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7．3 离散型随机变量的数字特征
7．3.1 离散型随机变量的均值
课标要求
素养要求
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及其数字特征.
2.能计算简单离散型随机变量的均值.
通过研究离散型随机变量的分布列及其数字特征，进一步提升数学抽象及数据分析素养.
新知探究
问题 上述情境中的计算是否合理，怎样运算才更合理？
提示 此种计算显然不合理，忽略了不同住房面积的居民所占的比例，造成了“被平均”现象，通过本课时的学习我们可以找到正确的计算方法．
1．
离散型随机变量的均值或数学期望
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
2．两点分布的期望
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝____；
3．离散型随机变量的均值的性质
设X的分布列为________________＝
pi，i＝1，2，…，n.
一般地，下面的结论成立：E(aX＋b)＝________________．
p
P(X＝xi)
aE(X)＋b
×
√
拓展深化
[微判断]
1．随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．
(
)
提示
随机变量X的均值E(X)是个定值，不随X的变化而变化．
2．随机变量的均值与样本的平均值相同．
(
)
提示 随机变量的均值与样本的均值并非等价，因为样本代表的是部分的情况，不能完全与整体等价．
3．若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.
(
)
×
[微训练]
1．已知离散型随机变量X的分布列为
2．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为__________．
[微思考]
某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
题型一 利用定义求离散型随机变量的均值
【例1】 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值．
解 取出4只球颜色及得分分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，
故X的分布列如下：
规律方法 求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定X的可能取值；(2)计算出P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．
∴X的分布列为
题型二 离散型随机变量均值的性质
【例2】 已知随机变量X的分布列为：
解析 由随机变量分布列的性质，
得
【迁移1】
(变设问)本例条件不变，若Y＝2X－3,
求E(Y)．
∴a＝15.
规律方法 离散型随机变量性质有关问题的解题思路
若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)．
【训练2】 已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表，则m的值为( )
解析 因为Y＝12X＋7，则E(Y)＝12E(X)＋7，
答案 A
题型三 离散型随机变量均值的应用
(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0，100，120，220.
故所求的分布列为
规律方法 解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相应均值．
解 (1)X的所有取值为0，5，10，15，20，25，30.
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养．
2．求离散型随机变量均值的步骤：
(1)确定离散型随机变量X的取值；
(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；
(3)根据公式写出均值．
3．若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布，可直接利用公式计算均值．
二、素养训练
1．袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1，2，3)．现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于( )
解析 由题意，可知X的所有可能取值为0，1，2，3.
2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为( )
3．若p为非负实数，随机变量X的分布列为
答案 A
4．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数X的均值为______．
解析 抛掷一枚骰子所得点数X的分布列为
5．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n(n＝1，2，3，4)个．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、均值；
(2)若Y＝aX＋4，E(Y)＝1，求a的值．
解 (1)X的分布列为
(2)E(Y)＝aE(X)＋4＝1，7．3 离散型随机变量的数字特征
7．3.1 离散型随机变量的均值
课标要求
素养要求
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及其数字特征.2.能计算简单离散型随机变量的均值.
通过研究离散型随机变量的分布列及其数字特征，进一步提升数学抽象及数据分析素养.
新知探究
某城市随机抽查了1
000户居民的住房情况，发现户型主要集中在160平方米，100平方米，60平方米三种，对应住房比例为1∶5∶4，能否说该市的户均住房面积为≈106.7(平方米)?
问题 上述情境中的计算是否合理，怎样运算才更合理？
提示 此种计算显然不合理，忽略了不同住房面积的居民所占的比例，造成了“被平均”现象，通过本课时的学习我们可以找到正确的计算方法．
1．离散型随机变量的均值或数学期望
正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．
2．两点分布的期望
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p；
3．离散型随机变量的均值的性质
设X的分布列为P(X＝xi)＝
pi，i＝1，2，…，n.
一般地，下面的结论成立：E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
拓展深化
[微判断]
1．随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(×)
提示
随机变量X的均值E(X)是个定值，不随X的变化而变化．
2．随机变量的均值与样本的平均值相同．(×)
提示 随机变量的均值与样本的均值并非等价，因为样本代表的是部分的情况，不能完全与整体等价．
3．若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(√)
[微训练]
1．已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的数学期望E(X)＝( )
A.
B.
C．2
D.
解析 E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
答案 A
2．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为__________．
解析 X＝2，3.P(X＝2)＝eq
\f(1,C)＝，P(X＝3)＝eq
\f(C,C)＝.
故E(X)＝2×＋3×＝.
答案
[微思考]
某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
提示 由于平均在每1
kg的混合糖果中，3种糖果的质量分别是
kg、
kg和
kg，所以混合糖果的合理价格应该是18×＋24×＋36×＝23(元/kg)．
这里的23元/kg就是混合糖果价格的均值.
题型一 利用定义求离散型随机变量的均值
【例1】 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值．
解 取出4只球颜色及得分分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，
P(X＝5)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝6)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝7)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝8)＝eq
\f(CC,C)＝，
故X的分布列如下：
X
5
6
7
8
P
∴E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝(分)．
规律方法 求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定X的可能取值；(2)计算出P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．
【训练1】 某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值．
解 根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4，1，3，6.
∴P(X＝－4)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＋××＋××＝，
P(X＝6)＝××＝＝.
∴X的分布列为
X
－4
1
3
6
P
∴E(X)＝(－4)×＋1×＋3×＋6×＝(分)．
题型二 离散型随机变量均值的性质
【例2】 已知随机变量X的分布列为：
X
－2
－1
0
1
2
P
m
若Y＝－2X，则E(Y)＝__________．
解析 由随机变量分布列的性质，
得
＋＋＋m＋＝1,
解得m＝，
∴E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，
即E(Y)＝－2×＝.
答案
【迁移1】
(变设问)本例条件不变，若Y＝2X－3,
求E(Y)．
解 由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b及E(X)＝－得，
E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－.
【迁移2】 (变条件，变设问)本例条件不变，
若Y＝aX＋3,
且E(Y)＝－，
求a的值．
解 ∵E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，
∴a＝15.
规律方法 离散型随机变量性质有关问题的解题思路
若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)．
【训练2】 已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表，则m的值为( )
X
1
2
3
4
P
m
n
A.
B.
C.
D.
解析 因为Y＝12X＋7，则E(Y)＝12E(X)＋7，
即E(Y)＝12＋7＝34.
所以2m＋3n＝，①
又＋m＋n＋＝1，
所以m＋n＝，②
由①②可解得m＝.
答案 A
题型三 离散型随机变量均值的应用
【例3】 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和均值．
解 记E＝“甲组研发新产品成功”，F＝“乙组研发新产品成功”．由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．
(1)记H＝“至少有一种新产品研发成功”，则＝
，于是P()＝P()P()＝×＝，
故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.
(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0，100，120，220.
因为P(X＝0)＝P(
)＝×＝，
P(X＝100)＝P(F)＝×＝，
P(X＝120)＝P(E)＝×＝，
P(X＝220)＝P(EF)＝×＝，
故所求的分布列为
X
0
100
120
220
P
均值为E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝140(万元)．
规律方法 解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相应均值．
【训练3】 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家独立地对每位学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”和“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．令X表示该公司的资助总额．
(1)写出X的分布列；
(2)求均值E(X)．
解 (1)X的所有取值为0，5，10，15，20，25，30.
P(X＝0)＝，P(X＝5)＝，
P(X＝10)＝，P(X＝15)＝，
P(X＝20)＝，P(X＝25)＝，P(X＝30)＝.
故X的分布列为
X
0
5
10
15
20
25
30
P
(2)E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＋20×＋25×＋30×＝15(万元).
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养．
2．求离散型随机变量均值的步骤：
(1)确定离散型随机变量X的取值；
(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；
(3)根据公式写出均值．
3．若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布，可直接利用公式计算均值．
二、素养训练
1．袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1，2，3)．现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于( )
A．2
B.
C.
D.
解析 由题意，可知X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
答案 D
2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为( )
A．0
B.
C．1
D．－1
解析 因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，
所以由均值的定义得E(X)＝1×＋(－1)×＝0.
答案 A
3．若p为非负实数，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
p
－p
则E(X)的最小值为( )
A．1
B.
C.
D．2
解析 由p≥0，－p≥0，得0≤p≤，则E(X)＝－p＋2×＝－p≥1.故选A.
答案 A
4．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数X的均值为______．
解析 抛掷一枚骰子所得点数X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝＝.
答案
5．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n(n＝1，2，3，4)个．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、均值；
(2)若Y＝aX＋4，E(Y)＝1，求a的值．
解 (1)X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
(2)E(Y)＝aE(X)＋4＝1，
又E(X)＝，
则a·＋4＝1，
∴a＝－2.
基础达标
一、选择题
1．已知离散型随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P
则E(2X＋1)＝( )
A.
B.
C.
D.
解析 ∵E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，
∴E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝.
答案 C
2．已知某一随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝6.3，则a的值为( )
X
a
7
9
P
b
0.1
0.4
A.4
B．5
C．6
D．7
解析 根据分布列的性质可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又E(X)＝a·0.5＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4.
答案 A
3．设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b等于( )
X
0
1
2
3
P
0.1
A
b
0.1
A.0.2
B．0.1
C．－0.2
D．－0.4
解析 由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8.
又由E(X)＝0×0.1＋1·a＋2·b＋3×0.1＝1.6，
得a＋2b＝1.3，
解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.
答案 C
4．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是( )
A．0.2
B．0.8
C．1
D．0
解析 因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.
答案 B
5．随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，E(X)＝3，则a＋b等于( )
A．10
B．5
C.
D.
解析 易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.①
又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，②
由①②，得a＝，b＝0.
答案 D
二、填空题
6．已知某一随机变量X的分布列如下表：
X
3
b
8
P
0.2
0.5
a
且E(X)＝6，则a＝__________，b＝__________．
解析 由0.2＋0.5＋a＝1，得a＝0.3.又由E(X)＝3×0.2＋b·0.5＋8·a＝6，得b＝6.
答案 0.3 6
7．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为
X
1
2
3
4
P
0.5
0.2
0.2
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为100元；分2期或3期付款，其利润为150元；分4期付款，其利润为200元．若Y表示经销一件该商品的利润，则E(Y)＝__________元．
解析 由题意可知Y可以取100，150，200，分布列如下
Y
100
150
200
P
0.5
0.4
0.1
∴E(Y)＝100×0.5＋150×0.4＋200×0.1＝130(元)．
答案 130
8．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，则再重新试验一次；若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为，则此人试验次数X的均值是__________．
解析 试验次数X的可能取值为1，2，3，
则P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
答案
三、解答题
9．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．
求：(1)抽取次数X的分布列；
(2)平均抽取多少次可取到好电池．
解 (1)由题意知，X取值为1，2，3.
P(X＝1)＝；
P(X＝2)＝×＝；
P(X＝3)＝×＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
(2)E(X)＝1×＋2×＋3×＝1.5(次)，
即平均抽取1.5次可取到好电池．
10．在有奖摸彩中，一期(发行10
000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？
解 设一张彩票的中奖额为随机变量X，显然X的所有可能取值为0，5，25，100.依题意，可得X的分布列为
X
0
5
25
100
P
所以E(X)＝0×＋5×＋25×＋100×
＝0.2(元)，
所以一张彩票的合理价格是0.2元．
能力提升
11．某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，根据统计资料：
投资甲获利(万元)
2
3
－1
概率
0.4
0.3
0.3
投资乙获利(万元)
1
4
－2
概率
0.6
0.2
0.2
那么他应该选择经营________种商品．
解析 投资甲项目获利的期望E甲＝2×0.4＋3×0.3＋(－1)×0.3＝1.4，
投资乙项目获利的期望E乙＝1×0.6＋4×0.2＋(－2)×0.2＝1.因为E甲＞E乙．故他应该选择经营甲种商品．
答案 甲
12．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，求X的分布列及均值．
解 根据题意易知X＝0，1，2，3.分布列如下：
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
创新猜想
13．(多选题)设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：
X
0
1
2
P
－p
p
则下列说法正确的是( )
A．p∈
B．E(X)最大值为
C．p∈
D．E(X)最大值为
解析 由表可得从而得P∈，期望值E(X)＝0×＋1·p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E(X)最大值＝.
答案 AB
14．(多空题)某射手射击所得环数X的分布列如下：
X
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知X的均值E(X)＝8.9，则x的值为____________，y的值为__________．
解析 由题意知
解得y＝0.4，x＝0.2.
答案 0.2 0.4
