性质及其应用
【例2】 设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
解 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，
∴m＝0.3.
首先列表为
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
|X－1|
1
0
1
2
3
从而由上表得两个分布列为
(1)2X＋1的分布列
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)|X－1|的分布列
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
规律方法 离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率，得出分布列．
(2)求对立事件的概率或判断某概率是否成立．
【训练2】 (1)已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
…
n
P
…
则k的值为( )
A.
B．1
C．2
D．3
解析 由＋＋…＋＝1，得＝1，即k＝1.
答案 B
(2)设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X≥2)＝__________．
解析 由已知得随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
∴＋＋＝1，∴k＝.
∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝＋＝.
答案
题型三 两点分布
【例3】 袋中有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝求随机变量X的分布列．
解 由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝eq
\f(C,C)＝，所以P(X＝1)＝1－＝.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
P
规律方法 两点分布的4个特点
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的；
(2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；
(3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))；
(4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它．
【训练3】 已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列．
解 由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝eq
\f(C,C)＝，
所以P(X＝1)＝1－＝.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
P
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养．
2．离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．
3．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
二、素养训练
1．已知随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
m
则P(X＝10)等于( )
A.
B.
C.
D.
解析 P(X＝10)＝1－－…－＝.
答案 C
2．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于( )
X
－1
0
1
P
a
b
c
A.
B.
C.
D.
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝.
∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)
＝1－P(X＝0)＝1－＝.
答案 D
3．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
则下列计算结果错误的是( )
A．a＝0.1
B．P(X≥2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4
D．P(X≤1)＝0.3
解析 易得a＝0.1，P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.7，P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.3，P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.3，故C错误．
答案 C
4．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
－1
0
1
P
1－2q
q2
则P(X≤0)＝__________．
解析 由分布列的性质，得1－2q≥0，q2≥0，
＋(1－2q)＋q2＝1，
所以q＝1－，q＝1＋(舍去)．
P(X≤0)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)
＝＋1－2×＝－.
答案 －
5．若离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
试求出离散型随机变量X的分布列．
解 由已知可得9c2－c＋3－8c＝1，
∴9c2－9c＋2＝0，∴c＝或.
检验：当c＝时，9c2－c＝9×－＝＞0，3－8c＝3－＝＞0；
当c＝时，9c2－c＝9×－＞1，3－8c＝3－＜0(不适合，舍去)．
故c＝.
故所求分布列为
X
0
1
P
基础达标
一、选择题
1．设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么( )
A．n＝3
B．n＝4
C．n＝10
D．n＝9
解析 由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，
∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.
答案 C
2．若随机变量X的分布列如下：
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(XA．(－∞，1]
B．[1，2]
C．(1，2]
D．[1，2)
解析 由分布列知，
P(X＝－2)＋P(X＝－1)＋P(X＝0)＋P(X＝1)
＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8，
∴P(X<2)＝0.8，故1答案 C
3．某射手射击所得环数X的分布列为
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( )
A．0.28
B．0.88
C．0.79
D．0.51
解析 P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
答案 C
4．下列表中能成为随机变量X的分布列的是( )
解析 选项A、D不满足分布列的概率和为1，选项B不满足分布列的概率为非负数．
答案 C
5．若离散型随机变量X的分布列如表所示，则a的值为( )
X
－1
1
P
4a－1
3a2＋a
A.
B．－2
C.或－2
D.
解析 由分布列的性质，得
解得a＝.
答案 A
二、填空题
6．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X，则P＝________．
解析 设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个，总数为k个．∴X的分布列为
X
1
2
3
P
∴P＝P(X＝1)＝.
答案
7．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.□5
0.10
0.1□
0.20
根据该表可知X取奇数值时的概率是__________．
解析 由离散型随机变量的分布列的性质，可求得P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15，故X取奇数值时的概率为P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6.
答案 0.6
8．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X，则P(X＞1)＝__________．
解析 依题意，P(X＝1)＝2P(X＝2)，P(X＝3)＝P(X＝2)，P(X＝3)＝P(X＝4)，由分布列性质得
P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝1，
则4P(X＝2)＝1，
即P(X＝2)＝，P(X＝3)＝P(X＝4)＝.
∴P(X＞1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝.
答案
三、解答题
9．将一枚骰子掷两次，第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差为X，求X的分布列．
解 第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差X的可能取值为－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，
则P(X＝－5)＝，
P(X＝－4)＝＝，
…，
P(X＝5)＝.
故X的分布列为
X
－5
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
P
10.设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的基本事件；
(2)设X＝m2，求X的分布列．
解 (1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，
所以事件A包含的基本事件为
(－2，2)，(2，－2)，(－1，1)，(1，－1)，(0，0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1，0，1，2，3，
所以X＝m2的所有不同取值为0，1，4，9，且有
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝9)＝.
故X的分布列为
X
0
1
4
9
P
能力提升
11．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )
A．[0，]
B．[－，]
C．[－3，3]
D．[0，1]
解析 设随机变量X取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得
(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故a＝，
由解得－≤d≤.
答案 B
12．设随机变量X的分布列为P(X＝)＝ak(k＝1，2，3，4，5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P；
(3)求P.
解 由题意，所给分布列为
X
P
a
2a
3a
4a
5a
(1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得
a＝.
(2)P＝P＋P＋P
＝＋＋＝，
或P＝1－P＝1－＝.
(3)∵＜X＜，∴X＝，，.
∴P＝P＋P＋
P＝＋＋＝.
创新猜想
13．(多选题)下列问题中的随机变量服从两点分布的是( )
A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
解析 只有A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布．
答案 BCD
14．(多空题)随机变量Y的分布列如下：
Y
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.35
0.1
0.1
0.2
则x＝__________，P(Y≤3)＝__________．
解析 由分布列的性质得
0．2＋x＋0.35＋0.1＋0.1＋0.2＝1，解得x＝0.05.
故P(Y≤3)＝P(Y＝1)＋P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝0.2＋0.05＋0.35＝0.6.
答案 0.05 0.67.2 离散型随机变量及其分布列
第一课时 离散型随机变量
课标要求
素养要求
1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念.2.了解分布列对于刻画随机现象的重要性.
通过研究离散型随机变量的概念，提升数学抽象及逻辑推理素养.
新知探究
在奥运射击运动中，运动员射击一次，可能出现命中0环，命中1环，……，命中10环等结果，若用X来表示他一次射击所命中的环数，则X即为随机变量．
问题 上述情景中，随机变量X的取值情况如何？
提示 随机变量X的结果可由0，1，……，10共11个数来表示．
1．随机变量
随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件．
定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
2．离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.
3.随机变量和函数的关系
随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集．
拓展深化
[微判断]
1．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限可列个．(√)
2．离散型随机变量的取值是任意的实数．(×)
提示 取值是有限个或可以一一列举的随机变量才是离散型随机变量．
3．离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(×)
提示 离散型随机变量一定是某个区间内有限个或可以一一列举的值．
[微训练]
1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中无放回地条件下每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )
A．1，2，…，6
B．1，2，…，7
C．1，2，…，11
D．1，2，3，…
解析 可能第一次就取到白球，也可能把6个红球都取完后，才取得白球，故X的可能取值为1，2，3，4，5，6，7.
答案 B
2．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是__________．
解析 当答对3道题时，X＝300；当答对2道题时，X＝100；当答对1道题时，X＝－100；当答对0道题时，X＝－300.
答案 300,
100,
－100,
－300
[微思考]
1．随机变量是自变量吗？
提示 不是．它是随试验结果变化而变化的，不是主动变化的．
2．离散型随机变量的取值必须是有限个吗？
提示 不一定．离散型随机变量的取值可以一一列举出来，所取值可以是有限个，也可以是无限个．
题型一 随机变量的概念
【例1】 判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由．
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数；
(2)抛两枚骰子，出现的点数之和；
(3)体积为8
cm3的正方体的棱长．
解 (1)被抽取卡片的号数可能是1，2，…，10，出现哪种结果是随机的，是随机变量．
(2)抛两枚骰子，出现的点数之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11种情况，出现哪种情况都是随机的，因此是随机变量．
(3)正方体的棱长为定值，不是随机变量.
规律方法 解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．
【训练1】 指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某人射击一次命中的环数；
(2)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；
(3)某个人的属相随年龄的变化．
解 (1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0，1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．
(2)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．
(3)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量．
题型二 离散型随机变量的判断
【例2】 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X；
(2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X；
(3)丁俊晖在2017年世锦赛中每局所得的分数．
解 (1)桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出，
是离散型随机变量．
(2)小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量．
(3)每局所得的分数X可以一一列举出来，是离散型随机变量．
规律方法 判断离散型随机变量的方法
(1)明确随机试验的所有可能结果．
(2)将随机试验的结果数量化．
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
【训练2】 下列随机变量是离散型随机变量的个数是( )
①掷一枚骰子出现的点数；
②投篮一次的结果；
③某同学在12：00至12：30到校的时间；
④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 ①中骰子出现的点数为1，2，3，4，5，6，可以一一列举出来．②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来．④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来．③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来，因此③不是离散型随机变量，故只有①②④满足．
答案 C
题型三 用随机变量表示事件的结果
【例3】 写出下列随机变量可能取的值，
并说明这些值所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10个，
白球5个，
从袋中每次任取1个球，
取后不放回，
直到取出的球是白球为止，
所需要的取球次数．
(2)从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，
所取卡片上的数字之和．
解 (1)设所需的取球次数为X,
则X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，
第i次取到白球，
这里i＝1，2，3，4，…，11.
(2)设所取卡片上的数字之和为X,
则X＝3，4，5，…，11.
X＝3,
表示“取出标有1，2的两张卡片”；
X＝4,
表示“取出标有1，3的两张卡片”；
X＝5,
表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”；
X＝6,
表示“取出标有2，4或1，5的两张卡片”；
X＝7,
表示“取出标有3，4或2，5或1，6的两张卡片”；
X＝8,
表示“取出标有2，6或3，5的两张卡片”；
X＝9,
表示“取出标有3，6或4，5的两张卡片”；
X＝10,
表示“取出标有4，6的两张卡片”；
X＝11,
表示“取出标有5，6的两张卡片”．
【迁移1】 (变条件)若本例(2)中条件不变，
所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量Y,
请问Y有哪些取值？
其中Y＝4表示什么含义？
解 Y的所有可能取值有：1，2，3，4，5.
Y＝4表示“取出标有1，5或2，6的两张卡片”．
【迁移2】 (变条件，
变问法)甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果．
解 根据题意可知X的可能取值为4，5，6，7.
X＝4表示共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局．
X＝5表示在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出．
X＝6表示在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出．
X＝7表示在前6局中，两人打平，后一局有1人胜出．
规律方法 解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点
(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．
(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．
【训练3】 (多空题)一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3个篮球，以X表示取出的篮球的最大号码，则X所有可能的取值为__________，其中X＝4表示的试验结果有__________种．
解析 根据题意可知X的可能取值为3，4，5，6，其中当X＝4时，表示取得的一球编号为4，另两个球从1，2，3中选取，有C＝3(种)．
答案 3，4，5，6 3
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养．
2．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．
3．写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值．
二、素养训练
1．下列叙述中，是离散型随机变量的为( )
A．将一枚均匀硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性
解析 选项A，掷硬币不是正面向上就是反面向上，次数之和为5，是常量；选项B，是随机变量，但不能一一列出，不是离散型随机变量；选项D，事件发生的可能性不是随机变量．故选C.
答案 C
2．掷均匀硬币一次，随机变量为( )
A．掷硬币的次数
B．出现正面向上的次数
C．出现正面向上的次数或反面向上的次数
D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和
解析 掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量，设为X，X的取值是0，1.A项中掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的和必是1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量．故选B.
答案 B
3．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
解析 对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．
答案 C
4.抛掷2枚骰子，所得点数之和记为X，那么“X＝4”表示的随机试验的结果是( )
A．2枚都是4点
B．1枚是1点，另1枚是3点或者1枚是3点，另1枚是1点
C．2枚都是2点
D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点，或者1枚是3点，另一枚是1点
解析 抛掷2枚骰子，设其中1枚是x点，另1枚是y点，其中x，y＝1，2，…，6.
而X＝x＋y，
故X＝4?或或
答案 D
5．下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________(填序号)．
①广州白云机场候机室中一天的旅客数量X；
②广州某水文站观察到一天中珠江的水位X；
③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；
④虎门大桥一天经过的车辆数X.
解析 ①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定的次序一一列出，故不是离散型随机变量，故填②.
答案 ②
基础达标
一、选择题
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②解答高考数学卷Ⅰ的时间是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 由随机变量的概念可以直接判断①②③④都是正确的．
答案 D
2．将一个骰子掷两次，不能作为随机变量的是( )
A．两次掷出的点数之和
B．两次掷出的最大点数
C．第一次与第二次掷出的点数之差
D．两次掷出的点数之和为7的概率
解析 将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．同理，两次掷出的最大点数、第一次与第二次掷出的点数之差也都是随机变量，而两次掷出的点数之和为7的概率是一个定值．
答案 D
3．下面给出三个随机变量：
①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数X；
②某森林树木的高度在(0，50](单位：m)这一范围内变化，测得某一树木的高度X；
③某人射击一次击中的环数．
其中离散型随机变量有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析 由离散型随机变量的定义可知①③中的随机变量都是可以一一列举出来的，故均为离散型随机变量，而②中的随机变量可以取(0，50]内的任意值，无法一一列举，故它不是离散型随机变量．
答案 C
4．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X的所有可能取值是( )
A．1，2，…，5
B．1，2，…，10
C．2，3，…，10
D．1，2，…，6
解析 第一次可取1，2，3，4，5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一个，两次的号码和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10.
答案 C
5．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果为( )
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚1点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
解析 由“X≥5”知，最大点数与最小点数之差不小于5.
答案 D
二、填空题
6．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，则X的可能取值为__________．
解析 甲在3次射击中，可能一次未中，也可能中1次，2次，3次．
答案 0，1，2，3
7．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为X，则“X<2”表示的试验结果是___________________________________________．
解析 应分X＝0和X＝1两类．X＝0表示取到3件正品；X＝1表示取到1件次品、2件正品．故“X<2”表示的试验结果为取到1件次品、2件正品或取到3件正品．
答案 取到1件次品、2件正品或取到3件正品
8．一批产品共有12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是__________．
解析 可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品，故X的所有可能取值有0，1，2，3.
答案 0，1，2，3
三、解答题
9．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件次品、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内得分为X，写出X的可能取值．
解 X的可能取值为0，1，2.
X＝0表示在两天检查中均发现了次品．
X＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品．
X＝2表示在两天检查中没有发现次品．
10．指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；
(2)在西安至成都的高铁线上，每隔500
m有一电线铁塔，将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号X；
(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位X.
解 (1)不是离散型随机变量．因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出．
(2)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始，可以一一列出．
(3)不是离散型随机变量．因为水位在(0，29]范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．
能力提升
11．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为Y，则Y所有可能值的个数是( )
A．25
B．10
C．7
D．6
解析 ∵Y表示取出的2个球的号码之和，又1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝5，1＋5＝6，2＋3＝5，2＋4＝6，2＋5＝7，3＋4＝7，3＋5＝8，4＋5＝9，故Y的所有可能取值为3，4，5，6，7，8，9，共7个．
答案 C
12．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X；
(2)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y.
解 (1)X可取0，1，2.
X＝i，表示取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球，其中i＝0，1，2.
(2)Y的可能取值为2，3，4，…，12.若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，
则Y＝2表示(1，1)；
Y＝3表示(1，2)，(2，1)；
Y＝4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；
Y＝5表示(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)；
Y＝6表示(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)；
Y＝7表示(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)；
Y＝8表示(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)；
Y＝9表示(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)；
Y＝10表示(4，6)，(5，5)，(6，4)；
Y＝11表示(5，6)，(6，5)；
Y＝12表示(6，6)．
创新猜想
13．(多选题)下列所述中，X是离散型随机变量的是( )
A．某座大桥一天经过的车辆数X
B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X
C．一天之内的温度X
D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分
解析 ABD中的X可以取的值可以一一列举出来，而C中的X可以取某一区间内的一切值，属于连续型的．
答案 ABD
14．(多选题)对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为X，则X＝k表示的试验结果为( )
A．第k次检测到正品
B．第k＋1次检测到次品
C．前k－1次检测到正品
D．前k次检测到正品
解析 由题意，得X＝k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k，因此前k次检测到的都是正品，第k＋1次检测到的是次品，故选BD.
答案 BD(共34张PPT)
第二课时 离散型随机变量的分布列及两点分布
课标要求
素养要求
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列.
2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.
通过研究离散型随机变量的分布列及其性质，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养.
新知探究
在迎奥运会射击比赛训练中，统计某运动员的射击结果可知，该运动员射击所中环数均在7环(含7环)以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0.1，射击一次命中7环、8环、9环、10环的概率依次成等差数列．
问题 你能知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？
提示 通过学习本节课的离散型随机变量的分布列及其性质，我们可以很快解决此类问题．
1．
离散型随机变量的分布列
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和
(1)离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为
x1，x2，…，xn
，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的____________，简称为________．
概率分布列
分布列
(2)可以用表格来表示X的分布列，如下表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图．
2．离散型随机变量的分布列的性质
(1)______________________________
；
(2)
p1＋p2＋…＋pn＝1.
pi≥0，i＝1，2，…，n
X
0
1
P
1－p
p
我们称X服从______分布或0－1分布．
两点
拓展深化
[微判断]
1．在离散型随机变量分布列中随机变量的每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．
(
)
提示 概率必须满足pi≥0才行．
2．在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．
(
)
提示 在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和．
3．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.
(
)
×
√
×
[微训练]
1．设离散型随机变量X的概率分布列如下表：
答案 C
[微思考]
1．抛掷一枚骰子，朝上的一面所得点数X有哪些值？取每个值的概率是多少？
2．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的吗？
提示 是．离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的.
题型一 求离散型随机变量的分布列
【例1】 为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
177
180
y
75
80
77
70
81
如果产品中的微量元素x，y满足x≥177且y≥79时，该产品为优等品．
现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数X的分布列．
解 5件抽测品中有2件优等品，则X的可能取值为0，1，2.
∴优等品数X的分布列为
X
0
1
2
P
0.3
0.6
0.1
规律方法 求离散型随机变量分布列的步骤
(1)首先确定随机变量X的取值；
(2)求出每个取值对应的概率；
(3)列表对应，即为分布列．
【训练1】 某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列．
解 将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，则X的可能取值为1，2，3，4.
题型二 分布列的性质及其应用
【例2】 设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
解 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，
∴m＝0.3.
首先列表为
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
|X－1|
1
0
1
2
3
从而由上表得两个分布列为
(1)2X＋1的分布列
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)|X－1|的分布列
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
规律方法 离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率，得出分布列．
(2)求对立事件的概率或判断某概率是否成立．
【训练2】 (1)已知离散型随机变量X的分布列为
解析 由已知得随机变量X的分布列为
规律方法 两点分布的4个特点
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的；
(2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；
(3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))；
(4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它．
【训练3】 已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列．
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养．
2．离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．
3．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
二、素养训练
1．已知随机变量X的分布列如下：
2．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于( )
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
3．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
则下列计算结果错误的是( )
A．a＝0.1
B．P(X≥2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4
D．P(X≤1)＝0.3
解析 易得a＝0.1，P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.7，P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.3，P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.3，故C错误．
答案 C
4．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
